2024年高考数学模拟卷（一）（含答案解析）

决胜2024年高考数学模拟卷（一）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（2024.湖南长沙.一模）为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一、高二、高

三三个年级共抽取100人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800

人，则高三年级抽取的人数为（）

A.30B.25C.20D.15

2.（2024.辽宁抚顺•一模）已知集合4=｛1,4，2=卜卜-1|<2｝,若则实数a的值是（）

A.1B.0C.-2D.3

3.（2024・河南新乡•二模）已知COS6=L,贝hos38=（）

4

人11-11〃5n5

A.B.—C.——D.-

161666

4.（2024•河北沧州・模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污

染物数量逐渐减少.已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为2.25g/n?,首次改良工艺后排放的

废水中含有的污染物数量为2.21g/m3,第〃次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量/满足函数模型

（reR,〃eN*）,其中“为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，彳为首次改

良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，〃为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过

0.65g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参考

数据：1g2«0.30,1g3«0.48）

A.12B.13C.14D.15

5.（2024・湖北・二模）已知椭圆C:二+y2=l,贝上机=2”是“椭圆C的离心率为正”的（）

m2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2024.辽宁抚顺•一模）在三棱锥P-ABC中，AB=AC=4,ZBAC=120°,PA=6,PB=PC=2岳,

则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（）

A.IOOTIB.75兀C.80兀D.120兀

7.（23-24高三上.云南德宏・期末）已知正项等比数列｛",｝中，4,3%，%成等差数歹!!.若数列｛《｝中存在两项

L14

4“，《，使得0al为它们的等比中项，则▲+?的最小值为（）

mn

A.3B.4C.6D.9

8.(2024•河北•一模)函数y=/(x)的导数y=r(x)仍是尤的函数，通常把导函数y=r(x)的导数叫做函

数的二阶导数，记作y=/"(%),类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导

数一般地，n-l阶导数的导数叫做〃阶导数，函数y=/(x)的〃阶导数记为y=〃)(x),例如y=e、的

W阶导数(e'『)=e'.若/(x)=xe'+cos2x,贝U/(5°)(O)=()

A.50-250B.50C.49D.49+249

二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

9.(2024•云南・一模)已知4、z?都是复数，下列正确的是()

A.若㈤=阂，则Zi=±z?B.卜尼卜闾㈤

C.若L+ZzITzi-Zz],则z/2=0D.z/Z[=KZ[

10.(2024•辽宁・一模)在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆A,一个酒鬼家住在£),其相对位

置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝

完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下

述结论正确的是()

A.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为:

B.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为:

C.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为总

7

D.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为二

11.(2024•河南郑州•模拟预测)已矢口/(%)=卜inx|cosx+sin2x,贝"()

A.7（尤）的图象关于点go1对称

B.〃x）的值域为----

C.在区间（0,50）上有33个零点

D.若方程=w在（0/）（"0）有4个不同的解巧（1=1,2,3,4）,其中毛＜%+i（1=1,2,3）,

则石+兄2+%+%4的取值范围是

三.填空题本题共3小题，每小题5分，共15分

12.（2024・陕西西安・一模）已知平面向量。=（2,-1）力=（T,x）,若b与0+句共线，则实数彳=.

（X、

13.（2024・陕西榆林•二模）己知函数〃x）=（尤2_以+川-加-1恰有3个零点，则机的取值范围是.

14.（2024•河南郑州.模拟预测）平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（三

角形三条高的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.若点A,B,C都在圆E上，

直线8C方程为无+y-2=0,且忸。=2面，ZkABC的垂心G（2,2）在AABC内，点E在线段AG上，则圆E

的标准方程.

四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.（13分）（2024•内蒙古包头•一模）如图，在ABC中，ZABC=90°,O是斜边AC上的一点，AB=6AD,

BC=y/6.

⑴若"3C=60。，求ZADfi和jDB的面积;

Q）若BD=母,求三的值.

16.（15分）（2024•辽宁・二模）已知函数=在点处的切线与直线x+4y+2024=0垂直.

