2022-2023学年河北省邢台市部分学校高一下学期月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市部分学校2022-2023学年高一下学期月考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第十章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从全市5万名高中生中随机抽取500名学生，以此来了解这5万名高中生的身高，在这一情境中，这5万名高中生的身高的全体是指（）A.个体 B.总体 C.样本 D.样本量〖答案〗B〖解析〗这5万名高中生的身高的全体是指总体.故选：B.2.已知集合是四棱柱是长方体是直四棱柱是正四棱柱，集合之间的关系为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗依四棱柱､直四棱柱､正四棱柱和长方体的定义，可得.故选：A.3.若纯虚数满足，则实数的值为（）A.1 B.-1 C.0 D.±1〖答案〗B〖解析〗设，由，可得，所以，解得.故选：B4.已知数据是某市个普通职工的年收入（单位：元），若去掉一个最高年收入和一个最低年收入，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是（）A.平均数 B.中位数 C.方差 D.极差〖答案〗B〖解析〗由中位数的定义知，去掉最高与最低后，新数据与原数据相比，中位数一定不变.故选：B.5.已知为坐标原点，，若点是上靠近点的三等分点，则（）A. B. C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗设，则，因为点是上靠近点的三等分点，所以，所以，，即所以，.故选：A6.已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗平均数，方差为，故选：C.7.七巧板，又称七巧图､智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明､清两代在民间广泛流传.某同学用边长为4的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，木板形状包括个等腰直角三角形，个正方形和个平行四边形.若该同学从块木板中任意取出块，则这块木板全等的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意从块木板中任意取出块的取法有种，这块木板全等的取法有种，故所求的概率是.故选：C8.先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为，设事件表示随机事件“和都是奇数”，事件表示随机事件“和中至少有一个是奇数”，事件表示随机事件“和都是偶数”，现有下列4个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是（）A.②③ B.②④ C.①③ D.①④〖答案〗A〖解析〗由题可知，即，所以.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对某地区2023年的学生人数进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在初中生中，九年级学生人数最多，八年级学生人数最少，七年级学生人数约为1.2万，则（）A.该地区2023年的学生人数约为15万B.该地区2023年高中生的人数比八年级学生人数的2倍还多C.该地区2023年小学生的人数比初中生､高中生和大学生的人数之和还多D.该地区2023年九年级的学生人数在初中生人数中的占比约为〖答案〗AB〖解析〗根据扇形统计图表，可得该地区2023年的学生人数约为万，所以A正确；该地区2023年高中生的人数比八年级学生人数的2倍还多，所以B正确；该地区2023年小学生的人数少于初中生､高中生和大学生的人数之和，所以C不正确；该地区2023年九年级的学生人数在初中生人数中的占比约为，所以D不正确.故选：AB.10.下列说法正确的是（）A.事件“若，则”是不可能事件B.已知某兴趣小组有11人，事件“该兴趣小组中至少有两人生肖相同”是必然事件C.现有分别写有数字的五张白色卡片､五张黄色卡片，从中抽取两张卡片，事件“两张卡片的颜色相同”和事件“两张卡片的数字相同”是互斥事件D.现有分别写有数字的五张白色卡片､五张黄色卡片，从中抽取两张卡片，事件“两张卡片数字之和为偶数”和事件“两张卡片数字的奇偶性不相同”是互斥且对立事件〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为，所以事件“若，则”是不可能事件，故A正确；对于B，某兴趣小组有11人，根据必然事件的定义可知，事件“该兴趣小组中至少有两人生肖相同”不是必然事件，故B错误；对于C，分别写有数字1，2，3，4，5的五张白色卡片､五张黄色卡片，根据互斥事件的定义可知，从中抽取两张卡片，事件“两张卡片的颜色相同”和事件“两张卡片的数字相同”是互斥事件，故C正确；对于D，分别写有数字的五张白色卡片､五张黄色卡片，根据互斥事件和对立事件的定义可知，从中抽取两张卡片，事件“两张卡片数字之和为偶数”和事件“两张卡片数字的奇偶性不相同”是互斥且对立事件，故D正确.故选：ACD.11.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，点为空间中一点，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，，，则过点只能作一条同时与，都平行的直线D.若直线与平面所成的角为，则过点恰好能作两条与直线和平面所成角都是的直线〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A，若，，则与平行､相交或异面，选项A错误；对于选项B，若，，由线面垂直的性质可知，，选项B正确；对于选项C，若过点所作的直线同时与，都平行，则这条直线必与平行，故只有一条，选项C正确；对于选项D，过点分别作与直线和平面所成角是的射线，所有射线形成两个圆锥，因为直线与平面所成的角为，所以两圆锥侧面相交，交线有两条，选项D正确.故选：BCD.12.袋中装有3个红球和2个蓝球，这5个球除颜色外完全相同.从袋中不放回地依次摸取3个，每次摸1个，则（）A.“第一次取到的是红球”与“第二次取到的是红球”的概率相等B.“第一次取到的是红球”与“第二次取到的是红球”互为独立事件C.“第二次取到的是蓝球”与“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率相等D.“三次取到的都是红球”与“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”互为独立事件〖答案〗AC〖解析〗“第一次取到的是红球”的概率，“第二次取到的是红球”的概率，“第一次和第二次取到的都是红球”的概率，所以，故A正确，B错误.