2024年北京海淀区高三二模数学试题和答案

20232024学年第二学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题440分）（1C（6C（2D（7B（3B（8A（4C（9D5A（B二、填空题（共5小题，每小题525分）5（）1（13）π（）(x5)2y2（或(x5)2y21）22（）7（15三、解答题（共6小题，共85分）（16共13解：选择条件②：yf(x)的图象可由y2cos2x的图象平移得到．x（Ⅰ）因为f(x)2cos23sinx，2π所以f(x)cosx3sinx12cos(x)1.3因为yf(x)的图象可由y2cos2x的图象平移得到，所以yf(x)的最小正周期为π.0，因为所以2.π（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)2cos(2x)1．3因为x)，πππ所以2x(,2m).333π1因为不等式f(x)2在区间)内有解，即cos(2x)在区间)内有32解，πππ所以2m，即m.333高三年级（数学）参考答案第1页（共8页）π所以m的取值范围是(,)．3ππππ选择条件③：f(x)在区间(,)内无极值点，且f()2f()2.3663x（Ⅰ）因为f(x)2cos23sinx，2π所以f(x)cosx3sinx12sin(x)1．6ππ因为f()2f()2，63ππ所以f()f()4．63ππ所以f(x)分别在x，x时取得最大值、最小值.63ππ所以f(x)的最小正周期T2[(π.63ππ因为f(x)在区间(,)内无极值点，36ππ所以f(x)的最小正周期T2[(π.63所以Tπ.0，π因为所以2．Tπ（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)2sin(2x)1．6因为x)，πππ所以2x+(,2m+).666π1因为不等式f(x)2在区间)内有解，即sin(2x)在区间)内有62解，πππ所以m+，即m.663π所以m的取值范围是(,)．3高三年级（数学）参考答案第2页（共8页）（17共14解：（Ⅰ）连接BM，MN，BN.因为，M为的中P点，N所以BMAP.M因为MNAP，所以AP平面BMN.因为平面，所以平面平面.ACB（Ⅱ）因为平面，平面，平面，所以，，为直线与平面所成的角.π因为直线与平面所成角为，6π所以.6因为2，所以1，3.因为22，所以OA1.因为2，所以222.所以OBOA.如图建立空间直角坐标系O.则，B(3,，zPC，P，11MM,).22OACy所以PC(0,3,，，B(3,3,x高三年级（数学）参考答案第3页（共8页）51,).22设平面的法向量为3yzn3x3yn(,y,z)，则n即令y1，则x3z3.于是，n(.设与平面所成角为，则|n12sin|cos,n|.|||n|1442所以直线与平面所成角的正弦值为.13（18共13解：张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有34张，所以该照片确为女性的概率为．（Ⅱ）设事件A：输入男性照片且识别正确．34根据题中数据，()．由题意知X的所有可能取值为1，2，3．31434314141P(X，P(X2)，P(X.41616所以X的分布列为X1233431P161633121E(X)123.4161616（Ⅲ）ppp.231高三年级（数学）参考答案第4页（共8页）（19共15x2a2y2b2解E的方程为1（ab0c2a2b2.因为以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为62，c12所以2a2c62，．a所以a22，c2.所以b26．x2y2所以椭圆E的方程为1.8614（Ⅱ）设直线l的方程为x2（t0令x，得y，即P)．tt22x4y由得t24)y2ty120．xty2t12设(x,y)，C(x,y)，则yy，yy．112212t212t244y1y2t4设AC的中点为N(x,y)，则y．3332t28所以xty2.33t24因为四边形ABCD为菱形,所以N为的中点，.所以直线的斜率为t.6t8所以直线的方程为yt(xt).t24t24tt令x0得yt.t24t24t24所以B).t24高三年级（数学）参考答案第5页（共8页）16t2tt2tt24设点D的坐标为(x,y)，则x2x，y2y，4443434416t即D(,t24t24).14tt2147t4所以直线的方程为y(x16)，即y(x4).t166t16t24所以直线过定点.（20共15解：a1时，f(x)ln(x23x.1x11（ⅰ）f(x)．3xf0．所以f2，所以曲线yf(x)在点f处的切线方程为y2．1x11（ⅱ）由（ⅰ）知f(x)ln(x23x，x，f(x)，3x且f0．1x11当x时，因为11，所以，所以f()0；3x1x113x当x时，因为f()0.所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.因为f2，fln20，fe3)322e33220.所以函数f(x)恰有一个零点.ax(xa)（Ⅱ）由f(x)ln(xa)2ax得f(x)．(xa)axx(,a)gx)，则1设g(x)ax(xa)，10.2ax所以g(x)是(,)上的减函数.ga)a0因为g(a)2a0，，所以存在唯一x(a,3a)，g(x)ax(xa)0．0000高三年级（数学）参考答案第6页（共8页）所以f(x)与f(x)的情况如下：x(a,0)00(0,a)f(x)f(x)↗极大↘所以f(x)在区间(,a)上的最大值是f(x)ln(xa)2axln(xa)2(xa)．00000当a1时，因为g(2a)aa0，所以x2a.0所以f(0)ln(2aa)2(2aa)a2a．所以f(x)f(0)a2a，符合题意.当0a1时，因为g(2a)aa0，所以x2a.0所以f(0)ln(2aa)2(2aa)a2a，不合题意．综上所述，a的取值范围是)．（21共15解：（Ⅰ）m的值为或．i，使得ad.ii记xad，由aN*，dN*得xN.*iiii因为xada，所以xA.iiii因为A,A,具有性质P，，且ji，使得(k0dj，kN*.012所以存在jxAj.不妨设xaj记yxdd，则ya(dkd，由dkN*，所以yj.ijji0ji0高三年级（数学）参考答案第7页（共8页）因为yidididi(ddi，jdjN*，j所以yi.所以A，与A矛盾.ii所以ad（i）.ii（ⅱ）记M1d2，A.因为A{x|xa(kd,k2,，且1ad，iiiiiM所以A中恰有个元素，i.idi令iA，i，则B1A，Bii（1ijn）.nMn1由A中元素的个数可得M