⑴求。的值；

（2）求“X）的单调区间和极值.

17.(15分)(2024.内蒙古包头.一模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，PC，平面ASCD,ABCD,点E在

2

棱P8上，PE=2EB,点、F,H是棱E4上的三等分点，点G是棱尸。的中点.PC=CB=CD=-AB=2,

AC=VT3.

(1)证明：/TO〃平面C/G,且C,E,F,G四点共面;

(2)证明：平面上4B_L平面尸3C；

(3)求直线PC与平面CbG所成角的正弦值.

18.(17分)(2024•广东•一模)某单位进行招聘面试，已知参加面试的N名学生全都来自A,B,C三所学

校，其中来自A校的学生人数为“("＞1).该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试

号码左供=1,2,3,，，N),按面试号码％由小到大依次进行面试，每人面试时长5分钟，面试完成后自行离场.

(1)求面试号码为2的学生来自A校的概率.

⑵若N=40,”=10,且B,C两所学校参加面试的学生人数比为1:2,求A校参加面试的学生先于其他两

校学生完成面试(A校所有参加面试的学生完成面试后，B,C两校都还有学生未完成面试)的概率.

(3)记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长(从第1名学生开始面试到最后一名A校学生

完成面试所用的时间)，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)=5"(N：\).

n+1

19.(17分)(2024•山东青岛.一模)已知。为坐标原点，点W为O：/+丁=4和，M的公共点，

OM-OW=0,M与直线x+2=0相切，记动点M的轨迹为C.

⑴求C的方程；

(2)若〃＞机＞0,直线4：x-y-机=0与C交于点A,B,直线4：x-=0与C交于点A"B',点A,A在

第一象限，记直线A4'与班'的交点为G,直线48'与BA的交点为X,线段AB的中点为E.

①证明：G,E,”三点共线；

②若(根+iy+〃=7,过点X作《的平行线，分别交线段A4',BB'于点、T，V,求四边形GTET'面积的最

大值.

参考答案:

1.B

【分析】根据分层抽样的抽样比公式进行求解即可.

【详解】根据分层抽样的性质可知:

500

高三年级抽取的人数为100x=25.

500+700+800

故选：B

2.B

【分析】

首先解绝对值不等式求出集合B,再根据集合的包含关系求出参数的取值范围，即可判断.

【详解】由,一1|<2,即一2<x—1<2,解得一l<x<3,

所以8={x||x-l|<2)={x|-l<x<3},

又4={1,。}且A=所以或l<a<3,

故符合题意的只有B选项.

故选：B

3.A

715

【分析】根据题意，求得cos2e=」,sin2e=9,结合cos3e=cos(29+e),代入即可求解.

816

1715

【详解】因为cos6=—,可得cos2。=2cos之。一1=——,sin2^=l-cos2=一,

4816

贝Ucos30=cos(28+0)=cos2。cos0-sin20sin0=(2cos23-1)cos0-2sin2OcosO,

71cl5111

=—x2x——x—=-----.

8416416

故选：A.

4.D

【分析】

由题意，根据指数幕和对数运算的性质可得［2.25-0.04x331),由〃(0.65,解不等式即

可求解.

【详解】由题意知然=2.25g/m3,zi=2.21g/m3,

当〃=1时，14+(「W)X3°25+，，故3°如=1,解得方=-0.25,

所以/=2.25-0.04x.

l40

由5V0.65,得“o,即0.25(〃-1)2子g丁，

1g3

得心*2产)+1-1433,又〃©N*,

1g3

所以让15,

故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次.

故选：D

5.A

【分析】

根据椭圆离心率定义，对参数加的取值进行分类讨论即可判断出结论.

【详解】由m=2可得椭圆C:《+y2=i,此时离心率为e=£=Y号=正，

2a近2

此时充分性成立；

若椭圆C的离心率为变，当初<1时，可得离心率为e=£='巨=正，解得机=:，

即必要性不成立；

综上可知，“"=2”是“椭圆c的离心率为走”的充分不必要条件.

