2022-2023学年广西壮族自治区南宁市普高联盟高一下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区南宁市普高联盟2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的。（温馨〖提示〗：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效。）1．（5分）若复数，则A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗．故选：．2．（5分）已知向量，，则A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗，．故选：．3．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，，，则平面图形的面积为A．2 B．4 C．8 D．10〖答案〗〖解析〗根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如下图所示，且长，宽，故平面图形的面积为．故选：．4．（5分）已知互不重合的直线，，互不重合的平面，，，下列命题错误的是A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则〖答案〗〖解析〗由，，得，故正确；若，则内垂直于两平面交线的直线垂直，又，则内存在直线，可得，则，故正确；若，，则或，故错误；若，则与无公共点，而，则与无公共点，可得，故正确．故选：．5．（5分）甲、乙两人进行射击比赛，分别对同一目标各射击10次，其成绩（环数）如表：甲的环数771061087979乙的环数7889877989下列说法正确的是A．甲的平均数大于乙的平均数 B．甲的中位数等于乙的中位数 C．甲、乙的众数都是7 D．乙的成绩更稳定〖答案〗〖解析〗计算得甲、乙的平均数都是8，故错误；甲从小到大进行排序：6，7，7，7，7，8，9，9，10，10，乙从小到大进行排序，7，7，7，8，8，8，8，9，9，9，所以甲的中位数是7.5，而乙的中位数是8，故错误；乙的众数是8，故错误；甲的方差为，乙的方差为，所以乙的方差小，所以乙的成绩更稳定，故正确．故选：．6．（5分）已知是第一象限角，且，则的值为A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗因为是第一象限角，所以，所以，所以．故选：．7．（5分）某次实验得交变电流（单位：随时间（单位：变化的函数〖解析〗式为，其中且，，其图象如图所示，则下列说法错误的是A． B． C．当时， D．当时，〖答案〗〖解析〗由题知，则，又，则，所以当时，，则，又，则，因此，所以当时，，当时，，因此正确，错误．故选：．8．（5分）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的体积是A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗取等边的中心，连接、，如下图所示：，所以，三棱锥为正三棱锥，所以，三棱锥外接球球心在直线，设该球的半径为，由正弦定理得，所以，由勾股定理得，即，解得，因此，三棱锥外接球的体积为：．故选：．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个备选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（温馨〖提示〗：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效。）9．（5分）下列关于复数的说法中正确的有A．复数的虚部为1 B．复数的共轭复数是 C．复数的的模是10 D．复数的对应的点在第四象限〖答案〗〖解析〗，复数的虚部为，，故错误，正确；，故错误；复数的对应的点在第四象限，故正确．故选：．10．（5分）随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔．社会物流总费用与的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是年我国社会物流总费用与的比率统计，则A．这5年我国社会物流总费用逐年增长．且2021年增长的最多 B．这6年我国社会物流总费用的第分位数为14.9万亿元 C．这6年我国社会物流总费用与的比率的极差为 D．2022年我国的超过了121万亿元〖答案〗〖解析〗由图表可知，这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的最多，且增长为万亿元，故正确；因为，则第分位数为第5个，即为16.7，所以这6年我国社会物流总费用的第分位数为16.7万亿元，故错误；由图表可知，这6年我国社会物流总费用与的比率的极差为，故正确；由图表可知，2022年我国的为万亿元，故正确．故选：．11．（5分）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的〖解析〗式可以为A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗把函数的图象，向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到的图象，最后把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象．而．故选：．12．（5分）如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有A．异面直线与的夹角的正弦为 B．二面角的平面角的正切值为 C．正方体的外接球体积为 D．三棱锥与三棱锥体积相等〖答案〗〖解析〗对于，，△中，就是异面直线所成的角，，则，正确；对于，连接交于点，连接，平面，平面，，又，，，平面，平面平面，，为二面角的平面角，在△中，，不正确；对于，正方体外接球的半径，正方体的外接球体积为，正确；对于，，三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，故三棱锥与三棱锥体积相等，正确．故选：．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（温馨〖提示〗：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效。）13．（5分）2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相．某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了30人进行问卷调查，其中高一年级抽取了11人，高二年级抽取了9人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为人．〖答案〗2700．