2023-2024学年杭州市中考适应性考试数学试题含解析

2023-2024学年杭州市建兰中学中考适应性考试数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为（）

A.8或10B.8C.10D.6或12

2.在下列四个标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）

AB.。⑤D.£4

3.如图，一次函数yi=x与二次函数y2=ax?+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax?+(b—1)x+c的图象

可能是（）

V

仁小

o\V/xWoX

------------*xX

4.而水的化简结果为（）

A.3B.-3C.i-3D.9

5.PM2.5是指大气中直径W0.0000025米的颗粒物,将0.0000025用科学记数法表示为（）

A.2.5x10-7B.2.5x10-6C.25x107D.0.25x105

6.如图所示，点E在AC的延长线上,下列条件中能判断AB/7CD的是()

ACE

A.Z3=ZAB.ZD=ZDCEC.Z1=Z2D.ZD+ZACD=180°

7.下列计算中，正确的是（）

A.a93a=4a2B.2a+3a=5az

C.（ab）3=a3b3D.7a3vl4a2=2a

8.如图，以O为圆心的圆与直线y=-x+7J交于A、B两点，若AOAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为（）

正1

C.D.—7T

33

9.已知一次函数y=kx+b的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2-2x+kb+l=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.没有实数根

C.有两个相等的实数根D.有一个根是0

10.下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图？（）

BC

皿<2>

11.估计aI-2的值在（）

A.0至！J1之间B.1到2之间C.2至!）3之间D.3至U4之间

12.如图，在WAABC中，ZACB=90°,tanZCAB=—,AB=3,点。在以斜边AB为直径的半圆上，点M是

3

的三等分点，当点。沿着半圆，从点A运动到点B时，点M运动的路径长为（）

A.万或£B.三或二C.工或万D.N或工

223343

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

3

13.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0,4）,直线y=—x—3与x轴、y轴分别交于点A、B,点M是直

4

线AB上的一个动点，则PM的最小值为.

14.分解因式：x2+xy=.

15.如图，在△ABC中，BC=8,高AD=6,矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点G、H分别在边AC、

AB上，则矩形EFGH的面积最大值为.

16.若a+b=3,ab=2,贝!）a2+b2=.

17.请写出一个一次函数的解析式，满足过点（1,0）,且y随x的增大而减小.

abub

18.有下列等式：①由a=b,得5-2a=5-2b；②由a=b,得ac=bc；③由a=b,得一二—;④由一=一，得3a=2b；

cc2c3c

⑤由a?=b2,得④二b其中正确的是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1k

19.（6分）如图所示，直线y=7x+2与双曲线y=一相交于点A（2,n）,与x轴交于点C.求双曲线解析式；点P在x

2x

轴上，如果AACP的面积为5,求点P的坐标.

20.（6分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的

价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.求甲、乙两种树苗

每棵的价格各是多少元？在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次

购买时降低了10%,乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多

少棵乙种树苗？

/八、、।田cos300-cot45°

21.（6分）计算：sin30°・tan60°+-----------------------..

cos60°

22.（8分）某校为了解学生体质情况，从各年级随机抽取部分学生进行体能测试，每个学生的测试成绩按标准对应为

优秀、良好、及格、不及格四个等级，统计员在将测试数据绘制成图表时发现，优秀漏统计4人，良好漏统计6人，

于是及时更正，从而形成如图图表，请按正确数据解答下列各题：

学生体能测试成绩各等次人数统计表

体能等级调整前人数调整后人数

优秀

8—

良好

16—

及格

12—

不及格

4—

合计

40—

（1）填写统计表；

（2）根据调整后数据，补全条形统计图；

（3）若该校共有学生1500人，请你估算出该校体能测试等级为“优秀”的人数.

学生所缴I试成绩等次人数统计图

23.（8分）如图1,二次函数7二公"1-2ax-3a（a<0）的图象与x轴交于A、5两点（点A在点B的右侧），与y轴

的正半轴交于点C,顶点为D

（1）求顶点。的坐标（用含〃的代数式表示）；

（2）若以AO为直径的圆经过点C.

①求抛物线的函数关系式；

②如图2,点E是y轴负半轴上一点，连接3E,将AO8E绕平面内某一点旋转180。，得到APMN（点尸、M、N分

别和点。、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作M尸，x轴于点尸，若线段M尸：BF=1：2,求点V、N的

坐标；

③点。在抛物线的对称轴上，以。为圆心的圆过A、5两点，并且和直线相切，如图3,求点。的坐标.

入，求值.