2

故选：A

6.A

【分析】在54C中由余弦定理求得BC=2#,由题意证得上4,平面ABC,进而确定外接

球球心O,由球心与相关点的位置关系求球的半径，最后求表面积即可.

【详解】在BAC中，BC2=AB2+AC2-2-AB-ACcosZBAC=48,

即BC=46，又PB=PC=2屈,

PA2+AC2=PC2,所以R4_LAC,同理上4_LAB,

又由ABAC=A,AB,AC[ijABC,PA_L平面ABC.

BC_4>/3_

设.ABC的外接圆半径为人所以高丽一H■一，

~2

pA2

所以r=4,所以外接球的半径E满足改=户+2=16+9=25,

2

・・・三棱锥P-ABC外接球的表面积为4成2=10071.

故选：A.

p

01

7.A

【分析】

14

由已知条件求出等比数列的公比4=2,得到〃z+"=3,利用基本不等式求上+?的最小值.

mn

【详解】设正项等比数列｛4｝的公比为q,由%,3%,%成等差数列，

有6〃3=。4+。5，即6%=+。3乡2,得/+9-6=0,由4>0,解得q=2,

若数列｛4｝中存在两项金,%,使得、3为它们的等比中项,

则(0%)=am,anf即2。；=4@"-1.441,得2"+〃-2=2，贝!]%+几=3,

141f14\、1f1n4m八、I(。I"4加).

—I—=——I—\(m+n)=—Id---1----F4>—5+2J------=3,

mn3\mnJ31根〃J3(vmn,

n4勿7

当且仅当」=——，即机=L〃=2时等号成立，

mn

14

所以上+之的最小值为3.

mn

故选：A

8.A

【分析】

根据条件，列举y=/(")(x)的前几项，根据规律，写出/5°)(力，代入％=0,即可求解.

[详解】由/*i(x)=(x+l)e，-2sin2x,/2(x)=(x+2)ex—22cos2x,

f3(x)=(x+3)ex+23sin2x,/4(x)=(x+4)ex+24cos2x,

依此类推，/⑶)(x)=(x+50)e"-250cos2x,

所以/(50)(O)=(0+50)e°-250COSO=5O-250.

故选：A

9.BD

【分析】

利用特殊值判断A、C,根据复数代数形式的运算法则及复数的模判断B、D.

【详解】对于A：令Zj=2+i、z2=l+2i,则㈤=卜|=石，显然不满足z=±z2,故A错误;

对于C：令Z]=l+i、z2=l-i,贝！|Z]+Z2=2,zi-z2=2i,

所以卜+Z2IT4—引,但是々/，=(1+D(l_i)=2,故C错误;

设Z1=Q+Z?i,z2=c+di（a,b,c,dGR）,

所以44=（。+砌（c+片）=〃。一仇/+（血+力c）i,

贝“4-z2|=\ac—bd+^ad+bc）^

又㈤乜］=J”2+从7c2+d2=J(ac)2+(Z7d)2+(ad?+(Z?c『,

所以忖2同讣回，故B正确；

Z］-z2=ac-bd-^ad+bc^i,又4-z2=(々一历)(c-M)=ac-bd-(Z+bc)i,

所以4・Z2=4•Z2,故D正确.

故选：BD

10.ABD

【分析】

根据分类计数原理和分布计数原理可逐个判定选项得结果.

【详解】选项A：10分钟或10分钟以内到家只能是AfBfC

所以酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为,故A正确；

2228

选项B：15分钟或15分钟以内到家，即共走小于或等于?=5步，

可能顺时针A走5步概率为［工］=_1,可能逆时针A走3步概率为=-,

(2)32(2)8

或者逆时针走四步，顺时针走一步，概率为c/工］=2,

\2J32

1131

故其概率概率为三+下■+有■=:，故B正确；

o32324

选项C：经过家门口不停，15分钟后恰好停在家门口，共走5步，

可以顺时针走5步，即4-HfG—产—E-。，概率为（口=—,

可以逆时针走5步，概率为cjL）=上，

\2j32

故其概率为1±5+弓=白3大三5，故C错误；

32321632

选项D：经过家门口不停，21分钟后恰好停在家门口，共走7步，

可以逆时针走5步返回2步，可以顺时针走6步返回1步，

所以其概率为型与±色=工，故D正确；

2732

故选：ABD.

