10.1 两角和与差的三角函数（七大题型）-2024学年高一数学同步学与练（苏教版）（解析版）

第第页10．1两角和与差的三角函数课程标准学习目标（1）了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导过程.（1）理解两角和与差的余弦、正弦、正切公式间的关系，熟记两角和与差的余弦、正弦、正切公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值．知识点01两角和的余弦函数两角和的余弦公式：知识点诠释：（1）公式中的都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．（4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反．【即学即练1】（2024·高一课时练习）cos255°的值是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为.故选：C.知识点02两角和与差的正弦函数两角和正弦函数在公式中用代替，就得到：两角差的正弦函数知识点诠释：（1）公式中的都是任意角；（2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；（3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；（4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：这也体现了数学中的整体原则．（5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同．【即学即练2】（2024·全国·高一课堂例题）求75°，15°角的正弦值．【解析】．．知识点03两角和与差的正切函数知识点诠释：（1）公式成立的条件是：，或，其中；（2）公式的变形：（3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．（4）公式对分配律不成立，即．【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）的值为．【答案】/【解析】.故答案为：.知识点04理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键．（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开．2、重视角的变换三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等．【即学即练4】（2024·重庆·高一统考期末）已知满足，则．【答案】【解析】因为，所以，又因为，所以，所以.故答案为：.题型一：两角和与差的余弦公式【例1】（2024·全国·高一课堂例题）求下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）原式．（2）原式．【变式1-1】（2024·高一课时练习）求下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）原式.（2）原式.【变式1-2】（2024·全国·高一专题练习）求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【解析】（1）原式.（2）原式.（3）原式.【变式1-3】（2024·全国·高一随堂练习）求下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.【方法技巧与总结】已知，的某种三角函数值，求的余弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值．题型二：两角和与差的正弦公式【例2】（2024·全国·高一课堂例题）求下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）原式．（2）原式．【变式2-1】（2024·甘肃兰州·高一校考期末）化简：(1)；(2)．【解析】（1）由题意，由两角和的正弦公式逆用可得.（2）由题意，由两角和的正弦公式、切弦互化商数关系可得.【变式2-2】（2024·高一课时练习）化简求值：(1)；(2).【解析】（1）（2）【方法技巧与总结】已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值．题型三：两角和与差的正切公式【例3】（2024·广东肇庆·高一校考期末）计算：＝.【答案】【解析】由题意．故答案为：．【变式3-1】（2024·天津河西·高一天津市第四十二中学校考阶段练习）已知，，那么．【答案】【解析】，，所以.故答案为：【变式3-2】（2024·全国·高一假期作业）若，则．【答案】【解析】由，得，即．．．答案：【变式3-3】（2024·高一课时练习）已知都是锐角，且，则.【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以，故答案为：【方法技巧与总结】公式的变形应予以灵活运用．题型四：给角求值【例4】（2024·北京密云·高一统考期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A.【变式4-1】（2024·重庆·高一西南大学附中校考期末）（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】.故选：A.【变式4-2】（2024·全国·高一随堂练习）若，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以.故选：D【变式4-3】（2024·天津红桥·高一统考期末）．【答案】/【解析】.故答案为：.【方法技巧与总结】在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．题型五：给值求值【例5】（2024·河北邯郸·高一校考期末）若，则＝．【答案】0【解析】因为，所以，可得，可得即，则.故答案为：0．【变式5-1】（2024·内蒙古·高一校联考期末）若，则.【答案】【解析】.故答案为：.【变式5-2】（2024·上海·高一假期作业）求值：已知为锐角，且,，则的值为，的值为.【答案】【解析】因为都是锐角，且,，所以,，，所以，，故答案为：，【变式5-3】（2024·新疆乌鲁木齐·高一新疆实验校考期末）已知，是方程的两根，则.【答案】【解析】由解得，所以，.故答案为：【变式5-4】（2024·浙江嘉兴·高一海宁市高级中学校考阶段练习）已知，，，，则．【答案】【解析】，，，由，，得，所以.故答案为：【变式5-5】（2024·全国·高一专题练习）已知，，，，则.【答案】/【解析】因为且，则，又，所以，且，所以，则，，所以.