第10章 三角恒等变换章末题型归纳总结-2024学年高一数学同步学与练（苏教版）（解析版）

第第页第10章三角恒等变换章末题型归纳总结目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：给角求值型问题经典题型二：给值求值型问题经典题型三：给值求角型问题经典题型四：三角函数式的化简与证明经典题型五：三角恒等变换与三角函数的综合应用经典题型六：三角恒等变换与向量的综合运用经典题型七：三角恒等变换的实际应用经典题型八：辅助角公式的高级应用模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③函数与方程思想模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：给角求值型问题例1．（2024·湖北荆州·高一沙市中学校考期末）化简：（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】故选：A例2．（2024·江苏苏州·高一吴县中学校考期末）计算：（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以原式故选：C例3．（2024·全国·高一期末）若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得.故选：A.例4．（2024·广东茂名·高一统考期末）的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】原式.故选：A例5．（2024·山西·高一校联考期末）（）A． B． C． D．【答案】D【解析】原式.故选：D.经典题型二：给值求值型问题例6．（2024·内蒙古赤峰·高一统考期末）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为所以.故选：D例7．（2024·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）已知，且，求（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，，，故选：A.例8．（2024·全国·高一专题练习）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，又，所以，所以，所以.故选：D例9．（2024·全国·高一专题练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.例10．（2024·全国·高一专题练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知，故，故选：D经典题型三：给值求角型问题例11．（2024·全国·高一专题练习）已知、是方程的两个根，且，则等于（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】方程中，，则，于是，显然，又，则有，，所以.故选：B例12．（2024·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）若，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，符号相同，又，，，由可得，又，，，所以，，，由，，得，，故选：A．例13．（2024·全国·高一专题练习）已知，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，又因为，，所以，所以因为，所以，所以，所以当为奇数时，，，当为偶数时，，，因为，所以，因为，所以.故选：C.例14．（2024·高一单元测试）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由已知可将，，则，，，即或．又，所以，所以，所以选项A，B错误，即，则，所以．则C错，D对，故选：D例15．（2024·全国·高一专题练习）已知，，，，则（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】，，，故，故；，，，，故，；，，故.故选：C经典题型四：三角函数式的化简与证明例16．（2024·全国·高一专题练习）化简(1)(2)(3)(4)【解析】（1），，（2），，，（3），，，（4），，，.例17．（2024·全国·高一随堂练习）化简：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.例18．（2024·全国·高一课堂例题）化简．【解析】法1：由倍角公式，得．原式．法2：．例19．（2024·全国·高一专题练习）证明：．【解析】.例20．（2024·高一课时练习）证明：.【解析】左边右边．∴原等式成立．例21．（2024·全国·高一假期作业）证明：.【解析】由题意可得：.经典题型五：三角恒等变换与三角函数的综合应用例22．（2024·内蒙古·高一校联考期末）已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)若，求的值.【解析】（1）令，解得，则的单调递增区间是；（2）因为，即，所以，则.例23．（2024·天津和平·高一统考期末）已知函数，(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数的单调递减区间；(3)若函数在上最大值与最小值的和为，求实数的值.【解析】（1）函数，函数的最小正周期为：，令，，解得，，则对称轴方程为，.（2）令，，解得：，，函数的单调递减区间为：，；（3）当时，，令或，解得：或，此时函数取得最小值为：，令，解得：，此时函数取得最大值为：，又的最大值与最小值的和为，所以有：，解之得：.例24．（2024·天津·高一统考期末）已知函数.(1)求的值；(2)求的最小正周期和单调递增区间；(3)求在上的最大值和最小值.