11.AB

【分析】根据题意可得〃兀-x）=-/（x）,从而可对A判断；由题意可得/（彳+2兀）=/（耳,

则2兀为的一个周期，不妨讨论[0,2可内的值域情况，从而可对B判断；令/("=0,

13

可得sinx=0或cosx=0,即x=]E(左eZ),从而可对C判断；根据/(尤)=^分情况讨

297t49兀

论得到*＜左晋，玉+%+鼻+匕=5兀，从而可对D判断.

【详解】

对A：由

/(7I-%)=|sin(7i-x)|cos(7i-^)+sin2(7i-x)=|sinx|x(-cos%)-(sin2%)=-|sinx|cosx-sin2x=-/(x)

所以〃兀-x)+〃x)=0,则〃x)的图象关于C对称，故A正确；

对B：由/(%)=|sinx|cosx+sin2x=|sinx|cosx+2sinxcosx,

因为f(x+2^)=|sin(x+2K)|COS(X+2K)+sin(2x+4TC)=|sinx|cosx+2sin2x=/(x),所以

的一个周期为2兀,

不妨讨论［0,2可一个周期的值域情况,

当此时sin%之0,cos)之0,

[13

贝U/(x)=Winx|cosx+sin2x=—sinxcosx+sin2x=—sin2x+sin2x=—sinlx

JT3

因为xe0,-,所以2xe[0,7r],贝I]sin2xe[0,1],则0,-

7T

当一,止匕时sin%之0,cos%40,

2

[13

贝U/(%)=binx|cosx+sin2x=—sinxcosx+sin2x=—sinlx+sin2x=—sin2x,

因为尤e与兀,所以2xe(兀,2可，则sin2xe[-1,。],则/(x)e—1,0,

3兀

当兀——,止匕时sin尤《0,cos%＜。,

2

贝U/(%)=卜in乂cos%+sin2x=—；sinxcos%+sin2%=-；sin2x+sin2x=^sin2x,

因为，所以2k€(2兀,3兀],则sin2xe[0,1],则〃x)e0,g,

3jr

当一＜x＜2n,止匕时5皿%40,85%20,

2

贝U/(%)=,inx|cos%+sin2x=—；sinxcos%+sin2%=—；sin2x+sin2x=^sin2x,

因为xw仁，2兀,所以2xe(37t,4兀|,则sin2xe[—l,。],则-p0,

综上所述/(x)w,故B正确；

对C：f(x)=cosx(|sinx|+2sinx),令/(x)=0得sinx=0或cosx=0,可得力=(EQksZ),

21q)

所以曹7r＜50,节7r＞50,所以〃x)在(0,50)上有31个零点，故C错误；

「33-

对D：/(x)是以2兀为周期的周期函数，当x«0,兀]时〃尤)e,

则=：在(0,可上有2个实根毛，须，且%与马关于x=:对称，所以％+%=]；

当xe(兀,2可时/(x)e,则在(兀,2可上没有实根，

Q9q

则〃无)=[在(2兀,3可上有2个实根三，乙，且W与乙关于:7r对称，且X,+无4=三7r，

nc兀c5兀

且占=2兀H----,X=271-1-------,

12d12

「]][3

当xw(3兀,4兀]时f(x)G,则=]在(兀,2兀]上没有实根，

当xe(4兀,5对时，〃x)=:有2个实根，但〃x)只需有4个零点，

所以］2<t<J,，又因为X+超+尤?+4=5兀，

(89兀109兀

所以玉+%+鼻+%+，的取值范围是行，7r，故D错误，

故选：AB.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

12.2

【分析】利用向量共线的坐标表示可得答案.

