2021届跳出题海之高中数学必做100题65空间角与距离的计算 （解析版）

2021届跳出题海之高中数学必做100题

第65题空间角与距离的计算

题源探究•黄金母题

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD1底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点，作EF1

PB交PB于点F.

(1)求证:PA//平面EDB;

⑵求证:PBJ■平面EFD;

（3）求二面角C-PB-D的大小.

【答案】（D见解析（2）见解析（3）60°.【试题来源】新课标人教A版选修2-1第

109页，例题4

【解析】如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设

【母题评析】需要明确运用空间向量法求

DC=1.

解二面角的基本步骤，建系，找点求出法

向量，向量数量积求二面角余弦

【思路方法】思路方法上；运用空间向量

坐标运算求空间角的一般步骤为：①建立

恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的

坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行

论证、计算；⑤转化为几何结论.

(1)证明:连接AC,AC交BD于点G,连接EG,依题意得A(1,O,O)

正方形，所以点G是此正方形的中心,故点G的坐标为(i-,0

22

以P4=2EG,即PA//EG.而EGU平面EDB,且PA(Z平面EDB,E

<2)证明:依题意得:B(1,1,0),=1,-1).

-----11-11

又DEM0,士，上)，故尸B・Z>E=0+±一±=0,所以PB_LD】

2222

由已知EF±PB,s.EFC\DE=E,

所以PB_L平面EFD.

(3)解:已知PBJ_EF,由⑵可知PB1DF,故NEFD是二面角

C-PB-D的平面角.

设点F的坐标为(x,y,z),则PF=(X,y,Z-1).

因为m=Z而,所以而•而=0,

所以(1,1,")•(k,k,l-k)=k+k-1+k=3k-l=0,

所以k=；,点F的坐标为(；,；,|)。

又点E的坐标为(0,；,g),

—•11FF-FD

所以二），因为cosNE产£>=1%।

366|FE||FD|

1

-

61

---

12-

3

即NEFD=60",即二面角C-PB-D的大小为60°.

考场精彩•真题回放

【2020年高考天津】如图，在三棱柱ABC—A4G中，eg，平面ABC,AC_LBC,AC=BC=2,

CG=3,点。，E分别在棱A4和棱C0上，且AD=1,CE=2,例为棱44的中点.

(I)求证：

(II)求二面角3—4七—。的正弦值;

(m)求直线A8与平面03后所成角的正弦值.

【解析】依题意，以C为原点，分别以CACB,CG的方【命题意图】考察空间想象能力及推理论

向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如

证和计算能力，转化思想。

图)，可得C(0,0,0),A(2,(),()),8(0,2,()),q((),0,3),

【考试方向】这类试题在考查题型上，通

4(2,0,3),耳(0,2,3),D(2,0,1),E((),0,2),M(l,l,3).

常基本以选择填题或解答题的形式出现，

难度中档.

【学科素养】逻辑推理

【难点中心】关于空间角计算的难点在于,

概念不清，在较为复杂的几何环境下无法

准确的找出空间角对应的平面角。即空间

想象能力不足。

(I)证明：依题意，=(1,1,0),B,Z)=(2,-2,-2),

从而。|"-4。=2—2+0=(),所以GMLgD.

(II)解：依题意，C4=(2,0,0)是平面34七的一个法

向量，EB,=(0,2,1),££)=(20,-1).设腹=(x,y,z)为

n-EB.=0,[2y+z=0,

平面的法向量，则11即，不妨

it-ED=0,2.x—z—0.

设x=l,可得〃=(1,一1,2).

因此有cos〈C4,〃〉==Y6,于是

|CA||〃|6

sin〈C4,〃〉=^

/□A

所以，二面角8—3万—。的正弦值为、一.

（小）解:依题意，AB=（—2,2,0）.由（II）知"=（1,一1,2）

为平面。gE的一个法向量，于是

\_ABn_x/3

cos（A3,”

/|AB||n|_~T

所以，直线A8与平面。4石所成角的正弦值为且.

