2022-2023学年安徽省合肥市庐江县高一下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省合肥市庐江县2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）为了扎实推进“五大行动”，学校为高一年级同学准备了形式多样的劳动课程．有种植白菜、种植蕃茄、果树整枝和害虫防治4种课程，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为A．3 B．5 C．6 D．9〖答案〗〖解析〗设4种课程编号为1，2，3，4，随机选报其中的2个，样本点有：12，13，14，23，24，34，共6个．故选：．2．（5分）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为A． B． C．1 D．2〖答案〗〖解析〗设，，则，即，故，解得，故的虚部为．故选：．3．（5分）不同的直线和，不同的平面，，，下列条件中能推出的是A．，， B．， C．，， D．，，〖答案〗〖解析〗由不同的直线和，不同的平面，，，知：若，，，则与相交或平行，故不正确；若，，则与相交或平行，故不正确；若，，，则由平面平行的判定定理知，故正确；若，，，则与相交或平行，故不正确．故选：．4．（5分）某企业为响应国家新旧动能转换的号召，积极调整企业拥有的5种系列产品的结构比例，并坚持自主创新提升产业技术水平，2021年年总收入是2020年的2倍，为了更好的总结5种系列产品的年收入变化情况，统计了这两年5种系列产品的年收入构成比例，得到如图饼图：则下列结论错误的是A．2021年的甲系列产品收入和2020年保持不变 B．2021年的丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的4倍 C．2021年的丙和丁系列产品的收入之和比2020年的企业年总收入还多 D．2021年的乙和丙系列产品的收入之和比2020年的乙和丙系列产品收入之和的2倍还少〖答案〗〖解析〗根据题意设2020年总收入为，则2021年总收入为，对于年甲系列收入为，2021年甲系列收入为，故正确；对于年丁系列收入为，2021年丁系列收入为，故正确；对于年丙和丁系列收入之和为，2020年总收入为，故正确；对于年的乙和丙系列产品收入之和的2倍为，由得，错误．故选：．5．（5分）已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗由题意得，，，由余弦定理得，，即灯塔与灯塔的距离为．故选：．6．（5分）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，以过的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗如图所示，圆锥的轴截面是面积为4的等腰直角三角形，即，解得；所以；所以该圆锥的侧面展开图的面积为．故选：．7．（5分）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗如图，侧棱底面，平面，则平面平面，底面为矩形，，而平面平面，平面．连接，则为在平面上的射影，则为与底面所成角，设，则，，．．即直线与平面所成角的正弦值为．故选：．8．（5分）在中，已知，那么一定是A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形〖答案〗〖解析〗因为，所以，即，所以，所以，所以一定是等腰三角形．故选：．二、多项选择题：（每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，选对的得5分，错选或不选得0分，部分选对的得2分.）9．（5分）某次辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．则这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征可能不同的是A．极差 B．中位数 C．平均数 D．方差〖答案〗〖解析〗若原始评分为1，2，3，4，5，6，7，则7个原始评分的极差为，5个有效评分的极差为，故极差可能不同，故选项正确；7个原始评分的中位数为从小到大排序后的第4个数，5个有效评分的中位数为从小到大排序后的第3个数，故中位数一定相同，故选项错误；若原始评分为1，1，1，1，1，1，8，则7个原始评分的平均数为，5个有效评分的平均数为，故平均数可能不同，故选项正确；若原始评分为1，1，1，1，1，1，8，则7个原始评分的方差为，5个有效评分的方差为0，故方差可能不同，故选项正确；故选：．10．（5分）下列说法正确的是A．三个点可以确定一个平面 B．若直线在平面外，则与无公共点 C．用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台 D．斜棱柱的侧面不可能是矩形〖答案〗〖解析〗三个共线的点不可以确定一个平面，错误；若直线在平面外，则或与相交，当与相交有一个公共点，错误；用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台，正确；斜棱柱的侧面可以是矩形，错误．故选：．11．（5分）下列命题为真命题的是A．复数的虚部为 B．在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限 C．若为虚数单位，为正整数，则 D．复数是方程的一个根，则〖答案〗〖解析〗复数的虚部为，故正确；在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第二象限，故错误；，故，故正确；复数是方程的一个根，则，解得（负值舍去），故正确．故选：．12．（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是A． B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则为锐角三角形〖答案〗〖解析〗对，，所以正确；对，，即，的内角，，，或即或，故三角形可能是等腰三角形或直角三角形，故错误；对，由正弦定理得：，得：，整理得：，，或，故错误；对：由题意知：、、中是最大的正数，由变形得：，，为锐角，又知为最大角，为锐角三角形，故正确；故选：．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）一个封闭的正三棱柱容器的高为4，内装水若干（如图（1），底面处于水平状态）．