【详解】a+6=(2,—1)+(—4,x)=(―2,x—1),

若6与勾共线，贝I(l)+2x=0,

解得x=2.

故答案为：2.

13.(-l,O)u(O,3)u(3,4)

【分析】

将函数零点问题转化为V=机与g⑴=f2+4x,/z(x)=411的交点问题，数形结合即可求解

范围.

(X)

【详解】令〃X)=(无2—以+时45-m-l=0,得〃?=-X2+4X或=

\7

作出8(司=_尤2+4&//(尤)=411的大致图象，如图所示，

这两个函数图象的交点为(0,0),(3,3),因为g(X)max=4,/!(%)>-1,

所以由图可知机的取值范围是（T0）5°，3）u（3,4）.

故答案为：（-1,0）50,3）53,4）

14.（x-3）2+（y-3）2=18

【分析】

首先根据塞尔瓦定理以及圆的几何性质，求解厂和怛G|,并求直线EG的方程，求解点E的

坐标，即可求解圆的方程.

【详解】

由△ABC的垂心G（2,2）到直线BC距离设圆E半径为厂，

由塞尔瓦定理可得r+\EG\^2（|EG|+V2）,由圆的几何性质可得（|EG|+血『+（亚『=/，

联立解得|EG|=VL厂=3后，

因为直线BC方程为尤+y—2=0,四，8。,且3（2,2）,所以直线EG方程为V=x,

,、|2〃一2|I—

设E（a,〃），则E到直线BC距禺d'=~—=2V2,解得q=—1（舍去）或a=3,

所以圆E的标准方程为（x-3y+（y-3）2=18.

故答案为：（尤-3）2+（y-3）z=18

15.（1）ZADB=120°,正

2

【分析】（1）在jWB中由正弦定理可求NADS,从而确定△ABC是等边三角形，一ADfi为

等腰三角形，求出边角可得面积.

CD

⑵设出OC长’在-皿C与△加A中,用双余弦可得说的值.

【详解】（1）由NO3C=60。，ZABC=90°,可得NAB0=3O。.

A5所以sin/AOB=3,

在一4）5中，由正弦定理可得

sinZABDsinZADB2

所以NAD3=120。或60。，又ND8C=60。，故只能有NAD3=12O。.

因此，ZBDC=60°,又/DBC=60。，所以△D3C是等边三角形，

所以DB=DC=BC=&,

又在中，ZAfiD=30°,ZADB=120°,故/54D=30。，

所以D4=£>B=#，AB=也AD=30

Smm=g皿孙吊30。=+限3忘=乎.

(2)令ZBDC=e,DC=y,DA=x,则AB=5,

6=2+y2-2s/2ycos0

在.BDC与ABDA中，由余弦定理可得

3X2=X2+2-2A/2XCOS(180°-9)

zaK-42^-2

消去cos。,得"----=------

yx

整理得（y-2x）（孙+2）=0,所以得y=2x,所以黑=2.

16.（l）a=-3

⑵单调递减区间为和（3,内），单调递增区间为（-L3）,"%）的极大值为“3）=?,

极小值为〃-l）=-2e2.

【分析】（1）由导数的几何意义求出斜率，利用直线垂直列式求解即可；

（2）求出导数方程的根，根据导数与极值的关系列表即可得解.

„2/、2xex-1-（X2+4Z）ex-12x-x2-a

【详解】（1）因为〃尤）=土苧，所以（（无）=-----\\2-=——，

e（e）e

则/'（1）=1-a,因为函数〃到=二£在点。"（1））处的切线与直线尤+4y+2024=0垂直,

故（1-a）x,[=-l,解得。=-3；

（2）因为〃力="，所以/'（X）=+3=一（x-；〃x+l）,

令/'（九）=0,解得％=3或%=—1,令/'（x）<0得尤>3或％<-1,令/'（X）>。得一1<%<3,

列表如下：

X-1（T3）3（3,+8）

r(x)—0+0—

极小值/极大值

故/(X)的单调递减区间为(-8,-1)和(3,+。)，单调递增区间为(-1,3),

/(X)的极大值为了⑶=提，极小值为/(-l)=-2e2.