3

三.理论基础•解题原理

考点一异面直线所成的角

⑴定义：设》是两条异面直线，经过空间中任一点。作直线优〃a,b'//b,把优与，所成的锐角（或

直角）叫做异面直线。与b所成的角.

（2）范围：（0,外.

考点二直线和平面所成的角

（1）定义：平面的一条斜线和它在壬面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.

（2）范围：［。，f］.当直线与平面垂直和平行（或直线在平面内）时，规定直线和平面所成的角分别为90。

和0°.

考点三二面角

（1）定义：从一条直线出发的蚯生壬面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：在二面角的棱

上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直壬棱的两条射线，这两条射线所构

成的角叫做二面角的平面角.

（2）范围：［0,司

考点四用向量求空间角的方法：

(1)线线角：直线与直线所成的角，，如两直线的方向向量分别为“，b,

贝I]cos0=|cos{a,Z?〉|.

(2)线面角：直线与平面所成的角〃，如直线的方向向量为a,平面的法向量为"，

贝!Is比AIcos(a,n)\.

(3)面面角：两相交平面所成的角仇两平面的法向量分别为小，n2,

则cosO=|cos〈"”"2〉I.判定二面角的平面角是锐角还是钝角的情况来决定

cosO=|cosn2)|还是cos〃=一|cos〈""n)|.

考点五求点面距一般有以下三种方法

(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离.

(2)等体积法.

(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.

(1)两点间的距离

设点4(Xl，J1，Zi),点8(*2，及，Z2)，则一用=[48I=1(X1—X2)2+®—X2)2+(Z|—Z2)2.

(2)点到平面的距离

如图所示，已知A3为平面a的一条斜线段，n为平面a的法向量，则6到平面

A

a的距离为IBO\=———.

四.题型攻略•深度挖掘

【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选填题或解答题的形式出现，难度中档。

考向1空间线与线所成的角

如图，正方体A8C6A|BiGOi中，点M是A8的中点，则与CM所成角【温馨提醒】本题考杳

的余弦值为()了异面直线所成角的定

义以及求法，线面平行

V15

15,5的判定定理，球的表面

积公式，以及直四棱柱

的结构特征，属于中档

题.

【答案】C

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体棱长为2,则"(2,1,0),

C(0,2,0),8(2,2,0),£M0,0,2),ACM=(2,-1,0),DIB=(2,2,-2),

CMD,B_2_V15

cos〈CM,D,B>=

CM||D,B~y[5x2y[3~15'

:.DiB与CM所成角的余弦值为喈，故选C.

考向2线与面所成的角

【温馨提醒】通过证明

如图，在正方体ABCD-A4G。中，点。为线段8。的中点.设点P在线段

直线与平面垂直，构造

CG上,直线。P与平面48。所成的角为贝！Isina的取值范围是()得到直线与平面所成角

的平面角，利用解三角

形的知识计算得到其正

弦值.本题属于中等题，

主要考查学生基本的运

算能力以及空间想象能

力，考查学生空间问题

转化为平面问题的转化

与化归能力.

【答案】B

【解析】

试题分析：设正方体的棱长为1,则妁="*=亚40=℃1=卜；=\℃=£,所以

33、31,

-+-2]讣_+-3RR

cosNqOC]：^―=-.sinZ41OCJ=^»)cos/4OC=^-=一二.sinZ40c二一

2x：332x由33

22

又直线与平面所成的角小于等于班，而幺0C为钝角，册向a版励目』，选B.翔网

考向3二面角

如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABC。(及其内部)以A8边所在直【温馨提醒】此类题H

是立体几何中的常见问

线为旋转轴旋转120。得到的，G是。F的中点.

题.解答本题，关键在于

(I)设P是CE上的一点，且AP_L8E,求NCBP的大小;能利用直线与直线、直

线与平面、平面与平面

(II)当AB=3,AD=2,求二面角E—AG—C的大小.