25.（10分）如图，已知口ABCD.作NB的平分线交AD于E点。（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）;

若口ABCD的周长为10,CD=2,求DE的长。

26.（12分）为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况，某地区教育部门随机调查了若干名中学生，根据调查结

果制作统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

本次接受随机抽样调查的中学生人数为

图②

,图①中m的值是；求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；根据统计数据，估计该地

区250000名中学生中，每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数.

27.（12分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：

今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？

译文为：

现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格

是多少？

请解答上述问题.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、C

【解析】

试题分析：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、4,4+4=4,...不能组成三角形，

②4是底边时，三角形的三边分别为4、4、4,能组成三角形，周长=4+4+4=4,

综上所述，它的周长是4.故选C.

考点：4.等腰三角形的性质；4.三角形三边关系；4.分类讨论.

2、C

【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解.

【详解】

解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；

C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；

D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.

故选C.

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可

重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

3、A

【解析】

由一次函数yi=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax?+(b-1)x+c=0有两个不相等的根，进

b-1

而得出函数y=ax2+(b-l)x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+(b-l)x+c的对称轴x=--

2a

>0,即可进行判断.

【详解】

点P在抛物线上，设点P(x,ax2+bx+c),又因点P在直线y=x上，

:.x=ax2+bx+c,

/.ax2+(b-1)x+c=0；

由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，

・•・方程ax2+(b-1)x+c=0有两个正实数根.

工函数y=ax?+(b-1)x+c与x轴有两个交点，

X*•*■—>0,a>0

2a

b-1b1

••--------=------4------>0

2a2a2a

b-1

・,・函数y=ax2+(b-1)x+c的对称轴x=------->0,

*2a

・・・A符合条件，

故选A.

4、A

【解析】

试题分析：根据二次根式的计算化简可得：必了=囱=3.故选A.

考点：二次根式的化简

5、B

【解析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO?与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是

负指数塞，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】

解：0.0000025=2.5x106；

故选B.

【点睛】

本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO?其中公同<1(),n为由原数左边起第一个不为零的数字

前面的0的个数所决定.

6、C

【解析】

由平行线的判定定理可证得，选项A,B,D能证得AC〃BD,只有选项C能证得AB〃CD.注意掌握排除法在选择

题中的应用.

【详解】

A.VZ3=ZA,

本选项不能判断CD,故A错误；

B.VZD=ZDCE,

J.AC//BD.

本选项不能判断A3〃C。，故3错误；

C.VZ1=Z2,

：.AB//CD.

本选项能判断AB〃CZ>,故C正确；

D.VZD+ZACD=180°,

：.AC//BD.

故本选项不能判断AB//CD,故D错误.

故选：C.

【点睛】

考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键.

7、C

【解析】

根据同底数塞的运算法则进行判断即可.

【详解】

解：A、a・3a=3a2,故原选项计算错误；

B、2a+3a=5a,故原选项计算错误；

C、（ab）3=a3b3,故原选项计算正确；

D、7aM4a2=-a,故原选项计算错误；

2

故选C.

【点睛】

本题考点：同底数幕的混合运算.

8、C

【解析】

过点。作OELAB,

Vy=-X+A/3,

。(后0),c(o,5,

...COD为等腰直角三角形，ZODC=45°,

6>E=OD-sin45o=V3--=—，

22

•••△Q钻为等边三角形，

：.ZOAB=60°,

._OE_462_r-

••AACn7-------------•-7=-7Z・

sin60°273

:.AB=2rr位-=2&I.L=®TI.故选C.

360063

9、A

【解析】

判断根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了.

【详解】

•••一次函数y=kx+b的图像经过第一、三、四象限

/.k>0,b<0

A=b2-4ac=(-2)2-4(kb+1)=-4kb>0,

・・・方程x2-2x+kb+l=0有两个不等的实数根，故选A.

【点睛】

根的判别式

10、B

【解析】

根据圆锥的侧面展开图的特点作答.

【详解】

A选项：是长方体展开图.

B选项：是圆锥展开图.

C选项：是棱锥展开图.

D选项：是正方体展开图.

故选B.

【点睛】

考查了几何体的展开图，注意圆锥的侧面展开图是扇形.

11、B

【解析】

,.,9<11<16,

；・3〈而<4,

，1<8-2<2

故选B.

12、A

【解析】

根据平行线的性质及圆周角定理的推论得出点M的轨迹是以EF为直径的半圆，进而求出半径即可得出答案，注意分

两种情况讨论.