17.(1)证明见解析

(*2)证明见解析

【分析】(1)由中位线得FG〃印入结合线面平行的判定定理即可证得〃平面C/G,

要证C,E,F,G四点共面，只需CE:〃FG,只需CE〃HD,连接结合条件证明

四边形HECD是平行四边形即可；

(2)由勾股定理得3C_LAB,由线面垂直的性质得PC_LAB,进一步由线面垂直、面面垂

直的判定定理即可得证；

(3)建立适当的空间直角坐标系，分别求出直线PC与平面CBG的方向向量、法向量，由

向量夹角的坐标公式即可求解.

【详解】(1)

因为EG分别为的中点，

所以FG〃HD,

又FGu平面CFG,HD平面CFG,

所以〃平面CFG.

连接HE,在.ELB中，芸=名_=2,

EBHA

2

所以且=

2

因为ABCD,CD=—AB,

所以CD=HE,且CD〃HE,

所以四边形HECD为平行四边形.

所以CE〃HD,

又FG〃HD,所以CE〃歹G,

故C,E,F,G四点共面.

y

(2)由题意可知，AB=3,BC=2,AC=V13,

所以A笈+BC?=AC?,故3C_LAB.

又尸C_L平面ABCD,ABu平面ABCD,所以PC_LAB,

又BCPC=C,BC,PCcPBC,

故AB工平面P3C,

又45u平面BIS,

所以平面R4B_L平面PBC.

(3)

因为PC_L平面ABCRBC,CDu平面A5CD,

所以PCLBC,PCVCD,

在平面ABCD内，ABCD,AB1BC,

所以CDLBC.

所以CD,CB,CP两两互相垂直，

以C为坐标原点，C£＞的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-孙z,

则C（0,0,0）,尸（0,0,2）,0（2,0,0）,G（l,0,l）,A（3,2,0）,

向量CP=（O,O,2）,CG=（1,0,1）,=

/、m-CG=O

设平面CPG的法向量为〃?=(x,y,z),则由，，得＜24人,

m-CF=O尤+=y+：z=O

'I33

可取加=(-2,-1,2),

।।\m-CP\42

设直线PC与平面CFG所成角为凡贝ijsin。=cosm,CP\==—=-

11|m|-|CP|3x23

因此直线PC与平面CFG所成角的正弦值为;.

n

此⑴犷

⑵』

12

(3)证明见解析

【分析】(1)按古典概型的计算方法求解.

(2)先确定来自各校的学生人数，再利用条件概率公式进行计算.

(3)先求出分布列，再按期望的公式进行化简.

【详解】(1)记“面试号码为2的学生来自A校”为事件A,

将A校"名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为C3,

事件A表示A校有1名学生的面试号码为2,

其他n-1名学生的面试号码在剩余N-1个面试号码中随机安排,

则事件A包含的样本点数为c3c；,

(N-1)!

C3C；

故P(A)=

C；一N!~N

n\(^N-n)\

.XI

(2)设B校参加面试的学生有'名,由题意得疝E=解得x=10.

所以B校参加面试的学生有10名，C校参加面试的学生有20名.

记“最后面试的学生来自B校”为事件B,“最后面试的学生来自C校”为事件C,

显然事件8,C互斥.

记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D,则O=BD+CZ).

当事件B发生时，只需考虑A,C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C

校，

1

则尸画）=p⑻尸（9B）=^X|2=

6

当事件。发生时，只需考虑A,B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自B

校，

则P(C0=P(C)尸⑺0=条*.

所以尸(0=尸(四)+尸(。)=：+[=一

0412

(3)由题知随机变量X的取值为5〃，5(〃+1),…，5N,

则随机变量X的分布列为尸(X=5A)=岩，k=n,〃+1,…，N.