关系的相互转化，通过

严密推理，明确角的构

成.立体几何中角的计

算问题，往往可以利用

几何法、空间向量方法

求解，应根据题目条件,

灵活选择方法.本题能

【答案】(I)ZCBP=30°.(U)60°.

较好的考查考生的空间

【解析】（I）因为APJ.BE,ABLBE,AB,APu平面A8P,想象能力、逻辑推理能

ABAP=A,力'转化与化归思想及

基本运算能力等.

所以6EJ.平面ABP,又BPu平面ABP,

所以3E_L3P,又NEBC=120。，因此NCBP=30°

（n）解法一：

取EC的中点“，连接E”，GH,。”.因为/七3。=120。，所以四边形

BEHC为菱形，

所以AE=G£=AC=GC=J?R=JB.取AG中点M，连接EM,CM,

EC.

则EMLAG,CM1AG,所以NEMC为所求二面角的平面角.

又AM=1,所以EM=CM=&3-1=26.在A8EC中,由于

ZEBC=120°,

由余弦定理得EC?=22+22-2X2X2XCOS120°=12,

所以EC=26,因此AEMC为等边三角形，故所求的角为60°.

解法二：

以8为坐标原点，分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴，建立如

图所示的空间直角坐标系.由题意得4((),(),3)E(2,0,0),G(1,V3,3),

C(—1,6,0)，故AE=(2,0,—3),AG=(l,6,0),CG=(2,0,3),

-A-m-AE=0

设/%=(%,X，4)是平面AEG的一个法向量.由《可得

m•AG-0

2x—3Zj=0,

<1

XI+3I=0,

取4=2,可得平面AEG的一个法向量加(3,-百,2).

设〃=(%2，%，22)是平面4。6的一个法向量.

,n-AG=0|x2+>/3y2=0,

由《可得〈一

n•CG=0[2x2+3Z2=0,

取Z2=—2,可得平面ACG的一个法向量〃=(3,—G,-2).

m-n1“c

所以cos<加,〃>==7.因此所求的角为60。.

\m\-\n\2

考向4点到直线、点到平面的距离问题

在棱长为1的正方体A3CD-4181Goi中，E为线段4豆的中点，尸为线段A3的【技能方法】求出面距

中点.

一般有以下三种方法：

(1)求点B到直线AG的距离；

(1)作点到面的垂线，点

(2)求直线FC到平面AEG的距离.到垂足的距离即为点到

平面的距离.

解：以O1为原点，DtAi,OCi,SO所在直线分别为x轴,

y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则4(1,0,1),(2)等体积法.

8(1,1,1),C(0,1,1),G(0,l,0),£(1,0),(，1),

(3)向量法.其中向量法

所以在易建立空间直角坐标

AB=(0,1,0),AQ=(-1,1,-1),A£=(0,-1),系的规则图形中较简

便.

(1)^.a=AB=(0,1,0),u=A?=坐(—ij,一［),则「=1,a>u=

3•

14Gl

所以，点B到直线ACi的距离为7『一((ru)2=坐.

(2)因为下行=或=(一1,0),所以FC//ECX,所以fC〃平面AEG.所

以点F到平面AEG的距离为直线FC到平面AEG的距离.

设平面4EG的法向量为n=(x,y,z),

n-AE=0,

则.

n-EQ=0.

所以<

x=z,

所以•

y=2z.

取z=l,则x=l,y=2.所以，n=（l,2,1）是平面AEG的一个法向量.

））,所以点

F到平面AEG的距离为“丁」

（。，i“a，2,i）|水

<6=6，

即直线尸C到平面AEG的距离为平.

五.限时训练*提升素养

1.（2020・安徽）如图，在正方体A3CO-44GA中，棱长为1，E、F分别为GA与A6的中点，隹到

平面AFCE的距离为（）

A6

V--•------------D.粤

25

【答案】B

【详解】

设点用到平面AFCE的距离为h.

