2022-2023学年河北省唐山市十县一中联盟高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省唐山市十县一中联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡的相应位置上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔将答题卡对应题目选项的〖答案〗信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他〖答案〗.〖答案〗涂在试卷上一律无效.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，〖答案〗必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的〖答案〗，然后再写上新〖答案〗；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，若复数，则（）A.1 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D2.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，，，设与的夹角为，则，又，所以.故选：B3.已知为虚数单位，是关于的方程的一个根，则实数（）A.4 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因为是关于的方程的一个根，所以也是关于的方程的一个根，所以，解得故选：A4.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意圆锥的母线，设底面半径为，高为，则，解得，所以，则圆锥的体积.故选：C5.小明为了加强体育锻炼，提高身体素质，从网上购买了一对大小相同的健身哑铃.哑铃是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成的，已知大圆柱的底面直径是8cm，高为2cm，连杆圆柱的底面直径是2cm，高为10cm，则一只健身哑铃的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为大圆柱的底面直径是8cm，高为2cm，故两个大圆柱的体积为，又连杆圆柱的底面直径是2cm，高为10cm，故连杆圆柱的体积为，所以一只健身哑铃的体积为.故选：C.6.如图，矩形是水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，则平面四边形的面积为（）A.10 B. C. D.20〖答案〗B〖解析〗设与轴的交点为，则，，原图形如图所示：，，故.故选：B.7.已知，内角的对边分别是，则等于（）A. B.C.或 D.或〖答案〗A〖解析〗∵，，，∴，，由正弦定理得：，∴，故选：A．8.正四棱锥中，底面边长，侧棱，在该四棱锥的内部有一个小球，则小球表面积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗当小球与正四棱锥各面相切时半径最大，此时小球表面积的最大，设小球的半径为，由底面边长，侧棱，可得正四棱锥的高，所以，又侧面面积为，底面面积为，，解得，小球表面积的最大值为．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列四个命题中，真命题是（）A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.四边形可以确定一个平面C.若直线，相交，且平面，则D.若直线平面，直线平面，则〖答案〗AC〖解析〗选项A，设，不重合，易知可确定唯一平面，又，所以，又，所以，故选项A正确；选项B，空间四边形不能确定一个平面，故选项B错误；选项C，因为，平面，所以面，故，所以选项C正确；选项D，因为直线平面，直线平面，则或与相交，故选项D错误.10.在正方形中，，点满足，则下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，C.存在，使得D.的最小值为2〖答案〗AD〖解析〗在正方形中，建立如图所示的平面直角坐标系，由，得，由，得，，对于A，，而，则，A正确；对于B，，，则，B错误；对于C，若，则，而方程无实根，则不存在，使得，C错误；对于D，，因此，当且仅当时取等号，D正确.故选：AD11.如图，，，，为三棱柱的顶点或所在棱的中点，下列图形中，直线与是异面直线的为（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，平面，平面，，平面，由异面直线的定义可知，直线与是异面直线，故A正确；对于B，如图，、为所在棱的中点，所以，又，由平行公理可得，，故B错误；对于C，如图，分别取底面三角形两边的中点，，连接，，则且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又平面，因为与无公共点，若与平行，得到与平行，这样矛盾，可得与异面，故C正确；对于D，平面，平面，，平面，由异面直线的定义可知，直线与是异面直线，故D正确．故选：ACD．12.在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（）A.若，，则为等边三角形B.是成立的充要条件C.若的面积为，则D.