2017-2018学年江苏省扬州市邗江区九年级（上）期末数学试卷

2017-2018学年江苏省扬州市祁江区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个

选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题

纸相应位置上）

1.（3分）下列事件属于随机事件的是（）

A.任意画一个三角形，其内角和为180。

B.太阳从东方升起

C.掷一次骰子，向上一面点数是7

D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

2.（3分）为了考查某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位:

cm）为16,9,14,11,12,10,16,8,17,19,则这组数据的中位数和极差

分别是（）

A.13,11B.14,11C.12,11D.13,16

3.（3分）方程2x2-5x+3=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D.两根异号

4.（3分）在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=5,BC=12,（DC的半径为旨，则。C与

Xo

AB的位置关系是（）

A.相切B.相交C.相离D.无法确定

（分）设（）（）（）是抛物线（）2

5.3A-2,yi,B1,y2,C2,y3y=-x+1+3±

的三点，则yi，丫2，丫3的大小关系为（）

A.yi>y2>y3B.yi>y3>y2C.y3>y2>yiD.y3>yi>y2

6.（3分）。。的半径为10,两平行弦AC,BD的长分别为12,16,则两弦间的

距离是（）

A.2B.14c.6或8D.2或14

7.（3分）小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图）中观察得到了下面五条信

息：

①abc>0

②2a-3b=0

③b?-4ac>0

④a+b+c>0

⑤4bVc

则其中结论正确，的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

8.（3分）如图，平面直角坐标系中。是原点，平行四边形ABCO的顶点A、C

的坐标分别（8,0）、（3,牛），点D,E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交

OA、AB于点F,G,连接FG.则下列结论：

①F是OA的中点；②ACFD与4BEG相似；③四边形DEGF的面积是空；④

皿茅.正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，

请把答案直接写在答题纸相应位置上.）

9.（3分）如图，已知NA=ND,要使△ABCsaDEF,还需添加一个条件，你添

加的条件是.（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）

D

Cf

10.（3分）据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37℃）的黄金比值时,

人体感到最舒适.这个气温约为℃（精确到1℃）.

1L（3分）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的

边数为.

12.（3分）一组数据-1,-2,x,1,2的平均数为0,则这组数据的方差为.

13.（3分）某种冰箱经两次降价后从原来的每台2500元降为每台1600元，求

平均每次降价的百分率为.

14.（3分）已知€）0半径为1,A、B在。O上，且AB=&,则AB所对的圆周角

为

15.（3分）如图，D是AABC的边BC上一点，AB=4,AD=2,ZDAC=ZB.如果

△ABD的面积为15,那么4ACD的面积为.

DC

16.（3分）若。O是等边aABC的外接圆，。。的半径为2,则等边AABC的边

长为.

17.（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-2）2-4经过原点0,与x轴

的另一个交点为A.将抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部

分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G,过点B（0,1）作直线

I平行于x轴，当图象G在直线I上方的部分对应的函数y随x增大而增大时，x

的取值范围是

18.（3分）如图，在aABC中，ZCAB=90°,AB=6,AC=4,CD是△ABC的中线,

将AABC沿直线CD翻折，点B，是点B的对应点，点E是线段CD上的点，如果

ZCAE=ZBAB/,那么CE的长是.

三、解答题（本大题共有10题，共96分.请在答题纸指定区域内作答，解题

时写出必要的文字说明，推理步骤或演算步骤.）

19.（8分）解方程:

（1）x2+2x=l；

（2）（x-3）2+2（x-3）=0.

20.（8分）已知关于x的方程x2+2x+a-2=0.

（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；

（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根.

21.（8分）有四张规格、质地相同的卡片，它们背面完全相同，正面图案分别

是A.菱形，B.平行四边形，C.线段，D.角，将这四张卡片背面朝上洗匀后

（1）随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是;

（2）随机抽取两张卡片（不放回），求两张卡片卡片图案都是中心对称图形的概

率，并用树状图或列表法加以说明.