•••正方体棱长为1,

:.AF=FC=W，AC=&EF=^，

V2_V60-xlxl=l

2422

又V氏_、CF与尸，

解得力邛

即点Bj到平面AFCE的距离为远.

3

故选：B.

2.（2020•全国高三）如图，在长方体A4GA中，AB=5,BC=6,"=7,E/是棱A8上

的一条线段，且EF=3,。是AD的中点，P是棱上的动点，则

①四面体P-QEF的体积为定值

②直线到平面PEF的距离为定值

③点P到直线EF的距离为定值

④直线产。与平面QEF所成的角为定值

其中正确结论的编号是（）

A.①②③B.①②④C,①③④D.②③④

【答案】A

【详解】

因为AB//C.D,，所以平面PEF即为平面ABGR,

因此Q到平面PEF的距离（设为d）等于。到平面ABCR的距离，即d为定值;

因为AB//CtD.，所以p到直线EF的距离等于直线C.D,到直线AB的距离，为定值;

因此③正确；

而E尸=3,所以PE尸面积为定值,

因此四面体P-QEF的体积等于g".SVPEF，为定值，即①正确；

因为所以直线4片与平面尸石尸（即平面ABC；。）平行，

从而直线4耳到平面PEF的距离等于定直线4耳与定平面ABCR之间距离,

为定值，即②正确；

当P与D重合时，过R作〃MLA。交AQ延长线于用，

则由长方体性质得AB±平面AD0A，即得钻l.

因为ABIAQ=A,AQ,ABu平面ABQ,

从而平面A8Q,

因此/DQM为直线PQ与平面QEF所成的角，

sinND]QM

当尸与G重合时，因为C,D,///平面QEF,

所以G,A到平面QEF的距离相等,

过C,作C\NHD\M,C\N=D\M,

则C{N为点G到到平面QEF的距离

连QN,则ZCQN为直线PQ与平面QEF所成的角,

sinNC、QN=梁<需^，即④错误;

故选：A

3.（2020•全国）己知点P是矩形ABCO所在平面外一点，且满足PC=PO,平面PA。平面尸BC=/,

设直线CP与直线OP所成角的大小为。，直线CP与平面PAO所成角的大小为尸，二面角A-/-B的大

小为7，则下列判断正确的是（）

A.a>(3>yB.y>a>(3c.a>y>(3D.P>a>y

【答案】B

【详解】

由题意可知，,取ye万)，则/Na,y>/3,

设点C到平面PAD的距离为h,设点C到直线PD的距离为d,

山于点C到平面PA。内任意一点的距离中，垂线段最短，

因为P3u平面PAO,所以，d>h,

dh

sina=万不，sin£=正;，则sineNsin尸，所以，a>/3,

因此，/>«>/?.

故选：B.

4.（2020・东莞）在矩形ABC。中，AB=1,BC=2,将"3D沿80向上折起到A4,6。的位置，得到四

面体4BCD.当四面体ABCD的体积最大时，异面直线A8与C。所成角的余弦值为一.

【答案】|

【详解】

如图，当平面A3。，平面BCO时，四面体43co的体积最大.

过A作于“，则A”L平面8co

29F5

因为A”=A"=F，所以4人=半，

V5V5

因为AB//CD,所以NABA或它的补角为异面直线AB与CO所成的角.

因为COSZA.BA=A4+M—M

2ABA.B2x1x15

所以异面直线AB与C。所成角的余弦值为"

故答案为：—■

5.（2020.浙江）正方体.8—A4GR中，E为BC中点,在平面A4GR内，直线〃/即，设二面

角A―/一E的平面角为a,当a最大时，cosa=.

