2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区中考二模数学试题含解析

2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区中考二模数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.若点A（l,a）和点B（4,b）在直线y=-2x+m上，则a与b的大小关系是（）

A.a>bB.a<b

C.a=bD.与m的值有关

2.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=一好+2石x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点3,尸点为该抛

物线对称轴上一点，则。尸十』AP的最小值为（

).

2

3+2月

A.3B.2A/3D.

2

3.如图，I是AABC的内心，AI向延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BLBD,DC下列说法中错误的一项

是（）

A.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合

B.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI熏合

C.NCAD绕点A顺时针旋转一定能与NDAB重合

D.线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合

4.如图，图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）

个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第（n）个图形中面积

为1的正方形的个数为（）

n(n+4)

D.

2

5.若分式,有意义，则x的取值范围是（）

x-2

7.如图，在菱形ABCD中，AB=5,ZBCD=120°,则AABC的周长等于（）

C.10D.5

B.J(-2)x(-2)=2

C.372-72=3D.氓+正=回

9.下列运算正确的是（）

A.x2*x3=x6B.x2+x2=2x4

C.(-2x)2=4x2D.(a+b)2=a2+b2

10.如图，将四根长度相等的细木条首尾相连,用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形,使它形状改变，当AB=2,

NB=60时，AC等于（）

AD

A.&B,2C.瓜D.2A/2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.一位小朋友在粗糙不打滑的“z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD水平，BC

与水平面的夹角为60。，其中AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经

请结合题意填空，完成本题的解答.

(I)解不等式①，得;

(II)解不等式②，得;

(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:

(IV)原不等式组的解集为.

-4-3-2-1~0~1~2~3~4~5^

13.小亮同学在搜索引擎中输入“叙利亚局势最新消息”，能搜到与之相关的结果的个数约为3550000,这个数用科学

记数法表示为—.

14.如图，小红作出了边长为1的第1个正AAiBiCi,算出了正△AiBiCi的面积，然后分别取△AiBiCi三边的中点

A2,B2,C2)作出了第2个正△A2B2c2,算出了正△A2B2c2的面积，用同样的方法，作出了第3个正AA3B3c3,算出

了正AA3B3c3的面积…，由此可得，第8个正△AsB8c8的面积是.

15.袋中装有一个红球和二个黄球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后放回袋中，充分摇匀

后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率是.

16.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一

种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则Nl+N2+N3+N4+N5=度.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）某种蔬菜的销售单价yi与销售月份x之间的关系如图（1）所示，成本yz与销售月份之间的关系如图（2）

所示（图（1）的图象是线段图（2）的图象是抛物线）

分别求出yi、y2的函数关系式（不写自变量取值范围）;

通过计算说明：哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大?

18.（8分）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k/0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数

yM（n为常数，且博0）的图象在第二象限交于点C.CDJ_x轴，垂足为D,若OB=2OA=3OD=L

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）记两函数图象的另一个交点为E,求ACDE的面积;

（3）直接写出不等式kx+b后的解集.

19.（8分）如图，矩形ABC。中，AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点3落在点E处，AE交于

点尸，连接OE,求证：ZDAE=ZECD.

20.(8分)春节期间，收发微信红包已经成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，小王在一年春节共收到

红包一“元，；：年春节共收到红包元，求小王在这两年春节收到红包的年平均增长率.

21.(8分)在平面直角坐标系xOy中，对于P,Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两

坐标轴的距离之和，则称P,Q两点为同族点.下图中的P,Q两点即为同族点.

⑴已知点A的坐标为(-3,1),①在点R(0,4),S(2,2),T(2,-3)中，为点A的同族点的是；

②若点B在x轴上，且A,B两点为同族点，则点B的坐标为；

⑵直线1：y=x-3,与x轴交于点C,与y轴交于点D,

①M为线段CD上一点，若在直线x=n上存在点N,使得M,N两点为同族点，求n的取值范围；

②M为直线1上的一个动点，若以(m,0)为圆心，0为半径的圆上存在点N,使得M,N两点为同族点，直接写出

m的取值范围.