22.（8分）某市发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了捐款活动，

为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制

了统计图，如图①和②，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为,图①中m的值是；

（2）求本，次调查获取的样本数据的平均数；

（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

23.（10分）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点

A、B、C,请在网格中进，行下列操作：

（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为；

（2）连接AD、CD,求。D的半径及扇形DAC的圆心角度数；

（3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径.

24.（10分）如图，BE是。0的直径，点A在EB的延长线上，弦PD_LBE,垂足

为C,连接OD,ZAOD=ZAPC.

（1）求证：AP是。。的切线；

（2）若。。的半径是4,AP=4旧，求图中阴影部分的面积.

25.（10分）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250

件.市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件.

（1）若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是

多少？

（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由.

26.（10分）如图，直角梯形ABCD中，ZB=90°,AD〃BC,BC=2AD,点E为边

BC的中点.

(1)求证：四边形AECD为平行四边形；

(2)在CD边上取一点F,联结AF、AC、EF,设AC与EF交于点G,且NEAF=

ZCAD.求证：△AECs^ADF；

(3)在(2)的条件下，当NECA=45。时.求：FG：EG的比值.

27.(12分)定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时,

它们对应的函数值互为相反数；当x20时，它们对应的函数值相等，我们称这

样的两个函数互为相关函数.例如：一次函数y=x-1,它们的相关函数为

_f-x+1(x<CO)

(1)已知点A(-5,8)在一次函数y=ax-3的相关函数的图象上，求a的值;

(2)已知二次函数y=-x?+4x-

①当点B(m,1)在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；

②当-34W3时，求函数y=-x2+4x-5的相关函数的最大值和最小值.

28.(12分)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交

于点A(-1,0)和点B,与y轴相交于点C(0,3),抛物线的对称轴为直线I.

(1)求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；

(2)如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D,点C关于直线I的

对称点为N,试证明四边形CDAN是平行四边形；

(3)点P在直线I上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相

切，求点P的坐标.

2017-2018学年江苏省扬州市祁江区九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个

选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题

纸相应位置上）

1.（3分）下列,事件属于随机事件的是（）

A.任意画一个三角形，其内角和为180。

B.太阳从东方升起

C.掷一次骰子，向上一面点数是7

D.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

【解答】解：A、是必然事件，故A不符合题意；

B、是必然事件，故B不符合题意；

C、是不可能事件，故C不符合题意；

D、是随机事件，故D符合题意；

故选：D.

2.（3分）为了考查某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位:

cm）为16,9,14,11,12,10,，16,8,17,19,则这组数据的中位数和极

差分别是（）

A.13,11B.14,11C.12,11D.13,16

【解答】解：将数据从小到大排列为：8,9,10,11,12,14,16,16,17,19,

中位数为：13；

极差=19-8=11.

故选：A.

3.（3分）方程2x2-5x+3=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D.两根异号

【解答】解:VA=(-5)2-4X2X3=l>0,

...方程2x2-5x+3=0有两个不相等的实数根.

故选:B.

4.(3分)在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=5,BC=12,0c的半径为普，则G)C与

AB的位置关系是()

A.相切B.相交C.相离D.无法确定

【解答】解：

过。作0D±AB于D,

由勾股定理得：AB^AC^BC^13'

由三角形的面积公式得：ACXBC=ABXCD,

A5X12=13XCD,

•CD=”9->51

AOO与AB的位置关系是相离，

故选■:C.

2

5.(3分)设A(-2,yi),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)+3±

的三点，则yi,丫2,丫3的大小关系为()

A.yi>y2>y3B.yi>y3>y2C.y3>y2>yiD.y3>yi>y2

【解答】解：•••函数的解析式是y=-(x+1)2+3,如右图，

.,.对称轴是x=-1,

...点A关于对称轴的点A，是（0,yi）,

那么点/V、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小,

于是

yi>y2>y3.