若点满足，且，则〖答案〗ABD〖解析〗选项A，因为，，由正弦定理得到，又由余弦定理，得到，即，所以，故选项A正确；选项B，因为，所以，即，又，，所以，由正弦定理得，，又由三角形中，大边对大角，得，又以上过程均可逆，故选项B正确；选项C，因为，整理得，又由正弦定理可得，即，所以，故或，得到或，故选项C错误；选项D，如图，在中，，在中，，两式相比得，因为，且，所以，，且，所以，故，所以选项D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数，，，其中，为实数，则______.〖答案〗〖解析〗因为复数，，，其中，为实数，所以，解得，则，，所以，故〖答案〗为：14.已知，，，且，，三点共线，则______.〖答案〗〖解析〗三点共线，.，.故〖答案〗为：.15.记的内角的对边分别为，若边上的高为，且满足，则______.〖答案〗〖解析〗因为的面积为，得到，又因为，所以，即，由正弦定理得，即，所以.故〖答案〗为：.16.已知四点，，，在半径为1的圆上，，则的最大值为______.〖答案〗〖解析〗因为且圆的半径为，所以与所对的圆心角均为，如图建立平面直角坐标系，不妨取，，设，则，，则，，，，；．．当，即时，的最大值为．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量与满足，，与的夹角为.（1）求；（2）求；（3）当为何值时，？解：（1）因为，，与的夹角为，所以.（2）由（1）知，所以.（3）由，得，解得，所以当时，.18.已知，，复数，且，复数在复平面上对应的点在函数的图像上.（1）求复数；（2）若为纯虚数，求实数的值.解：（1）因为，所以，对应的点为，所以，得到，又，所以，又，由，解得，所以.（2）由（1）知，，所以，故，得到.19.如图，圆锥的底面半径，母线的长为3，为上靠近的一个三等分点，从点拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点.（1）求绳子额最短长度；（2）过点作一个与底面平行的截面，将圆锥分为上、下两部分，其体积分别为，，求.解：（1）将圆锥侧面沿母线展开可得一扇形，连接，此时绳子的长度最短，在中，，，设，因为圆锥的底面半径，母线的长为3，则，所以，在中，由余弦定理可得，所以.（2）过点作与底面平行的截面，将圆锥分为上下两部分，上部分圆锥体积为，下部分圆台体积为，设大圆锥体积为，则，即，，所以.20.在中，，，为的平分线，在边上.（1）若，求的长；（2）若，求.解：（1）因为，因为为的平分线，所以，由余弦定理可得，所以，即边的长为.（2）设，由，可得，因为，所以，即，因为，所以，所以.21.如图，某景区绿化规划中，有一块等腰直角三角形空地，，，为上一点，满足.现欲在边界，（不包括端点）上分别选取，两点，并在四边形区域内种植花卉，且，设.（1）证明：；（2）为何值时，花卉种植的面积占整个空地面积的一半？（1）证明：由题意得，，，因为，，四边形内角和等于，所以，又，所以，，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，所以，证毕；（2）解：由题意得m，故，因为，，所以，因为，所以，设m，则m，在中，由正弦定理得，即，解得①，由三角形面积公式得，，故，所以②，由①②得，化简得，分子分母同除以得，解得22.如图，扇形的半径为2，圆心角为，点是弧上一动点（不包括端点），且于，于.设，将扇形绕所在直线旋转一周，由图中空白部分旋转形成的几何体的表面积记为，体积记为.（1）若，求；（2）当为多大时，最大，并求最大值.解：（1）因为旋转形成的几何体为圆柱，圆柱的半径，圆柱高，所以；（2）因为圆柱的半径为，高为，其中，所以，，所以，令，则，故，因为，所以，令，则在区间上恒成立，故在区间单调递增，故，此时，所以当时，最大，最大值.河北省唐山市十县一中联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡的相应位置上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用2B铅笔将答题卡对应题目选项的〖答案〗信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他〖答案〗.〖答案〗涂在试卷上一律无效.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，〖答案〗必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的〖答案〗，然后再写上新〖答案〗；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，若复数，则（）A.1 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D2.已知向量，，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，，，设与的夹角为，则，又，所以.故选：B3.已知为虚数单位，是关于的方程的一个根，则实数（）A.4 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因为是关于的方程的一个根，所以也是关于的方程的一个根，所以，解得故选：A4.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意圆锥的母线，设底面半径为，高为，则，解得，所以，则圆锥的体积.故选：C5.