故答案为：【方法技巧与总结】给值求值的解题策略（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角．（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①；②；③；④．题型六：给值求角【例6】（2024·全国·高一课堂例题）已知，，且和均为钝角，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】∵和均为钝角，∴，．∴．由和均为钝角，得，∴．故选：D【变式6-1】（2024·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，而，从而或，当时，只有B符合；当时，四个选项均不符合.故答案为：B．【变式6-2】（2024·全国·高一专题练习）已知，，且，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，，又，.故选：B.【变式6-3】（2024·陕西西安·高一西安中学校考期末）若，则角的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，由，，得，，若，则，与矛盾，故舍去，若，则，又，.故选：A.【变式6-4】（2024·江苏南京·高一金陵中学校考期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以或；若，则，此时（舍）；若，则，此时（符合题意），所以，即；因为且，所以且，解得，，则，所以.故选：C.【方法技巧与总结】解决三角函数给值求角问题的方法步骤（1）给值求角问题的步骤．①求所求角的某个三角函数值．②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角．（2）选取函数的原则．①已知正切函数值，选正切函数．②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．题型七：两角和与差的正切公式的综合应用【例7】（2024·江苏徐州·高一统考期末）计算：．【答案】【解析】因为，整理得，则，所以，即.故答案为：【变式7-1】（2024·安徽滁州·高一安徽省滁州中学校考阶段练习）在△ABC中，若，则．【答案】【解析】因为，所以设，则解得，即，由题意可知，所以，则.故答案为：【变式7-2】（2024·高一课时练习）可以验证；不论取何值，；请推广到一般的结论：．【答案】【解析】，，所以，，所以，可推广到一般结论：.【变式7-3】（2024·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考期末）化简：．【答案】/【解析】因为，故，所以故答案为：【变式7-4】（2024·高一课时练习）观察下列几个三角恒等式：①；②；③；④；一般地，若、、都有意义，你从这四个恒等式中猜想得到的一个结论为.【答案】当时，【解析】对于①式，；对于②式，；对于③式，；对于④式，.观察①②③④中等式的结构，可得出以下结论：当时，.理由如下：①当且时，若、、都有意义时，由两角和的正切公式可得，所以，，，因此，；②若且时，则，可得，此时，.综上所述，当且、、都有意义，则.故答案为：当时，.【方法技巧与总结】当化简的式子中出现“”与“”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围．一、单选题1．（2024·广东·高一校联考期末）（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【解析】.故选：C2．（2024·广东广州·高一统考期末）已知点在角的终边上，则的值为（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由已知，.故选：A.3．（2024·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得：.故选：B.4．（2024·北京丰台·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】，故选：A5．（2024·全国·高一专题练习）的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】．故选：D6．（2024·全国·高一期末）已知,,则=()A． B． C． D．【答案】C【解析】因为,所以.又,所以,则，故选：C.7．（2024·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）已知，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，，，..故选：A.8．（2024·全国·高一专题练习）已知，，，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以．因为，所以，因为，所以，，所以．由，得，即，所以，所以．又，所以．故选：C二、多选题9．（2024·贵州黔西·高一校考阶段练习）下列化简结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】，所以A正确；，所以B正确；，所以C错误；，所以D错误．故选：AB．10．（2024·高一课时练习）（多选）下列四个选项，化简正确的是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】对于A项，，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C项，，故C项正确；对于D项，，故D项正确.故选：BCD.11．（2024·辽宁朝阳·高一朝阳市第一高级中学校考期末）下列四个式子中，计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确；故选：BCD12．（2024·江苏南京·高一统考期末）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】由，得，即，A选项正确，C选项错误；，两边同时平方，得，即，化简得，由，则，，所以，B选项正确，D选项错误.故选：AB三、填空题13．（2024·上海·高一假期作业）已知角､角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，角的终边在第四象限，角的终边绕原点顺时针旋转后与重合，，则【答案】【解析】因为绕原点顺时针旋转后与重合，所以可令，因为且的终边在第四象限，所以为第一象限角，所以，所以.故答案为：.14．（2024·上海·高一上海市建平中学校考期末）已知为锐角，，则.【答案】/【解析】因为为锐角，所以，所以，所以，又因为，所以，所以.故答案为：15．（2024·上海·高一假期作业）