6.（3分）的半径为10,两平行弦AC,BD的长分别为12,16,则两弦间的

距离是（）

A.2B.14c.6或8D.2或14

【解答】解：如图①，当弦AC,BD在。。的圆心同侧时，

作OE_LAC垂足为E,交BD于点F,

VOE1ACAC〃BD,

.'.OF±BD,

/.AE=-^AC=6,BF=3BD=8,

在RtAAOE中

O^VoA^AE^VlO2-62=8

同理可得：

OF=6

；.EF=OE-OF=8-6=2；

如图②，当弦AC,BD在。。的圆心两侧时,

同理,可得：EF=OE+OF=8+6=14

综上所述两弦之间的距离为2或14.

故选：D.

7.（3分）小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图）中观察得到了下面五条信

息：

①abc>0

②2a-3b=0

③b?-4ac>0

④a+b+c>0

⑤4bVc

则其中结论正确的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【解答】解：①因为函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知，cVO,

由函数图象开口向上可知，a>0,由①知，c<0,

由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x=-g>0,故bVO,故abc>0；故此

2a

选项正确；

②因为函数的对称轴为x=-?=±,故2a=-3b,即2a+3b=0；故此选项错误；

③因为图象和X轴有两个交点，所以b2-4ac>0,故此选项正确；

④把x=l代入y=ax2+bx+c得：a+b+cVO,故此选项错误；

⑤当x=2时，y=4a+2b+c=2X（-3b）+2b+c=c-4b,

而点（2,c-4b）在第一象限,

二⑤c-4b>0,故此选项正确;

其中正确信息的有①③⑤，

故选：B.

8.（3分）如图，平面直角坐标系中。是原点，平行四边形ABC。的顶点A、C

的坐标分别（8,0）、（3,4）,点D,E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交

OA、AB于点F,G,连接FG.则下列结论：

①F是OA的中点；②△OFD与ABEG相似；③四边形DEGF的面积是筌；④

O

A.4个B.3个C.2个D.1个

【解答】解：①•••四边形OABC是平行四边形,

ABC//OA,BC=OA,

/.△CDB^AFDO,

.BC_BD

••丁而，

•.•D、E为0B的三等分点，

.BD2

,oTT

，BC=20F,

A0A=20F,

，F是OA的中点；

所以①结论正确；

②如图2,延长BC交y轴于H,

由c(3,4)知：0H=4,CH=3,

，0C=5,

•\AB=0C=5,

VA(8,0),

OA=8,

•・OANAB,

ZAOB^ZEBG,

/.△OFD^ABEG不成立，

所以②结论不正确；

③由①知：F为OA的中点，

同理得；G是AB的中点，

，FG是aOAB的中位线，

DE2,

过C作CCUAB于Q,如图3.

S^OABC=OA•OH=AB*CQ,

A4X8=5CQ,

.,.CQW，

5

SAOCF=yOF*OH=-^-X4X4=8,

SACGB=-^-BG•CQ=(X-^-X—=8,

2225

SAAFG=_~X4X2=4,

•，-SCFG=SOABC-SFC-SBG-SFG=8X4-8

A0AOACAA8-4=12,

：DE〃FG,

.,•△CDE^ACFG,

.S/kCDE=（吗2_4

S/kCFGFG9

.S四边形DEGF5

^ACFG91

・c_5c_20

・・、四边形DEGF=—OACFG=-T-；

yj

所以③结论正确；

④在Rt^OHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2,

•#"OB=7(3+8)2+42=V137>

OD=^^,

3

所以④结论不正确；

本题结论正确的有：①③.

故选：C.

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程,

请把答案直接写在答题纸相应位置上.）

9.（3分）如图，已知NA=ND,要使△ABCs/SDEF,还需添加一个条件，你添

加的条件是AB〃DE.（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）

【解答】解：•••NA=ND,

.,.当NB=NDEF时,AABC^ADEF,

,.•AB〃DE时，ZB=ZDEF,

，添力口AB〃DE时,使△ABCs/\DEF.

