2024届辽宁省鞍山市高三下学期第二次质量监测数学试题及答案

鞍山市普通高中2023—2024学年度高三第二次质量监测数学参考答案选择题：题号答案12345678910DCCBBCADABDBCD412．12π13．14．5e215.（1）解：m.................................................................................2分=设中位数为x，由可知，0，)(0−60)0.03+0.26=0.50且.....................................4分0=即这50名学生分数的中位数为68．...............................5分（2）解：分数在[7080)的7人，在90)的3人，[90100]的1人.6分可取值的集合为C03C83356PPPP=0)==)==2)==3)==，................................................................7分16511C13828428==，.......................................................8分，........................................................9分C31116555C23C188===C3C33801，................................................................10分C1131650的分布列为：12356285581P16555165............................................................................................................11分81的数学期望E)=0+++123，...............12分1359==..........................................................................13分．16511516.（1）证明：在△BCD中，==7，DCB=，7由余弦定理可得BD2=BC2+CD2−2BCCDcosDCB...........1分即BD2．......................................................................................2分={#{QQABAQgAggAgAJAAARgCUQGCCAOQkBGAAAoGRAAMsAAAiRFABAA=}#}又因为DE=2，，所以△BDE为正三角形=设BD中点为F，连接EF、PF，故（由△BDE为正三角形可知）BD⊥EF，（由=可知）BD⊥PF，（EF、PF平面PEF，EF）所以BD⊥平面PEF，.....................................................................4分（又因为PF平面PEF）故BD⊥PE．....................................5分在△PFD中易得PF=6，在△BDE中易得=3，又因为EP=3，由勾股定理可知PE⊥EF，.............................6分又因为EF、BD平面ABDE，EF，..........................7分所以PE⊥平面ABDE．..................................................................8分（2）解：因为AE∥BD，所以AE⊥EF，z再由PE⊥平面ABDE可知，PE⊥AE，PE⊥，PE故可以E为坐标原点，，EF，分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系．..............D在坐标系中，各点坐标分别为：AFy()()()，xA0B0F0，，B()P3.......................................................................................10分n=(，，)xyz，1设平面B的法向量为111()AP=-1，0，3)(AB=0n=，n=011因为，，由可得，分()，n=1..........................................12平面B的一个法向量设平面PDB的法向量为1n=(，，)x2yz，222011n=().........................13同理可得，平面B的一个法向量，分分21n2设所求锐二面角为，则cos=，..................................14122整理得cos=．.........................................................................15分4217.（1）解：f(x)ax(a2)+=−+，.........................................................2分xy=f(x)x=2在处的切线与y轴垂直，曲线{#{QQABAQgAggAgAJAAARgCUQGCCAOQkBGAAAoGRAAMsAAAiRFABAA=}#}22=−++=0，........................................................4分故f(2)2a(a2)解得a=1．.......................................................................................5分ax2−(a+2)x+2(ax−2)(x−)2（2）解：f(x)ax−(a+2)+===xxxx(+)........................................................................................6分分()()fx①当a0时，由fx00得0x1，由0得x1........72()=fx②当a0时，由得x=或，x=1................................8分a22()1，即0a2fx0得0x1x或ⅰ若由，则由，aa2()fx01x，..........................................................10得分分a2()=1，即a2，则=fx0x1=时取等，.....ⅱ若ⅲ若由当且仅当a2a2()1，即a2，则由fx0得0x或x1，a2()fx0x1，..........................................................13分得a()fx()，单调减区间为+)1；综上，当a0时，的单调增区间为2()fx()1，+当0a2时，的单调增区间为，a，2单调减区间为；a()(+)当a=2时，当a2时，fx的单调增区间为0，；2()fx(+)，，，的单调增区间为，a2,1单调减区间为a．18.（1）由若=可知，B，，C三点共线，再由椭圆的对称性可知，B，C关于原点中心对称，即3=−2，y=−y，.................................1分321(−)−的斜率之积为M0，由直线易知和直线可得，4y2−y21=−对任意成立，.....................................................3分xx+2−x+2242214()对任意2成立，即y22=4−x22{#{QQABAQgAggAgAJAAARgCUQGCCAOQkBGAAAoGRAAMsAAAiRFABAA=}#}x224y222x2244−x22+=1，消去y，可知+=1对任意成立，x再由22bb2故b2=1，.................................................................................................4分所以b=1注：原题中忘了给出条件b0，所以，将错就错吧）...........................................................................................................5分x214x=x1（2）若，则1,22=1−，1x214△OAB的面积为1，即121−=1，解得x=2，21212x2=x2=2，y22=12=，所以x2+x2=4，....................6分故2112y21+y22=1xxy=kx+m，若，即直线2AB斜率存在，设直线AB的方程为：1x2+(+)=1，m2代入椭圆方程得4所以(是关于x的方程)xx4k2+1x2+8kmx+4m2−4=0的两实根，12=8)2−(44k14m20即−4)2+由韦达定理可知，当△−8km4m2−+41x+x=，xx=4k2+1m2时，，......7分122+124k14k2−824m2−+444k2−m+121−2=(+)x1x22−41x2=−4=4k12+4k124k+12144k2−m2+1△OAB的面积为1，即m=124k+12整理得4k2+1=2m.....................................................................9分2故824m2−−8424m−42x21+22=(x+x)122−2xx=12−2=2−4k12+2m216k24m2−4即12+x22=−=4...........................................10分分m2m2x2+x2=4，综上，122142242+x22xxxy2+y22=1−+1−=2−1=1......................11141+xy+y212（3）显然，D，，22{#{QQABAQgAggAgAJAAARgCUQGCCAOQkBGAAAoGRAAMsAAAiRFABAA=}#}由（2）可知，OA2+OB2=12+12+x22+y22=5，()()()2++OB2=+=++−=2+又()4ODDA=2ODAB即OA22=2OD2+DA252所以，.....................................................................15分1当且仅当ODDA==AB时取等号，2此时△OAB为直角三角形且∠AOB为直角，故OAOBxx1y212=+=+(1+)(+)mm1224m22−4+118m−32(+)=k2++m2==04k4k2+12m2k2=解得m2=1（从而45故的最大值为．......................................................17分219.（1）当n=1时，由已知得，21a222=−+，即a=S=1..............1分111当n2时，由已知得，2S=n−+，2n1n12n=n1−n−2n1+2n，即an+1=3an+2n故，，..........2分a=5=31+2=a+21又因为，21an13a=nn2n3a=+nn12所以当nN*时，an+1=a+，即32n++n+2n1222n122a2n13a22nn1+1=n+1............................................3即分+a32an+10因为所以1+=10，所以，..............................................4分22nn12n+1n132=+12na233nn+是首项为，公比为的等比数列，.........................5分即即22n1an33+1=3n=，222n2na=n3n−2n所以．.............................................................................6分(3)=nb=log3n−2n+2n（2）由（1）可知，.....................................7分n故对于任意的nN*，不等式n1+n)−63n恒成立，{#{QQABAQgAggAgAJAAARgCUQGCCAOQkBGAAAoGRAAMsAAAiRFABAA=}#}n2+n−6即恒成立....................................................................8分3n(+)n12+(+)−−(+−)n163nn62n2+n−6设n=，于是n1−n=，nn1()27−n2整理得，n1−n=，.....................................................9分n1所以当n3时，D−n0，即344nn1当n2时，D−n0，即321，n122所以DD=，即，n39929所以．的取值范围为+．................................................11分3n−n+nn322c=n=（3）由（1）可知，.........