22.(10分)如图1,在RtZkABC中，ZA=90°,AB=AC,点Z),E分别在边A3,AC上，AD=AE,连接。C,点

M,P,N分别为OE,DC,的中点.

(1)观察猜想

图1中，线段与PN的数量关系是,位置关系是；

(2)探究证明

把AAOE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断△2肱¥的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸

把AAOE绕点A在平面内自由旋转，若AO=4,AB=10,请直接写出△面积的最大值.

A

E

B

图1图2

23.（12分）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即

CD=2米），背水坡DE的坡度i=l：1（即DB：EB=1：1）,如图所示，已知AE=4米，ZEAC=130°,求水坝原来的

高度BC.（参考数据：sin50°=0.77,cos50°=0.64,tan50°-1.2）

24.校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路

上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道/上确定点D,使CD与/垂直，测得CD的长

等于21米，在/上点D的同侧取点A、B,使NCAD=30。，ZCBD=60°.求AB的长（精确到0.1米，参考数据:

73»1.73,72^1.41）;已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是

否超速?说明理由.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】

【分析】根据一次函数性质：丫=履+6中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.由-2<0

得,当xn时，yi>y2.

【详解】因为，点A(l,a)和点B(4,b)在直线y=-2x+m上，-2<0,

所以，y随x的增大而减小.

因为,1<4,

所以,a>b.

故选A

【点睛】本题考核知识点：一次函数性质.解题关键点:判断一次函数>=履+人中y与x的大小关系，关键看k的符号.

2、A

【解析】

连接AO,AB,PB,作PH±OA于H,BC±AO于C,解方程得到一，+2白产0得到点B,再利用配方法得到点A,得到

OA的长度，判断△AOB为等边三角形，然后利用NOAP=30。得到PH='AP,利用抛物线的性质得到PO=PB,再根据

2

两点之间线段最短求解.

【详解】

连接AO,AB,PB,作PHLOA于H,BC，AO于C,如图当y=0时一好+2疗尸0,得XI=0,X2=2四,所以B(273,0).由

于广一，+2若丫=«-白)2+3斯以A(73,3)，所以AB=AO=26",AO=AB=OB,所以三角形AOB为等边三角形，

11

/0人？=30。得至1」PH=一AP,因为AP垂直平分OB,所以PO=PB，所以OP+一AP=PB+PH,所以当H,P,B共线时,PB+PH

22

最短，而BC=KIAB=3,所以最小值为3.

2

故选A.

【点睛】

本题考查的是二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质和最短途径的解决方法是解题的关键.

3、D

【解析】

解：,/是△ABC的内心，二4/平分N3AC,8/平分NABC,：.ZBAD=ZCAD,ZABI=ZCBI,故C正确，不符合

题意;

'•BD=CD»BD-CD,故A正确，不符合题意；

'：ZDAC=ZDBC,：.ZBAD=ZDBC.'：ZIBD=ZIBC+ZDBC,ZBID=ZABI+ZBAD,：.ZDBI=ZDIB,：.BD=DI,

故B正确，不符合题意.

故选D.

点睛：本题考查了三角形的内切圆和内心的，以及等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等.

4、C

【解析】

由图形可知：第(1)个图形中面积为1的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第(3)个

图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n+l=4——.

2

【详解】

第⑴个图形中面积为1的正方形有2个，

第⑵个图形中面积为1的图象有2+3=5个，

第(3)个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，

按此规律，

第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+(n+l尸△——2个.

2

【点睛】

本题考查了规律的知识点，解题的关键是根据图形的变化找出规律.

5、B

【解析】

分式的分母不为零，即x-2丹.

【详解】

•.•分式」大有意义，

x-2一.

.”2丹，

•*.xw2.

故选：B.

【点睛】

考查了分式有意义的条件，(1)分式无意义=分母为零；(2)分式有意义=分母不为零；(3)分式值为零u分子为零且

分母不为零.

6,C

【解析】

解：球是主视图是圆，圆是中心对称图形，故选C.