图（1）中水面的高度3，现将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为，，，，则．〖答案〗．〖解析〗设正三棱柱的底面积为，梯形的面积为，则根据等体积可得，所以，所以，又因为，所以相似于，且，所以，故〖答案〗为：．14．（5分）已知向量，，则在上的投影向量坐标为．〖答案〗．〖解析〗向量，，在上的投影向量的坐标为：．故〖答案〗为：．15．（5分）欧拉公式为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”．根据此公式可知，，．〖答案〗1；．〖解析〗，；．故〖答案〗为：1；．16．（5分）已知半径为5的球面上有，，，四点，满足，，，则球心到平面的距离为，三棱锥体积的最大值为．〖答案〗4；．〖解析〗如图，在中，由，，，得，设外接圆的半径为，则，设球心为，三角形外接圆的圆心为，由球的性质可得，平面，在△中，可得．即球心到平面的距离为4；要使三棱锥体积取最大值，则为与球面的交点，此时到底面的距离为9，则三棱锥体积的最大值为．故〖答案〗为：4；．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量，，，．（1）求；（2）若，求实数的值．（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．解：（1），，，，，，，．（2），，又，，解得．（3）与的夹角是钝角，，且，，且，解得且，故实数的取值范围为．18．（12分）以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中的值；（2）估计该小区居民用电量的平均值和中位数；（3）从用电量落在区间，内被抽到的用户中任取2户，求至少有1户落在区间，内的概率．解：（1）由，得，（2）平均值用电量落在区间，的频率之和为，中位数落在区，，设中位数为，则，解得．（3）易知用电量落在区间，的用户有4户，用电量落在区间，用户有2户，记事件“至少有1户落在区间，内”．从，，，，，中这6个元素中任取2个元素共个基本事件，事件共9个基本事件，（E），即至少有1户落在区间，内的概率为．19．（12分）已知定义在区间上的函数是增函数，（1），（3）．（1）解不等式；（2）若对所有，，，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为定义在区间上的函数是增函数，且（1），（3），所以，解得或，所以原不等式的解集为．（2）因为函数在，上是增函数，所以在，上的最大值为（3），所以不等式对所有，，，恒成立，所以对所有，恒成立，即对所有，恒成立．设（a），，，所以需满足，即，解得或或，所以实数的取值范围为，，．20．（12分）在四棱锥中，点为中点，，，，．（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）若，求四棱锥的体积．（1）证明：取中点，连接，，因为，，，所以，所以，，所以面，因为面，所以；（2）解：因为，，，所以面，因为面，面，所以，，又，，所以，，所以，设与平面所成角为，则；（3）解：．21．（12分）在中，角，，所对的边长为，，，，．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：（1），根据正弦定理可得，，，，，，在中，运用余弦定理可得，，，．（2），为钝角三角形时，角必为钝角，，，，，三角形的任意两边之和大于第三边，，即，即，，为正整数，．22．（12分）如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点．（1）求证：平面；（2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，是否存在一点使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点的位置；若不存在，说明理由．（1）证明：是圆的直径，点是圆周上一点，，即．又在圆柱中，母线底面圆，底面圆，，又，平面；（2）解：设圆柱底面半径为，母线长为，则，解得．在中，过作交于，由（1）知，平面，平面，，又，平面．若不与重合，即为直线与平面所成角．若与重合，直线与平面所成角为，若直线与平面所成角为，则，在中，由，可得．因此．此时为直角三角形，点为两个半圆弧中点．因此，当点为两个半圆弧中点时，直线与平面所成角最大为，正弦值最大为1．安徽省合肥市庐江县2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）为了扎实推进“五大行动”，学校为高一年级同学准备了形式多样的劳动课程．有种植白菜、种植蕃茄、果树整枝和害虫防治4种课程，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为A．3 B．5 C．6 D．9〖答案〗〖解析〗设4种课程编号为1，2，3，4，随机选报其中的2个，样本点有：12，13，14，23，24，34，共6个．故选：．2．（5分）已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为A． B． C．1 D．2〖答案〗〖解析〗设，，则，即，故，解得，故的虚部为．故选：．3．（5分）不同的直线和，不同的平面，，，下列条件中能推出的是A．，， B．， C．，， D．，，〖答案〗〖解析〗由不同的直线和，不同的平面，，，知：若，，，则与相交或平行，故不正确；若，，则与相交或平行，故不正确；若，，，则由平面平行的判定定理知，故正确；若，，，则与相交或平行，故不正确．故选：．4．（5分）某企业为响应国家新旧动能转换的号召，积极调整企业拥有的5种系列产品的结构比例，并坚持自主创新提升产业技术水平，2021年年总收入是2020年的2倍，为了更好的总结5种系列产品的年收入变化情况，统计了这两年5种系列产品的年收入构成比例，得到如图饼图：则下列结论错误的是A．2021年的甲系列产品收入和2020年保持不变 B．2021年的丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的4倍 C．2021年的丙和丁系列产品的收入之和比2020年的企业年总收入还多 D．