〖解析〗由题意，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了30人进行问卷调查，其中高一年级抽取了11人，高二年级抽取了9人，则高三年级抽取了人，又高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为人．故〖答案〗为：2700．14．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．〖答案〗8．〖解析〗由余弦定理，，即，即，解得或（舍去）．故〖答案〗为：8．15．（5分）已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为．〖答案〗．〖解析〗设长方体的高为，外接球的半径为，如图，则，由余弦定理知，，解得，所以，所以．故〖答案〗为：．16．（5分）如图，在中，，，点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的最小值是．〖答案〗．〖解析〗以为原点，所在直线为轴建立如图所示直角坐标系，设，，，，设，，，，，，，，，，，，即，解得，，因为为中点，，设，，，，，所以当时，即，故〖答案〗为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（温馨〖提示〗：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效。）17．（10分）已知向量．（1）求；（2）当时，求的值；（3）当时，求的值；解：（1），，则，故；（2），，当时，则，解得；（3），，则，，，，解得．18．（12分）全民健身，强国有我，某企业为增强广大职工的身体素质和健康水平，组织全体职工开启了“学习强国”平台的强国运动项目，为了解他们的具体运动情况，企业工会从该企业全体职工中随机抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如图频率分布直方图．（1）求直方图中的值；（2）估计该企业职工日均运动步数的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（3）若该企业恰好有的职工的日均运动步数达到了企业制定的优秀强国运动者达标线，试估计该企业制定的优秀强国运动者达标线是多少？解：（1）由频率分布直方图得，解得．（2）设平均数为，则．所以该企业职工日均运动步数的平均数约为9.08千步．（3）日均运动步数在，的频率为0.68，日均运动步数在，的频率为0.92，则位数在，内，为，该企业制定的优秀强国运动者达标线是11千步．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，棱的中点为，连接．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：由题意可知，，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故，又，，，平面，则平面；（2）解：连接，由（1）可知，平面，则为直线与平面所成的角，因为为等边三角形，且为的中点，所以，又，在中，，故直线与平面所成角的正弦值为．20．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosB+b＝2c．（1）求A的大小；（2）若且△ABC的面积为，求sinB+sinC的值．解：（1）∵2acosB+b＝2c，∴由正弦定理得2sinAcosB+sinB＝2sinC，又A+B+C＝π，则2sinAcosB+sinB＝2sin（A+B），∴2cosAsinB﹣sinB＝0，∵A、B∈（0，π），即sinB≠0，∴cosA＝，即A＝；（2）由（1）得A＝，△ABC的面积为，则S＝bcsinA＝，解得bc＝4，∵，∴由余弦定理得b2+c2＝2bccosA+a2＝4+27＝31，∴（b+c）2＝b2+c2+2bc＝39，即b+c＝，由正弦定理得＝6，∴sinB＝b，sinC＝c，∴sinB+sinC＝（b+c）＝．21．（12分）已知函数．（1）化简函数的〖解析〗式；（2）求函数的单调递增区间；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为；（2）由，，可得，，所以的单调递增区间为，；（3）当时，，，所以，所以，解得．所以实数的取值范围为．22．（12分）如图，已知直三棱柱，，，，点为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线到平面的距离．（1）证明：在直三棱柱中，设与交于点，连接，由于四边形是矩形，则为的中点，又是的中点，，又平面，平面，平面．（2）解：，点为的中点．，直三棱柱，平面，平面，，，，平面，平面，，又，，，，，，，，设到平面的距离为，由，得，解得．直线与平面的距离为．广西壮族自治区南宁市普高联盟2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的。（温馨〖提示〗：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效。）1．（5分）若复数，则A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗．故选：．2．（5分）已知向量，，则A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗，．故选：．3．（5分）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，，，则平面图形的面积为A．2 B．4 C．8 D．10〖答案〗〖解析〗根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如下图所示，且长，宽，故平面图形的面积为．故选：．4．（5分）已知互不重合的直线，，互不重合的平面，，，下列命题错误的是A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则〖答案〗〖解析〗由，，得，故正确；若，则内垂直于两平面交线的直线垂直，又，则内存在直线，可得，则，故正确；若，，则或，故错误；若，则与无公共点，而，则与无公共点，可得，故正确．故选：．5．（5分）甲、乙两人进行射击比赛，分别对同一目标各射击10次，其成绩（环数）如表：甲的环数771061087979乙的环数7889877989下列说法正确的是A．甲的平均数大于乙的平均数 B．甲的中位数等于乙的中位数 C．甲、乙的众数都是7 D．乙的成绩更稳定〖答案〗〖解析〗计算得甲、乙的平均数都是8，故错误；甲从小到大进行排序：6，7，7，7，7，8，9，9，10，10，乙从小到大进行排序，7，7，7，8，8，8，8，9，9，9，所以甲的中位数是7.5，而乙的中位数是8，故错误；乙的众数是8，故错误；甲的方差为，乙的方差为，所以乙的方差小，所以乙的成绩更稳定，故正确．故选：．6．