小明为了加强体育锻炼，提高身体素质，从网上购买了一对大小相同的健身哑铃.哑铃是由两个全等的大圆柱和中间一个连杆圆柱构成的，已知大圆柱的底面直径是8cm，高为2cm，连杆圆柱的底面直径是2cm，高为10cm，则一只健身哑铃的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为大圆柱的底面直径是8cm，高为2cm，故两个大圆柱的体积为，又连杆圆柱的底面直径是2cm，高为10cm，故连杆圆柱的体积为，所以一只健身哑铃的体积为.故选：C.6.如图，矩形是水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，则平面四边形的面积为（）A.10 B. C. D.20〖答案〗B〖解析〗设与轴的交点为，则，，原图形如图所示：，，故.故选：B.7.已知，内角的对边分别是，则等于（）A. B.C.或 D.或〖答案〗A〖解析〗∵，，，∴，，由正弦定理得：，∴，故选：A．8.正四棱锥中，底面边长，侧棱，在该四棱锥的内部有一个小球，则小球表面积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗当小球与正四棱锥各面相切时半径最大，此时小球表面积的最大，设小球的半径为，由底面边长，侧棱，可得正四棱锥的高，所以，又侧面面积为，底面面积为，，解得，小球表面积的最大值为．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列四个命题中，真命题是（）A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.四边形可以确定一个平面C.若直线，相交，且平面，则D.若直线平面，直线平面，则〖答案〗AC〖解析〗选项A，设，不重合，易知可确定唯一平面，又，所以，又，所以，故选项A正确；选项B，空间四边形不能确定一个平面，故选项B错误；选项C，因为，平面，所以面，故，所以选项C正确；选项D，因为直线平面，直线平面，则或与相交，故选项D错误.10.在正方形中，，点满足，则下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，C.存在，使得D.的最小值为2〖答案〗AD〖解析〗在正方形中，建立如图所示的平面直角坐标系，由，得，由，得，，对于A，，而，则，A正确；对于B，，，则，B错误；对于C，若，则，而方程无实根，则不存在，使得，C错误；对于D，，因此，当且仅当时取等号，D正确.故选：AD11.如图，，，，为三棱柱的顶点或所在棱的中点，下列图形中，直线与是异面直线的为（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，平面，平面，，平面，由异面直线的定义可知，直线与是异面直线，故A正确；对于B，如图，、为所在棱的中点，所以，又，由平行公理可得，，故B错误；对于C，如图，分别取底面三角形两边的中点，，连接，，则且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又平面，因为与无公共点，若与平行，得到与平行，这样矛盾，可得与异面，故C正确；对于D，平面，平面，，平面，由异面直线的定义可知，直线与是异面直线，故D正确．故选：ACD．12.在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（）A.若，，则为等边三角形B.是成立的充要条件C.若的面积为，则D.若点满足，且，则〖答案〗ABD〖解析〗选项A，因为，，由正弦定理得到，又由余弦定理，得到，即，所以，故选项A正确；选项B，因为，所以，即，又，，所以，由正弦定理得，，又由三角形中，大边对大角，得，又以上过程均可逆，故选项B正确；选项C，因为，整理得，又由正弦定理可得，即，所以，故或，得到或，故选项C错误；选项D，如图，在中，，在中，，两式相比得，因为，且，所以，，且，所以，故，所以选项D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数，，，其中，为实数，则______.〖答案〗〖解析〗因为复数，，，其中，为实数，所以，解得，则，，所以，故〖答案〗为：14.已知，，，且，，三点共线，则______.〖答案〗〖解析〗三点共线，.，.故〖答案〗为：.15.记的内角的对边分别为，若边上的高为，且满足，则______.〖答案〗〖解析〗因为的面积为，得到，又因为，所以，即，由正弦定理得，即，所以.故〖答案〗为：.16.已知四点，，，在半径为1的圆上，，则的最大值为______.〖答案〗〖解析〗因为且圆的半径为，所以与所对的圆心角均为，如图建立平面直角坐标系，不妨取，，设，则，，则，，，，；．．当，即时，的最大值为．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量与满足，，与的夹角为.（1）求；（2）求；（3）当为何值时，？解：（1）因为，，与的夹角为，所以.（2）由（1）知，所以.（3）由，得，解得，所以当时，.18.已知，，复数，且，复数在复平面上对应的点在函数的图像上.（1）求复数；（2）若为纯虚数，求实数的值.解：（1）因为，所以，对应的点为，所以，得到，又，所以，又，由，解得，所以.（2）由（1）知，，所以，故，得到.19.如图，圆锥的底面半径，母线的长为3，为上靠近的一个三等分点，从点拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点.（1）求绳子额最短长度；（2）过点作一