2021年的乙和丙系列产品的收入之和比2020年的乙和丙系列产品收入之和的2倍还少〖答案〗〖解析〗根据题意设2020年总收入为，则2021年总收入为，对于年甲系列收入为，2021年甲系列收入为，故正确；对于年丁系列收入为，2021年丁系列收入为，故正确；对于年丙和丁系列收入之和为，2020年总收入为，故正确；对于年的乙和丙系列产品收入之和的2倍为，由得，错误．故选：．5．（5分）已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗由题意得，，，由余弦定理得，，即灯塔与灯塔的距离为．故选：．6．（5分）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，以过的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗如图所示，圆锥的轴截面是面积为4的等腰直角三角形，即，解得；所以；所以该圆锥的侧面展开图的面积为．故选：．7．（5分）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗如图，侧棱底面，平面，则平面平面，底面为矩形，，而平面平面，平面．连接，则为在平面上的射影，则为与底面所成角，设，则，，．．即直线与平面所成角的正弦值为．故选：．8．（5分）在中，已知，那么一定是A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形〖答案〗〖解析〗因为，所以，即，所以，所以，所以一定是等腰三角形．故选：．二、多项选择题：（每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，选对的得5分，错选或不选得0分，部分选对的得2分.）9．（5分）某次辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．则这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征可能不同的是A．极差 B．中位数 C．平均数 D．方差〖答案〗〖解析〗若原始评分为1，2，3，4，5，6，7，则7个原始评分的极差为，5个有效评分的极差为，故极差可能不同，故选项正确；7个原始评分的中位数为从小到大排序后的第4个数，5个有效评分的中位数为从小到大排序后的第3个数，故中位数一定相同，故选项错误；若原始评分为1，1，1，1，1，1，8，则7个原始评分的平均数为，5个有效评分的平均数为，故平均数可能不同，故选项正确；若原始评分为1，1，1，1，1，1，8，则7个原始评分的方差为，5个有效评分的方差为0，故方差可能不同，故选项正确；故选：．10．（5分）下列说法正确的是A．三个点可以确定一个平面 B．若直线在平面外，则与无公共点 C．用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台 D．斜棱柱的侧面不可能是矩形〖答案〗〖解析〗三个共线的点不可以确定一个平面，错误；若直线在平面外，则或与相交，当与相交有一个公共点，错误；用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台，正确；斜棱柱的侧面可以是矩形，错误．故选：．11．（5分）下列命题为真命题的是A．复数的虚部为 B．在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第四象限 C．若为虚数单位，为正整数，则 D．复数是方程的一个根，则〖答案〗〖解析〗复数的虚部为，故正确；在复平面内，复数的共轭复数对应的点在第二象限，故错误；，故，故正确；复数是方程的一个根，则，解得（负值舍去），故正确．故选：．12．（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是A． B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则为锐角三角形〖答案〗〖解析〗对，，所以正确；对，，即，的内角，，，或即或，故三角形可能是等腰三角形或直角三角形，故错误；对，由正弦定理得：，得：，整理得：，，或，故错误；对：由题意知：、、中是最大的正数，由变形得：，，为锐角，又知为最大角，为锐角三角形，故正确；故选：．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）一个封闭的正三棱柱容器的高为4，内装水若干（如图（1），底面处于水平状态）．图（1）中水面的高度3，现将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为，，，，则．〖答案〗．〖解析〗设正三棱柱的底面积为，梯形的面积为，则根据等体积可得，所以，所以，又因为，所以相似于，且，所以，故〖答案〗为：．14．（5分）已知向量，，则在上的投影向量坐标为．〖答案〗．〖解析〗向量，，在上的投影向量的坐标为：．故〖答案〗为：．15．（5分）欧拉公式为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”．根据此公式可知，，．〖答案〗1；．〖解析〗，；．故〖答案〗为：1；．16．（5分）已知半径为5的球面上有，，，四点，满足，，，则球心到平面的距离为，三棱锥体积的最大值为．〖答案〗4；．〖解析〗如图，在中，由，，，得，设外接圆的半径为，则，设球心为，三角形外接圆的圆心为，由球的性质可得，平面，在△中，可得．即球心到平面的距离为4；要使三棱锥体积取最大值，则为与球面的交点，此时到底面的距离为9，则三棱锥体积的最大值为．故〖答案〗为：4；．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量，，，．（1）求；（2）若，求实数的值．（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．解：（1），，，，，，，．（2），，又，，解得．（3）与的夹角是钝角，，且，，且，解得且，故实数的取值范围为．18．（12分）以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中的值；（2）估计该小区居民用电量的平均值和中位数；（3）从用电量落在区间，内被抽到的用户中任取2户，求至少有1户落在区间，内的概率．解：（1）由，得，（2）平均值用电量落在区间，的频率之和为，中位数落在区，，设中位数为，则，解得．（3）易知用电量落在区间，的用户有4户，用电量落在区间，用户有2户，记事件“至少有1户落在区间，内”．从，，，，，中这6个元素中任取2个元素共个基本事件，事件共9个基