7、B

【解析】

；ABCD是菱形，ZBCD=120°,.,.ZB=60o,BA=BC.

.'.△ABC是等边三角形..'.△ABC的周长=3AB=1.故选B

8、B

【解析】

根据二次根式的加减法则，以及二次根式的性质逐项判断即可.

【详解】

解：J(_2)2=2，:.选项A不正确；

VV(-2)X(-2)=2,二选项B正确；

；3正-亚=2亚,二选项C不正确；

,:瓜+亚=3亚丰V10，二选项D不正确.

故选B.

【点睛】

本题主要考查了二次根式的加减法，以及二次根式的性质和化简，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式

相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根

式不变.

9、C

【解析】

根据同底数塞的法则、合并同类项的法则、积的乘方法则、完全平方公式逐一进行计算即可.

【详解】

A、x2»x3=x5,故A选项错误；

B、X2+X2=2X2,故B选项错误；

C、(-2x)2=4x2,故C选项正确；

D、(a+b)2=a2+2ab+b2,故D选项错误，

故选c.

【点睛】

本题考查了同底数幕的乘法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键

10、B

【解析】

首先连接AC,由将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD,AB=LNB60,易得△ABC是

等边三角形，即可得到答案.

【详解】

连接AC,

•.•将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD,

/.AB=BC,

•/=60，

/.△ABC是等边三角形，

/.AC=AB=1.

故选:B.

户A________D

【点睛】

本题考点：菱形的性质.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

“20610万、

11>(140-------1—)cm

【解析】

试题解析：如下图，画出圆盘滚动过程中圆心移动路线的分解图象.

O4

40cm-

A60cmEB

可以得出圆盘滚动过程中圆心走过的路线由线段。。1,线段。/。2,圆弧&。3,线段。3。4四部分构成.

其中OiE±AB,OiFYBC,O2CLBC,O3CLCD,O4DLCD.

•••3C与43延长线的夹角为60。，。/是圆盘在A3上滚动到与相切时的圆心位置，

.•.此时。。z与A3和3c都相切.

则N08E=NO/B尸=60度.

此时RtAOiBE和RtAOiBF全等，

在RtAOiBE中,BE=坦叵cm.

3

：.OOi=AB-BE=(60-^^)cm.

3

••RERR10A/3

・BF=BE=--------cm,

3

O1O2=BC-BF=(40-^^)cm.

3

,JAB//CD,5c与水平夹角为60。，

：.ZBCD=120&.

又；ZO2CB=^O3CD=9Q°,

，NO2co3=60度.

则圆盘在c点处滚动，其圆心所经过的路线为圆心角为60。且半径为10cm的圆弧QQ•

由，,6010

••。2。3的长27rxi0=571cm.

四边形O3O4DC是矩形，

：.O3O4=CD=40cYn.

综上所述，圆盘从A点滚动到D点，其圆心经过的路线长度是：

,“100、/杯10/、10，仙20石10、

(60---------)+(40----------)+——兀+40=(140----------+—it)cm.

33333

12、详见解析.

【解析】

先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出来，根据数轴找出不等式组公共部分即可.

【详解】

(I)解不等式①，得：x<l；

(II)解不等式②，得：X>-1；

(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

-4-3-2-1~0~1~2~3~4~5^

(IV)原不等式组的解集为：-IWxVl,

故答案为：X<1、x>-1>-1<X<1.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组的概念.

13、3.55x1.

【解析】

科学记数法的表示形式为axlOn的形式，其中1WMV1O,"为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数

点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，

n是负数.

【详解】

3550000=3.55x1,

故答案是：3.55x1.

【点睛】

考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlOn的形式，其中l<|a|<10,n为整数，表示时关键要正

确确定a的值以及n的值.

14、4

48

【解析】

根据相似三角形的性质，先求出正AA2B2c2,正AA3B3c3的面积，依此类推△AnBnCn的面积是，从而求出第8个正

△AgB8c8的面积.