【解析】（1）因为，所以（2）由（1）可知，的最小正周期，由，得，所以，函数的单调递增区间为：.（3）因为，所以，所以当时，即时，取到最大值；当时，即时，取到最小值.例25．（2024·江苏南京·高一期末）已知函数的一段图象过点，如图所示．(1)求函数的表达式；(2)将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域；(3)若，求的值.【解析】（1）由图知，，则.由图可得，在处最大值，又因为图象经过，故，所以，故，又因为，所以，函数又经过，故，得.所以函数的表达式为．（2）由题意得，，因为，所以，则，所以，所以在区间上的值域为.（3）因为，所以，即，又因为，所以，由，所以.所以，所以.例26．（2024·吉林·高一统考期末）已知函数.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)将函数的图象上所有点向上平移个单位得到曲线，再将上的各点纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．若，，不等式成立，求实数的取值范围．【解析】（1）依题意，，所以函数的最小正周期；令，解得，所以的单调递增区间为.（2）曲线所对函数解析式为，因此，当时，，则当或，即当或时，，，不等式成立，只需，即，依题意，成立，令，于是，即，解得，所以的取值范围为.经典题型六：三角恒等变换与向量的综合运用例27．（2024·江苏苏州·高一校考阶段练习）已知向量，若角满足，且．(1)求；(2)若，且，求．【解析】（1），，即，，故，故，故；（2）因为，所以，，则，.例28．（2024·江西·高一统考期末）已知向量，，(1)求的最小正周期；(2)求满足的的集合.【解析】（1）依题意，，所以的最小正周期为.（2）由（1）及已知，得，则或，，解得或，，所以满足的的集合为或.例29．（2024·全国·高一专题练习）已知向量，函数.(1)求使成立的x的集合；(2)若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间内的所有零点之和.【解析】（1）由已知可得，所以（2）结合（1）可知将函数的图象向左平移个单位得，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数，所以，如下图所示，函数与在上有4个交点，记该四个交点的横坐标依次为，则由正弦函数的对称性可知.例30．（2024·广东佛山·高一校考期末）已知向量，，且．(1)求实数的值；(2)若，目，求的值．【解析】（1）由题意知，故，所以，故，即，即，由于，故.（2）由（1）知，因为，所以，即，而，即，故，即，由可得，故.例31．（2024·辽宁铁岭·高一西丰县高级中学校考期末）已知向量，记函数，若函数的最小正周期为.(1)求的值；(2)当时，试求的值域；(3)求在上的单调递增区间.【解析】（1）由向量，可得，因为函数的最小正周期为，即，解得.（2）由函数，因为，可得，则，所以函数的值域为.（3）由函数，令，解得，因为，所以或，所以函数在上的单调递增区间为，.经典题型七：三角恒等变换的实际应用例32．（2024·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形所示），其中为生活区入口.已知有三条路，，，路上有一个观赏塘，其中，路上有一个风雨走廊的入口，其中.现要修建两条路，，修建，费用成本分别为，.设.(1)当，时，求张角的正切值；(2)当时，求当取多少时，修建，的总费用最少，并求出此的总费用.【解析】（1）设为锐角，则;设，则，故；（2）当时，，故，设修建，的总费用为y，则，设，则，则，故，由于在上单调递增，故，时取得等号，故的最小值为，此时，即，故当时，修建，的总费用最少，最少为.例33．（2024·重庆·高一重庆八中校考期末）如图，正方形的边长为2，，分别为AB，BC的中点.以O为圆心，OA为半径的圆弧上有一点P，T、S两点分别在线段AB、BC上，使得四边形SBTP为矩形.(1)将点绕点逆时针旋转后使其与点重合，求；(2)求矩形面积的最大值.【解析】（1）连接OM,ON,MN，因为分别为的中点，正方形边长为2，所以，所以，所以，.所以；（2）以O为坐标原点，OA为x轴，OC为y轴，建立直角坐标系如图所示.设，则,且，则，令，，当，即时，矩形面积的取得最大值为.例34．（2024·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）如图，在直角坐标系中，作射线，分别交单位圆于点，，且在第一象限，在第二象限，且．记．(1)若，求；(2)分别过，作轴的垂线，垂足依次为，，求梯形面积的取值范围．【解析】（1）设锐角的顶点是原点，始边与轴的非负半轴重合，终边为射线，则，点在第一象限，所以，又因为，所以.（2）由（1）知，，，即，，，，，因为在第一象限，在第二象限，，所以角，，，，，即.例35．（2024·河北沧州·高一泊头市第一中学校考阶段练习）如图所示，某小区中心有一块圆心角为，半径为的扇形空地，现计划将该区域设计成亲子室外游乐区域，根据设计要求，需要铺设一块平行四边形的塑胶地面EFPQ（其中点E，F在边OA上，点在边OB上，点在AB上），其他区域地面铺设绿地，设.(1)表示绿地的面积；(2)若铺设绿地每平方米100元，要使得铺设绿地的出用最低，应取何值，并求出此时的值．【解析】（1）如图，分别过P，Q作于点，于点，则四边形MNPQ为矩形．因为，则，，，由于，所以，则，设四边形EFPQ的面积为，所以，所以，．（2）要使铺设绿地的费用最低，即绿地面积最小，所以只需求出绿地面积的最小值，因为，则，所以，则，因此，即，此时，即，，所以当时，取得最小值元．例36．（2024·河北唐山·高一期末）如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形，喷泉观景区的形状为，且C在OB上，D在OA上，P在上，记．