故答案为AB〃DE.

10.（3分）据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37℃）的黄金比值时,

人体感到最舒适.这个气温约为23°C（精确到1℃）.

【解答】解:根据黄金比的值得:37X0.618^23℃.

故答案为23.

11.（3分）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的

边数为6.

【解答】解：设这个多边形的边数为n,

On边形的内角和为（n-2）*180°,多边形的外角和为360。,

，（n-2）•180°=360°X2,

解得n=*6.

,此多边形的边数为6.

故答案为：6.

12.（3分）一组数据-1,-2,x,1,2的平均数为0,则这组数据的方差为2.

【解答】解:由平均数的公式得:（-1-2+1+2+x）4-5=0,

解得x=0；

，方差=[(-1-0)2+(-2-0)2+(0-0)2+(1-0)2+(2-0)2]4-5=2.

故答案为：2.

13.（3分）某种冰箱经两次降价后从原来的每台2500元降为每台1600元，求

平均每次降价的百分率为20%.

【解答】解：设降价的百分率为x,由题意得2500（1-x）2=1600,

解得Xi=0.2,X2=-1.8（舍）.

所以平均每次降价的百分率为20%.

故答案为20%.

14.（3分）已知€）0半径为1,A、B在。O上，且AB=&,则AB所对的圆周角

为45或135。.

【解答】解：如图所示

VOC±AB,

I.C为AB的中点，即AC=BC=3AB=^,

在RtAAOC中，OA=1,AC=器，根据勾股定理得：OC=7QA2-AC2=^即OC=AC,

AAAOC为等腰直角三角形，

,ZAOC=45°,

同理NBOC=45°,

ZAOB=ZAOC+ZBOC=90°,

NAOB与NADB都对金，

Z.ZADB=yZAOB=45",

•.,大角NAOB=270。,

.,.ZAEB=135°,

.•.弦AB所对的圆周角为4周或135°.

故答案为:45或135.

15.（3分）如图，D是aABC的边BC上一点，AB=4,AD=2,ZDAC=ZB.如果

△ABD的面积为15,那么4ACD的面积为5.

【解答】解：•.•/DAC=NB,ZC=ZC,

/.△ACD^ABCA,

VAB=4,AD=2,

.S/UCD=S^ACD=S/UCD=（AD）2=1_

^AABC^AABD+^AACD^AACD卷4

/.AACD的面积=5,

故答案是：5.

16.（3分）若。0是等边4ABC的外接圆，。0的半径为2,则等边4ABC的边

长为2遥.

【解答】解：连接OB,OC,过点。作。D_LBC于"D,

/.BC=2BD,

是等边aABC的外接圆，

.,.ZBOC=^X360°=120°,

VOB=OC,

,NOBC=NOCBJ80。.BOCJ8。。产。。.。,

22

•••。。的半径为2,

，OB=2,

Z.BD=OB«cosZOBD=2Xcos30°=2X苧

，BC=2BD=2我.

，等边AABC的边长为2愿.

故答案为：2A/3.

17.(3分)在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-2)2-日经过原点o,与x轴

□

的另一个交点为A.将抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部

分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G,过点B(0,1)作直线

I平行于x轴，当图象G在直线I上方的部分对应的函数y随x增大而增大时，x

的取值范围是1VXV2或X>2+J7.

【解答】解：由题意抛物线：y=当(X-2)2-日，

对称轴是：直线x=2,由对称性得：A(4,0),

沿x轴折叠后所得抛物线为：y="(x-2)2+小

如图③，由题意得：

当y=l时，(x-2)2--1=1,

解得:xi=2+新，X2=2-<77，

AC(2-1)，F(2+行1),

当y=l时，-得(x-2)2+g=i,

OO

解得：X1=3,X2=l,

AD(1,1),E(3,1),

由图象得：图象G在直线I上方的部分，当1VXV2或x>2+通寸，函数y随x

增大而增大；

故答案为1<XV2或X>2+VT.