【详解】

当点D与B重合时，M与F重合，当点D与A重合时，M与E重合，连接BD,FM,AD,EM,

,.CFCM_CE_EF_2

•------------———,TTLJD—5

BCCDCAAB3

:.FM//BD,EM//AD,EF=2

ZFMC=NBDC,ZCME=ZCDA

VAB是直径

;.NBDA=90。

即NBDC+NCn4=90°

ZFMC+ZCME=90°

点M的轨迹是以EF为直径的半圆，

,:EF=2

...以EF为直径的圆的半径为1

180吻・1

•••点M运动的路径长为———=71

180

当CM』！。时，同理可得点M运动的路径长为‘万

32

故选：A.

【点睛】

本题主要考查动点的运动轨迹，掌握圆周角定理的推论，平行线的性质和弧长公式是解题的关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

28

13>—

5

【解析】

认真审题，根据垂线段最短得出PM1AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM^AABO,

即可求出本题的答案

【详解】

解：如图，过点P作PM_LAB,贝!）：NPMB=90。,

当PM_LAB时，PM最短，

__.3

因为直线y=—x-3与x轴、y轴分别交于点A,B,

4

可得点A的坐标为（4,0）,点B的坐标为（0,-3）,

在RtAAOB中，AO=4,BO=3,AB=^32+42=5»

VZBMP=ZAOB=90°,ZB=ZB,PB=OP+OB=7,

/.△PBM^AABO,

.PBPM

••—,

ABAO

所以可得：PM=—.

14、x(x+y).

【解析】

将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完

全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式.

【详解】

直接提取公因式x即可：x2+xy=x(x+y).

15、1

【解析】

设HG=x,根据相似三角形的性质用x表示出阳，根据矩形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质计算

即可.

【详解】

解：设"G=x.

•四边形EFG"是矩形，：.HG//BC,：.AAHG^AABC,即而=6-KD,解得：KD=6_则

BCAD864

333

矩形EFGH的面积=x(6-—x)=--x2+6x=--(x-4)2+1,贝!|矩形EFGH的面积最大值为1.

444

故答案为1.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

16>1

【解析】

根据a?+b2=(a+b)2-2ab,代入计算即可.

【详解】

a+b=3,ab=2,

.,.a2+b2=(a+b)2-2ab=9-4=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查对完全平方公式的变形应用能力，要熟记有关完全平方的几个变形公式.

17、y=-x+1

【解析】

根据题意可以得到k的正负情况，然后写出一个符合要求的解析式即可解答本题.

【详解】

•••一次函数y随x的增大而减小，

Ak<0,

•.•一次函数的解析式，过点(1,0),

.•.满足条件的一个函数解析式是y=-x+l,

故答案为y=-x+l.

【点睛】

本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出符合要求的函数解析式，这是一道开放性题目，答案不

唯一，只要符合要去即可.

18、①②④

【解析】

①由得5-2a=5-2A根据等式的性质先将式子两边同时乘以-2,再将等式两边同时加上5,等式仍成立,所以本选项正

确，

②由”=仇得觉=加,根据等式的性质，等式两边同时乘以相同的式子，等式仍成立，所以本选项正确，

一cih

③由〃=方,得一=—，根据等式的性质,等式两边同时除以一个不为0的数或式子，等式仍成立，因为。可能为0,所以本选项

cc

不正确，

④由4=乡，得3a=2b,根据等式的性质，等式两边同时乘以相同的式子6c,等式仍成立，所以本选项正确，

⑤因为互为相反数的平方也相等，由层=*得斫4或环也所以本选项错误，

故答案为:①②④.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

69(22

19、(1)y=—;(2)(----，0)或|---,0

x3V3

【解析】

(1)把A点坐标代入直线解析式可求得"的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得上的值,

可求得双曲线解析式；

(2)设P(x,0),则可表示出PC的长，进一步表示出AACP的面积，可得到关于x的方程，解方程可求得产点的

坐标.

【详解】

解：(1)把A(2,〃)代入直线解析式得：〃=3,

AA(2,3),

把A坐标代入尸七，得左=6,

x

则双曲线解析式为尸9.

(2)对于直线尸;x+2,

令y=0,得到x=-4,即C(-4,0).

设P(x,0),可得PC=|x+4|.

•..△ACP面积为5,

1

—|x+4|»3=5,nBnP|x+4|=2,

222

解得：x=--或丫=-二，

33

则尸坐标为［-g,o］或W0］,

20、(1)甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；(2)他们最多可购买11棵乙种树苗.

【解析】

(1)可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗

的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；

(2)可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即

可.

【详解】

(1)设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元，

依题意有..”

'=.