(1)试用θ分别表示矩形和的面积；(2)若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元．求当θ为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用．【解析】（1）由题意，所以，，所以矩形PCOD的面积为，的面积为.（2）由题意，可得建造观景区所需总费用为：，设，则，又由，所以，当，即时，有，所以（万元），即当平时，建造该观景区总费用最低，且最低费用为万元．经典题型八：辅助角公式的高级应用例37．（2024·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）若函数的最小值为，则常数的值为.【答案】/【解析】，由函数的最小值为，得，所以，解得，又，得到，故答案为：.例38．（2024·全国·高三专题练习）函数的最大值为，最小值为.【答案】【解析】由已知得①，令，∴①式可化为平方得.故答案为：；.例39．（2024·贵州六盘水·统考模拟预测）设，，且，则.【答案】【解析】因为，所以，即又，，所以，则可得，则故.故答案为：.例40．（2024·上海杨浦·高三复旦附中校考期末）已知函数，当取得最大值时，.【答案】/【解析】由函数，其中，当取得最大值，则，解得，此时.故答案为：.例41．（2024·上海浦东新·高三校考期末）在中，，则的取值范围是.【答案】【解析】在中，，则，由，，则，解得，，由，则，根据正弦函数的性质，所以.故答案为：例42．（2024·上海青浦·高三校考期末）已知关于的方程在实数范围内有解，则的最小值为.【答案】9【解析】由题意得，解得，故可设，，其中，则原方程化为，即，其中，（不可能同时取0），显然，，则，则，因为，，所以，此时，，，，，即，，，.所以，即它的最小值为9，故答案为：9.模块三：数学思想方法① 分类讨论思想例43．在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，（

）A．1 B． C． D．【答案】C

【解析】因为角与的终边关于y轴对称，，所以和不可能在三、四象限，所以：①若在第一象限，则，所以，即，所以，，所以②若在第二象限，则，所以，即，所以，，所以故选例44．若，则（

）A． B．1 C．2 D．0或2【答案】D

【解析】，，即，则或，当时，；当时，显然，此时综上，或故选：例45．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】由得，，即，所以，即，

故，或当时，，当时，故故选例46．已知函数的值域为，则（

）A．或 B． C． D．或【答案】A

【解析】，，令，，设，则，当时，在上单调递减，，解得，即，当时，在上单调递增，，解得，即，当时，，无解，当时，，无解，综上所述，或故选：例47．已知为第二象限角，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C

【解析】已知为第二象限角，，，由，可得

，因此当

时，

当

时，

所以

是第一或第三象限角，因此由，解得，故选：②转化与化归思想例48．如图，OPQ是半径为1，的扇形，C是弧PQ上的点，ABCD是扇形的内接矩形，设，若，四边形ABCD的面积S取得最大时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】B

【