【详解】

正4AiBiCi的面积是

4

而△A2B2c2与△AiBiCi相似，并且相似比是1：2,

则面积的比是，则正△A2B2c2的面积是走X』；

44

因而正△A3B3c3与正△A2B2c2的面积的比也是一，面积是Y3x(—)2;

444

依此类推△AnBnG与△A»lBn一lG-1的面积的比是第n个三角形的面积是走(-)

444

所以第8个正AAsBE的面积是手'('，=空.

故答案为中.

48

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质及应用，相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出规律是关键.

1

15、-

9

【解析】

首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可求

得答案.注意此题属于放回实验.

【详解】

画树状图如下:

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果,

所以两次都摸到红球的概率是g,

故答案为;.

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识.注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，

列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回

实验.

16、360°.

【解析】

根据多边形的外角和等于360。解答即可.

【详解】

由多边形的外角和等于360。可知,

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5=360°,

故答案为360°.

【点睛】

本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360。是解题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

217

17、(1)yi=—+7;y2=§x?-4x+2；(2)5月出售每千克收益最大，最大为孑.

【解析】

(1)观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出口和y2的解析式；

(2)由收益W=yi-y2列出W与x的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值.

【详解】

Cn

3k+b=5k=

解：(1)设yi=kx+b,将(3,5)和(6,3)代入得，,、，解得43.

6k+b=3,„

、[b=/

,2

；・yi=--x+1.

3

设y2=a(x-6)2+1,把(3,4)代入得，

4=a(3-6)2+1,解得a=」.

3

22

/.y~J(X-6)2+l,gpy2=jX-4x+2.

(2)收益W=yi・y2,

21

=-----x+1-(—x2-4x+2)

33

1--、，7

=--(xz-5)2+—,

33

1

Va=--<0,

3

t7

，当x=5时，W最大值=§.

7

故5月出售每千克收益最大，最大为§元.

【点睛】

本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键，掌握配方法是求二次函数最大值

常用的方法

18、(1)y=-2x+l；y=-〈;(2)140；(3)x>10,或-40xV0；

【解析】

(1)根据OA、OB的长写出A、B两点的坐标，再用待定系数法求解一次函数的解析式，然后求得点C的坐标，进

而求出反比例函数的解析式.

(2)联立方程组求解出交点坐标即可.

(3)观察函数图象，当函数尸质+8的图像处于二=下方或与其有重合点时，x的取值范围即为二,二・：的解集.

【详解】

(1)由已知，OA=6,OB=1,OD=4,

VCDlxtt，

：.OB//CD,

/.△ABO^AACD,

.0AOB

••—,

ADCD

.612

••二9

10CD

.\CD=20,

.••点C坐标为(-4,20),

:.n=xy=-80.

...反比例函数解析式为：y=-3,

X

把点A(6,0),B(0,1)代入y=kx+b得：""K+L,

lb=12

解得：『二一2.

lb=12

一次函数解析式为：J=-2x+l,

(2)当-叽-2x+l时，解得，

X

xi=10,X2=-4,

当x=10时，y=-8,

・•・点E坐标为(10,-8),

CDECDAAEDA；

:.SA=SA+S=X20X10+^-X8X10=140-

(3)不等式丘+此2，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象,

X

,由图象得，x>10,或-4Wx<0.

【点睛】

本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图像解不等式.

19、见解析,

【解析】

要证需先证△AZZPgACEF,由折叠得JBC=EC,ZB=ZAEC,由矩形得3c=AO,ZB=ZADC=90°,

再根据等量代换和对顶角相等可以证出，得出结论.

【详解】

证明：由折叠得：BC=EC,NB=NAEC,

.矩形ABCD,

：.BC=AD,/B=NAZ)C=90。，

：.EC=DA,ZAEC=ZADC=9Q°,

又；NAFD=NCFE,

：./\ADF^/\CEF(44S)

:.ZDAE=ZECD.

【点睛】

本题考查折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，借助于三角形全等证明线段相等和角相等是常

用的方法.