18.（3分）如图，在AABC中，ZCAB=90°,AB=6,AC=4,CD是aABC的中线,

将AABC沿直线CD翻折，点B，是点B的对应点，点E是线段CD上的点，如果

NCAE=NBAB',那么CE的长是匕.

K

ADB

【解答】解:如图，•••△CDB,是由“DB翻折，

/.ZBCD=ZDCB\ZCBD=ZCDB\AD=DB=DB\

NDBB'=NDB'B,

V2ZDCB+2ZCBD+2ZDBB=180°,

/.ZDCB+ZCBD+ZDBB=90°,

,/ZCDA=ZDCB+ZCBD,NACD+NCDA=90。，

，NABB'=NACE,

VAD=DB=DB=3,

NAB'B=90°,

VZACE=ZABB\ZCAE=ZBAB\

.,.△ACE^AABB7,

，NAEC=NAB'B=90°,

在RTZ\AEC中,VAC=4,AD=3,

-,.CD^AC^AD^5'

••WAC・AD==・CD・AE,

22

CD5

.2A2s2116

在RTAACE中，CE=J^2-AE&4-（T）-T

故答案为崇

三、解答题(本大题共有10题，共96分.请在答题纸指定区域内作答，解题

时写出必要的文字说明，推理步骤或，演算步骤.)

19.(8分)解方程:

(1)x2+2x=l；

(2)(x-3)2+2(x-3)=0.

【解答】解：(1)方程配方得：X2+2X+1=2,即(x+1)2=2,

开方得：X+1=±72»

解得：X1=-1+近,X2=-1-V2；

(2)分解因式得:(x-3)(X-3+2)=0,

解得：X1=3,X2=l.

20.(8分)已知关于x的方程x2+2x+a-2=0.

(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；

(2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根.

【解答】解:(1)Vb2-4ac=(2)2-4XlX(a-2)=12-4a>0,

解得：a<3.

Aa的取值范围是aV3；

(2)设方程的另一根为xi，由根与系数的关系得:

1+x]=-2

1*x1=a-2，

八fa=-l

解得：_q，

xt--3

则a的值是-1,该方程的另一根为-3.

21.（8分）有四张规格、质地相同的卡片，它们背面完全相同，正面图案分别

是A.菱形，B.平行四边形，C.线段，D.角，将这四张卡片背面朝上洗匀后

（1）随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是

（2）随机抽取两张卡片（不放回），求两张卡片卡片图案都是中心对称图形的概

率，并用树状图或列表法加以说明.

【解答】解：（1）菱形，轴对称图形；平行四边形，不是轴对称图形；线段，轴

对称图形；角，轴对称图形，

则随机抽取一张卡片图案是轴对称图形的概率是多；

故答案为：

4

（2）列表如下：其中A,B,C为中心对称图形，D不为中心对称图形,

ABCD

A---(B,A)(C,A)(D,A)

B(A,B)---(C,B)(D,B)

C(A,C)(B,C)---(D,C)

D(A,D)(B,D)(C,D)---

所有等可能的情况有12种，其中都为中心对称图形的有6种,

则「哈得

22.（8分）某市发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了捐款活动，

为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制

了统计图，如图①和②，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为50,图①中m的值是32；

（2）求本次调查获取的样本数据的平均数;

（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

m=100-20-24-16-8=32,

故答案为:50、32；

~1

(2)•'亩(5X4+10X16+15X12+20X10+30X8)=16,

这组数据的平均数为16；

（3）•.•在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%,

，由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%,

有1900X32%=608,

,该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名.

23.（10分）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点

A、B、C,请在网格中进行下列操作：

（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为（2,0）；

（2）连接AD、CD,求OD的半径及扇形DAC的圆心角度数；

（3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径.

【解答】解：（1）如图；D（2,0）（4分）

⑵如图；AD=VA02+0D2=V42+22=2妩；

作CE_Lx轴，垂足为E.