23

【答案】&

【详解】

设正方体ABQ□-4与GR的棱长为1,/与A4，A。分别交于点/，”，HIAG=o,取co的中点

F,连接EF,EFAC=G,连接AO,OG,

£,户分别为5。,。＞中点，，£/〃8。，又BDHBQJil,：.EF〃B\D\Hl,

四点共面,

A4,_L平面AB|GA，3]。1<=平面414。1〃，，明，4。，

又BQ|J_AG，A41cAe]=4，AV4GU平面A41GC,二4。1_L平面例C|C,

又〃/B|A，:./_L平面A41GC,

/.ZAOG即为二面角A-l-E的平面角a,且a为锐角.

”是△BCO的中位线，：.G是AC的四等分点，.•.AG=3AC=K2，

44

作出截面A4,G。，以A为坐标原点，AC为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，

y

设O(x,l),xe(0,a),

1k-1

直线0A的斜率kOA=~,直线0G的斜率°。3V2，

xx------

4

i____2

3A/2x3A/230

tana="。。一勤=-----------=]~~—=4

]+20G.^OA1-I----------------|3v2|[23夜,

x-------X+1

(3。x"F+14

Xx------\)

4

当a取得最大值时，tana取得最大值,

2

当工=逑时，tana最大，即。(3⑸41

...04=06=+12=

8(8)32

41419

“空+心_或32+32-823

由余弦定理可得:

20A0G4141

16

23

"pia最大时,cosa=—.

41

23

故答案知-

6.（2020•浙江）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面A8CO是矩形，AB=l,AD=2,△ABP为等腰

TT

三角形，NPBA=—.

2

（I）证明：平面P8C，平面A6CQ；

（II）若二面角P-CO-A的余弦值为九5,且PC>8C,求尸。的长度，并求此时PO与平面P4B所

8

成角的正弦值.

【答案】（I）证明见解析；（H）PD=@；'逅

14

【详解】

rr

(I)证明：四边形ABC。为矩形，.•.A3,5C,又ZPBA=%，即AB，PB,

2

8C,P8u平面P8C,BCPB=B,平面P8C,

ABu平面ABC。，二平面PBC_L平面ABC。.

(II)由(I)知：A3_L平面PBC,PCu平面PBC,ABVPC,

由AB〃C。得：CDLPC,又CDd.BC,

NPC8即为二面角P—CO—A的平面角e,

222

z.nn,HABC+PC-PB376，/。PRAR1

在r甲，COS&=-----------------=----，XnC=2,PB=AB=1,

2BC,PC8

可得：PC=屈或号,又PC>BC，；.PC=R，PD=VPC2+CD2=A/7-

过点尸作PQ，6C,垂足为点。，可得：PQ=PCsinNPCB=叵，

由平面PBCJ_平面ABC。，平面P8C平面ABC。=6。得：PQJ•平面ABC。,

设点D到平面PA8的距离为h.

“'^D-PAB=^P-ABD得：］SVPAB."=§^VABD'PQ'

而SVPAB=-'-'-/?=2PQ=，

岳

设PO与平面尸43所成角为S,则._h_2_V105.

sin(D——^―——

PD币14

与平面PA8所成角正弦值为叵I.

14

7.（2020・全国）如图，直二面角K中，四边形ABC。是边长为2的正方形，AE=EB,F为CE

卜一的点，且8尸，平面ACE.

（1）求证：平面BCE；

（2）求二面角8—AC—E的大小；

（3）求点。到平面ACE的距离.

【答案】（I）证明见解析；（2）arcsin—；（3）友.