20、小王在这两年春节收到的年平均增长率是

【解析】

增长后的量=增长前的量x(1+增长率)，2018年收到微信红包金额400(1+x)元，在2018年的基础上再增长x,就是

2019年收到微信红包金额400(1+x)(1+x)元，由此可列出方程400(1+x)2=484,求解即可.

【详解】

解：设小王在这两年春节收到的红包的年平均增长率是二.

依题意得：的0(」+二>=484

解得二」=04=」乘,Z；=-：.j(舍去)•

答：小王在这两年春节收到的年平均增长率是

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用.对于增长率问题，增长前的量x(1+年平均增长率)年数=增长后的量.

21、(1)①R,S;②(T,0)或(4,0)；(2)@-3<n<3m>l.

【解析】

(1)•••点A的坐标为(-2,1),

.,.2+1=4,

点R(0,4),S(2,2),T(2,-2)中，

0+4=4,2+2=4,2+2=5,

点A的同族点的是R,S；

故答案为R,S；

②•.•点8在x轴上，

.•.点3的纵坐标为0,

设B(x,0),

则|x|=4,

Ax=±4,

...3(-4,0)或(4,0)；

故答案为(-4,0)或(4,0)；

(2)①由题意，直线y=x-3与x轴交于C(2,0),与y轴交于0(0,-3).

<-Xj]1：24r

\\*J•・/

4

点M在线段CD上，设其坐标为（x,j）,则有：

x>0,y<0,且y=x-3.

点M到x轴的距离为|y|,点M到y轴的距离为国，

则|x|+|y|=x_y=3.

...点M的同族点N满足横纵坐标的绝对值之和为2.

即点N在右图中所示的正方形CDEF上.

•••点E的坐标为（―3,0）,点N在直线％="上，

A-3<n<3.

②如图，设P(“,0)为圆心，72为半径的圆与直线y=x-2相切,

PN=V2,ZPCN=ZCPN=45°

：.PC=2,

：.OP=1,

观察图形可知，当“才时，若以(a0)为圆心，、历为半径的圆上存在点N,使得M,N两点为同族点，再根据对称性可知,

机W-1也满足条件，

,满足条件的机的范围：m>l

22、(1)PM=PN,PMLPN；(2)APMN是等腰直角三角形，理由详见解析；(3)——.

2

【解析】

(1)利用三角形的中位线得出4CE,PN=-BD,进而判断出BO=CE,即可得出结论，再利用三角形的中位

22

线得出9〃。否得出/。尸"=/1^4,最后用互余即可得出结论；

(2)先判断出AAADgZkACE,得出5O=CE,同(1)的方法得出9=^30,PN=-BD,即可得出PM=PN,

22

同(1)的方法即可得出结论；

(3)方法1、先判断出最大时，△「施¥的面积最大，进而求出AN,AM,即可得出MN最大=AM+AN,最后

用面积公式即可得出结论.

方法2、先判断出3。最大时，APMN的面积最大，而3。最大是43+40=14,即可.

【详解】

解：(1)1•点P,N是BC,CD的中点，

J.PN//BD,PN^-BD,

2

•.•点P,M是CD,OE的中点，

：.PM//CE,PM=-CE,

2

*:AB=AC9AD=AE,

：.BD=CE,

：.PM=PN,

yPN//BD9

ZDPN=ZADCf

•:PM//CE,

：.ZDPM=ZDCAf

VZBAC=90°,

JZADC+ZACD=90°,

:.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCA+ZADC=90°9

：.PM±PN,

故答案为：PM=PN,PMLPN,

（2）由旋转知，ZBAD=ZCAE9

*:AB=AC9AD=AE9

：./\ABD^/\ACE（SAS）,

AZABD=ZACE9BD=CE9

同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=-BD,PM=-CE

229

:・PM=PN,

••・△PMN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PM//CE,

:.ZDPM=ZDCEf

同（D的方法得，PN//BD,

:.ZPNC=ZDBC9

■:ZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,

：.ZMPN=NDPM+NDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC

=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC

=ZACB+ZABD+ZDBC=NACB+NABC,

VZBAC=90°,

:.ZACB+ZABC