（5分）已知是第一象限角，且，则的值为A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗因为是第一象限角，所以，所以，所以．故选：．7．（5分）某次实验得交变电流（单位：随时间（单位：变化的函数〖解析〗式为，其中且，，其图象如图所示，则下列说法错误的是A． B． C．当时， D．当时，〖答案〗〖解析〗由题知，则，又，则，所以当时，，则，又，则，因此，所以当时，，当时，，因此正确，错误．故选：．8．（5分）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的体积是A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗取等边的中心，连接、，如下图所示：，所以，三棱锥为正三棱锥，所以，三棱锥外接球球心在直线，设该球的半径为，由正弦定理得，所以，由勾股定理得，即，解得，因此，三棱锥外接球的体积为：．故选：．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个备选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（温馨〖提示〗：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效。）9．（5分）下列关于复数的说法中正确的有A．复数的虚部为1 B．复数的共轭复数是 C．复数的的模是10 D．复数的对应的点在第四象限〖答案〗〖解析〗，复数的虚部为，，故错误，正确；，故错误；复数的对应的点在第四象限，故正确．故选：．10．（5分）随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔．社会物流总费用与的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是年我国社会物流总费用与的比率统计，则A．这5年我国社会物流总费用逐年增长．且2021年增长的最多 B．这6年我国社会物流总费用的第分位数为14.9万亿元 C．这6年我国社会物流总费用与的比率的极差为 D．2022年我国的超过了121万亿元〖答案〗〖解析〗由图表可知，这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的最多，且增长为万亿元，故正确；因为，则第分位数为第5个，即为16.7，所以这6年我国社会物流总费用的第分位数为16.7万亿元，故错误；由图表可知，这6年我国社会物流总费用与的比率的极差为，故正确；由图表可知，2022年我国的为万亿元，故正确．故选：．11．（5分）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的〖解析〗式可以为A． B． C． D．〖答案〗〖解析〗把函数的图象，向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到的图象，最后把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象．而．故选：．12．（5分）如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有A．异面直线与的夹角的正弦为 B．二面角的平面角的正切值为 C．正方体的外接球体积为 D．三棱锥与三棱锥体积相等〖答案〗〖解析〗对于，，△中，就是异面直线所成的角，，则，正确；对于，连接交于点，连接，平面，平面，，又，，，平面，平面平面，，为二面角的平面角，在△中，，不正确；对于，正方体外接球的半径，正方体的外接球体积为，正确；对于，，三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，故三棱锥与三棱锥体积相等，正确．故选：．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（温馨〖提示〗：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效。）13．（5分）2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相．某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了30人进行问卷调查，其中高一年级抽取了11人，高二年级抽取了9人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为人．〖答案〗2700．〖解析〗由题意，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了30人进行问卷调查，其中高一年级抽取了11人，高二年级抽取了9人，则高三年级抽取了人，又高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为人．故〖答案〗为：2700．14．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．〖答案〗8．〖解析〗由余弦定理，，即，即，解得或（舍去）．故〖答案〗为：8．15．（5分）已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为．〖答案〗．〖解析〗设长方体的高为，外接球的半径为，如图，则，由余弦定理知，，解得，所以，所以．故〖答案〗为：．16．（5分）如图，在中，，，点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的最小值是．〖答案〗．〖解析〗以为原点，所在直线为轴建立如图所示直角坐标系，设，，，，设，，，，，，，，，，，，即，解得，，因为为中点，，设，，，，，所以当时，即，故〖答案〗为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（温馨〖提示〗：请在答题卡上作答，在本试题上作答无效。）17．（10分）已知向量．（1）求；（2）当时，求的值；（3）当时，求的值；解：（1），，则，故；（2），，当时，则，解得；（3），，则，，，，解得．18．（12分）全民健身，强国有我，某企业为增强广大职工的身体素质和健康水平，组织全体职工开启了“学习强国”平台的强国运动项目，为了解他们的具体运动情况，企业工会从该企业全体职工中随机抽取了100名，统计他们的日均运动步数，并得到如图频率分布直方图．（1）求直方图中的值；（2）估计该企业职工日均运动步数的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（3）若该企业恰好有的职工的日均运动步数达到了企业制定的优秀强国运动者达标线，试估计该企业制定的优秀强国运动者达标线是多少？解：（1）由频率分布直方图得，解得．（2）设平均数为，则．所以该企业职工日均运动步数的平均数约为9.08千步．（3）日均运动步数在，的频率为0.68，日均运动步数在，的频率为0.92，则位数在，内，为，该企业制定的优秀强国运动者达标线是11千步．19．（12分）如图