33

【详解】

证明：•••3尸，平面ACE,平面ACE平面BCE=CE,Bb_LAE,

:二面角。一AB-E为直二面角，，平面ABC。_1,平面ABE,

乂3C_LAB,8CJ■平面ABE，二BCJ.AE,

又B/7u平面BCE,SFcBC=3,AE_1_平面BCE；

⑵连结AC、BD交于G,连结FG,•.'ABC。为正方形，...6。，AC,

：BFJL平面ACE,用人AC,NFG8为二面角B—AC—E的平面角，

由(1)可知，AEJ_平面BCE,:.AE工EB,又AE=EB,AB=2,AE=BE=42>

BCBE2^2_2

在放ABCE中，CE^ylBC2+BE2=y[6'BF=

CE-R一下)

在正方形中，BG=丘,在直角三角形BFG中,

5也/对8="=率=且'二二面角8—AC-E为arcsin乎;

BG五33

(3)由Q)可知，在正方形A3CO中，BG=DG,

D到平面ACB的距离等T-B到平面ACE的距离,

BF±平面ACE,线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离,

即为。到平面ACE的距离，O到平面ACE的距离为2=述

63

8.（2020・全国）如图，多面体ABCEZ）中，ffiABD±ffiABC,®BCEABC,DE〃面ABC,

AB=275，BE=CE,AD=BD=BC=2.

(1)求NBEC的大小；

(2)若OE=2,求二面角8—OE-C的余弦值.

【答案】(1)ZBEC=90°:(2)y.

【详解】

(1)取AB、BC的中点M、N,连接MD、EN、MN.

因为AD=B。，M为AB的中点，则DMVAB,

平面A83_L平面ABC,平面A3。c平面ABC=AB,DWu平面43£)，所以，£>A/_L平面ABC,

同理EN_L面ABC,故。M〃EN,故£>、M、N、E共面.

乂OE〃面ABC,DEu平面DMNE,面DMNE面ABC=MN,故DEHMN.

故四边形。MNE为平行四边形，故EN=DM7BD?-BM2=1，

£7VJ_平面ABC,BCu平面ABC,EN_L8C,

又BE=CE,BC=2,BN=NC=、BC=\=EN,:.NEBC=NECB=45，

2

故NB£C=90"；

(2)在平面ABC内作BQJ.AC于Q,在平面8£>E作BP，OE于尸，连接PQ.

因为M、N分别为A8、AC的中点，散MNMAC,又MNIIDE、故ACHDE,

BQLAC,：.BQLDE,

BPVDE,BPcBQnB,OE_L平面BPQ,

8。＜=平面8尸。，.・.8。_1。£：,所以，ZBPQ为二面角B-OE—C的平面角,

又由（1）可得OE=MN=』AC=2,故AC=4.

2

由(1)可得CE=BE=M再疝"=垃，

AC2^AB2+BC2,则/ABC=90，故52="廿="

AC-

在BDE中,由等面积法有，£>E.BP=，BE.JOE2_11BE]==BEx叵,

22\UJ22

V14n

------BE----xV2R

2=2=VI

DE22

故EP7BE?-BP?=；,CQ=《BC?_802=],故加=面炉_(CQ—EP'=立，

22

由余弦定理可得cosNBPQ=BP；；；需。=；，

因此，二面角B—OE-C的余弦值为g.

9.(2020・江苏)如图，四边形PCBM是直角梯形，/PCB=90°,PM〃BC,PM=l,BC=2aAC=l,ZACB=120°,

AB1PC,直线AM与直线PC所成的角为60。.

(1)求证：PC±AC；

(2)求二面角M-AC-B的余弦值;

(3)求点B到平面MAC的距离.

【答案】(1)详见解析；(2)零；(3)呼

【详解】

方法1：(1)证明：PCLBC,PCVAB,二产。，平面ABC,APCVAC.

(2)取8c的中点N,连MN.'：PMJN,：*MN"C.：.MNL平南ABC.

作NH_LAC,交PC的延长线于E,连接AM.

由三垂线定理得NE1MH,：.NMHN为二面角M-AC-B的平面角.

•••直线AM与直线PC所成的角为60°，

...在R/A4MN中，ZAMN=60°.

在A4CN中，AN=7AC2+CN2-2AC'CN-COS1200;®

在MA4MN中，MN=AN・cot/AMN=J^cot60°