二一/；二

解得：x=30,

经检验，x=30是原方程的解，

x+10=30+10=40,

答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；

(2)设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有

30x(1-10%)(50-y)+40y<1500,

解得y<H.,

；y为整数，

•*.y最大为11，

答：他们最多可购买11棵乙种树苗.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系与不等关系列出方程或不等式是解决

问题的关键.

21、£1—2

2

【解析】

试题分析：把相关的特殊三角形函数值代入进行计算即可.

走_1

试题解析：^=-xV3+-^--=—+V3-2=^-2.

2122

2

22、(1)12；22；12；4；50；(2)详见解析；(3)1.

【解析】

(1)求出各自的人数，补全表格即可；

(2)根据调整后的数据，补全条形统计图即可；

(3)根据“游戏”人数占的百分比，乘以1500即可得到结果.

【详解】

解：(1)填表如下：

体能等级调整前人数调整后人数

优秀812

良好1622

及格1212

不及格44

合计4050

故答案为12；22；12；4；50；

（2）补全条形统计图，如图所示:

学生体^测试成绩等次人数统计图

格

（3）抽取的学生中体能测试的优秀率为24%,

则该校体能测试为“优秀”的人数为1500x24%=l（人）.

【点睛】

本题考查了统计表与条形统计图的知识点，解题的关键是熟练的掌握统计表与条形统计图的相关知识点.

23>(1)(1,-4a)；(2)@y=-x2+2x+3；@M-)>N(-,—)；③点Q的坐标为(1,-4+2#)或(1,

2424"

-4-2庭）.

【解析】

分析：（1）将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D的坐标.

（2）①以AD为直径的圆经过点C,即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出△ACD是个直

角三角形，且NACD=90。，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a表达出来，在得出AC、CD、AD的长度表达式后,

依据勾股定理列等式即可求出a的值.

②将AOBE绕平面内某一点旋转180。得到APMN,说明了PM正好和x轴平行，且PM=OB=L所以求M、N的

坐标关键是求出点M的坐标；首先根据①的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF=2MF作为等量关

系进行解答即可.

③设。Q与直线CD的切点为G,连接QG,由C、D两点的坐标不难判断出NCDQ=45。，那么AQGD为等腰直角

三角形，即QD2=2QG2=2QB2,设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长，根据上面的等式列方

程即可求出点Q的坐标.

详解：

(1)\"y=ax2-lax-3a=a(x-1)2-4a,

：.D(1,-4a).

(2)①•.•以AO为直径的圆经过点C,

...△AC。为直角三角形，且NAC£>=90。；

由y=ax2-lax-3>a=a(x-3)(x+1)知，A(3,0)、B(-1,0)、C(0,-3a),贝!J：

AC2=9a2+9,CD2=a2+l,AD2=16a2+4

由勾股定理得：AC^+CD^AD2,即：9a2+9+a2+l=16a2+4,

化简，得：a2=l.由aV0,得：a=-1,

②-1,

二抛物线的解析式：J=-x2+2x+3,D(1,4).

•.•将△05E绕平面内某一点旋转180。得到△PMN,

轴，且PM=OB=1；

设M(x,-x2+2x+3),贝！)OF=x,MF=-x2+2x+3,BF=OF+OB=x+l；

\'BF=2MF,

.,.x+l=2(-x2+2x+3'),化简，得：2x2-3x-5=0

解得：Xl=-1(舍去)、X2=—.

2

.,57、315、

••A7(——)、N(z一,—).

2t424

③设。。与直线a>的切点为G,连接QG,过C作CHLQD于H,如下图：

VC(0,3)、D(1,4),

：.CH=DH=1,即△C“Z＞是等腰直角三角形，

22

...△QGO也是等腰直角三角形，即：QD=2QG;

设。（1,b）,则纱=4-瓦QG2=QB2=b2^；

得：（4-b）2=2（加+4）,

化简，得：b2+Sb-8=0,解得：b=-4±2y[6;

即点。的坐标为(1,-4+2#)或(1,-4-2痣).

点睛：此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点;

后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD和。Q半径间的数量关系是解题题目的关键.

24、原式=」一，把x=2代入的原式=1.

x-1

【解析】

试题分析：先对原分式的分子、分母进行因式分解，然后按顺序进行乘除法运算、加减法运算，最后选取有意义的数

值代入计算即可.

、少叫初+匚rs-p.X—3+1+X—1

试题解析：原式----77------r----------------------

(x+l)(x-l)x-3x-1x-1

当x=2时,原式=1

25、(1)作图见解析；(2)1

【解析】

(1)以点B为圆心，任意长为半径画弧