VAAOD^ADEC,

，NOAD=NCDE,

XVZOAD+ZADO=90°,

.,.ZCDE+ZADO=90",

扇形DAC的圆心角为90度；

（3）..•弧AC的长度即为圆锥底面圆的周长.*甯返班兀,

设圆锥底面圆半径为r,则2兀厂代兀，

24（10分）如图，BE是。0的直径，点A在EB的延长线上，弦PDLBE,垂

足为C,连接OD,ZAOD=ZAPC.

（1）求证：AP是。。的切线；

（2）若。。的半径是4,AP=4代，求图中阴影部分的面积.

【解答】（1）证明：连接OP,如图

VOD=OP

/.ZOPD=ZODP

VZAPC=ZAOD

，ZAPC+ZOPD=ZODP+ZAOD,

XVPD1BE

/.ZODP+ZAOD=90°

.•.ZAPC+ZOPD=90°

即ZAPO=90°

APOlAP

，AP是。0的切线

(2)解：在RtAAPO中，

VAP=4V3，PO=4,

22

•#-AO=^P+PQ=8»即PO弓AO,

/.ZA=30",

/.ZPOA=60o,

/.ZOPC=30°

在RtZSOPC中，VOC=2,OP=4,

PC=VPO2-OC2=2V3

.*.PD=2PC=4V3

XVPD±BE

，PC=CD

AZPOD=120°,0o1p0=2，

42-yX4>/3X2^-n-4V3.

乙o

25.(10分)某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250

件.市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件.

(1)若某天的销售利润为2000元，为最大限度让利于顾客，则该商品销售价是

多少？

(2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，请说明理由.

【解答】解：(1)设销售价格为x元时，当天销售利润为2000元，

贝U(x-20)«[250-10(x-25)]=2000,

整理，得:x2-70x+1200=0,

解得:Xi=30,X2=40(舍去)，

答：该商品销售价是30元/件；

(2)设该商品每天的销售利润为y,

贝ljy=(x-20)«[250-10(x-25)]

=-10x2-700X+10000

=-10(x-35)2+2250,

答：当销售单价为35元/件时，销售利润最大.

26.(10分)如图，直角梯形ABCD中，ZB=90°,AD〃BC,BC=2AD,点E为边

BC的中点.

(1)求证：四边形AECD为平行四边形；

(2)在CD边上取一点F,联结AF、AC、EF,设AC与EF交于点G,且NEAF=

ZCAD.求证：△AECS/XADF；

(3)在(2)的条件下，当NECA=45。时.求：FG：EG的比值.

BEC

【解答】解:(1)；BC=2AD,点E为BC中点，

BC=2CE,

；.AD=CE,

•.•AD〃CE,

四边形AECD为平行四边形；

(2)•.•四边形AECD为平行四边形，

/.ZD=ZAEC,

VZEAF=ZCAD,

AZEAC=ZDAFs

/.△AEC^AADF,

(3)设AD=BE=CE=a,由NECA=45°,得到aABC为等腰直角三角形，即AB=BC=2a,

...在RtZ^ABE中，根据勾股定理得：AE=7^奉诺代a,

VAAEC^AADF,

・研二ECgnV5a

••此F'aF

.*.DF=^a,

5_

，CF=CD-DF=Vsa-^a=-^X,

55

VAE/7DC,

•FG=FC=~^~=4

V5a

27.(12分)定义：对■于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当xVO时,

它们对应的函数值互为相反数；当x20时，它们对应的函数值相等，我们称这

样的两个函数互为相关函数.例如：一次函数y=x-1,它们的相关函数为

_J-x+1(x<CO)

V[x-l(x》O)

(1)已知点A(-5,8)在一次函数y=ax-3的相关函数的图象上，求a的值;

(2)已知二次函数y=-x?+4x-

①当点B(m,1)在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；

②当-3WxW3时，求函数y=-x2+4x-■的相关函数的最大值和最小值.

-ax+3(x<0)

【解答】解：（l）y=ax-3的相关函数y=