“第二次取到的是蓝球”的概率为，“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率，故C正确.“三次取到的都是红球”的概率，“三次取到的都是红球且第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.为了解某校老年､中年和青年教师的身体状况，已知老年､中年､青年人数之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中老年教师有12人，则样本容量__________.〖答案〗44〖解析〗依题意，，解得，所以样本容量为44.故〖答案〗为：4414.某电路由三种部件组成（如图），若在某段时间内正常工作的概率分别为，则该电路正常运行的概率为__________.〖答案〗〖解析〗要使电路正常运行，则需要A正常，两个B至少有一个正常，C正常，所以电路正常运行的概率为.故〖答案〗为：.15.互不相等的5个正整数从小到大排序为，若它们的和为25，且其分位数是分位数的1.5倍，则的值可以为__________.（写出一个满足条件的即可）〖答案〗8（或11或12，写对一个即可）〖解析〗这组数据的分位数为，这组数据的分位数为，据题意有，即，因为，即，所以.若，则，无法找到满足题意的和；若，则，可得，所以，则或；若，则，可得，所以，则.故的值为8或11或12.故〖答案〗为：8（或11或12写对一个即可）.16.在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，分别为和的中点，则三棱锥外接球的表面积为__________.〖答案〗〖解析〗如图，取为的中点，连接，则四边形为矩形，故四点共圆.因为底面是边长为2的正方形，分别为和的中点，所以，，，所以，即为直角三角形，又平面，所以三棱锥外接球的球心即四边形的外心，设三棱锥的外接球半径为，则，故所求外接球的表面积为.故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知复数（1）求；（2）若，且复数的虚部等于复数的虚部，复数在复平面内对应的点位于第三象限，求复数.解：（1）由复数，可得，所以.（2）由题意，可得，因为复数的虚部等于复数的虚部，可设，又，可得，解得或，又因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，所以，故.18.在某次演讲比赛中，由两个评委小组（分别为专业人士（记为小组A）和观众代表（记为小组B））给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打出的分数，绘制出如图所示的折线图.（1）分别计算小组A和小组B打分的平均数和方差；（2）计算该选手所有分数的平均数和方差.解：（1）小组A打分的平均数，小组B打分的平均数，小组A打分的方差，小组B打分的方差.（2）该选手所有分数的平均数，该选手所有分数的方差.19.为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间（单位：时）按照、、、、分成组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值并估计样本数据的第百分位数；（2）按分层随机抽样的方法从上周体育锻炼时间在、的住户中选取人，再从这人中任意选取人，求这人上周体育锻炼时间都不低于小时的概率.解：（1），解得.设样本数据的第百分位数为，因为样本数据在的频率为，样本数据在的频率为，则，所以，解得，故估计样本数据的第百分位数为.（2）上周体育锻炼时间在的频数为，上周体育锻炼时间在的频数为，按分层随机抽样的方法选取人，则上周体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、，体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、、，所以从这人中随机抽取人的情况有、、、、、、、、、，共种，其中，事件“所抽取的人上周体育锻炼时间都不低于小时”包含的情况有、、，共种，则所求的概率.20.在中，角所对的边分别为.（1）求的大小；（2）若，点满足，求的面积.解：（1）因为，所以，又，所以，结合，解得，因为，所以．（2）因为，所以．由，可得，则，即，解得．所以的面积为．21.如图，在直四棱柱中，，底面是直角梯形，，，，，，点为上一点，且．（1）证明：平面平面．（2）点是上一点，且平面，求四面体的体积．（1）证明：因为，所以，，又，所以四边形为矩形，即．由题可知平面，平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）解：作，交于点，连接，如下图所示：易知，则，即可得；因为平面平面，所以平面，因为平面，又，所以平面平面．平面平面，平面平面，所以．因为，所以．又易知平面，则平面，所以即为四面体的高；所以四面体的体积为．22.在平面直角坐标系中，位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向只能是向上､向下､向左､向右，并且向上､向下移动的概率都是，向左移动的概率为，向右移动的概率为.（1）若，点移动两次后，求点位于的概率；（2）点移动三次后，点位于的概率为，求的最大值.解：（1）点向上向右各平移一次，或者向右向上各平移一次，概率（2）可以上、左、右各移动一次或者下一次上两次，故，.河北省邢台市部分学校2022-2023学年高一下学期月考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第十章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从全市5万名高中生中随机抽取500名学生，以此来了解这5万名高中生的身高，在这一情境中，这5万名高中生的身高的全体是指（）A.个体 B.总体 C.样本 D.样本量〖答案〗B〖解析〗这5万名高中生的身高的全体是指总体.故选：B.2.已知集合是四棱柱是长方体是直四棱柱是正四棱柱，集合之间的关系为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗依四棱柱､直四棱柱､正四棱柱和长方体的定义，可得.故选：A.3.若纯虚数满足，则实数的值为（）A.1 B.-1 C.0 D.±1〖答案〗B〖解析〗设，由，可得，所以，解得.故选：B4.已知数据是某市个普通职工的年收入（单位：元），若去掉一个最高年收入和一个最低年收入，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是（）A.平均数 B.中位数 C.方差 D.极差〖答案〗B〖解析〗由中位数的定义知，去掉最高与最低后，新数据与原数据相比，中位数一定不变.故选：B.5.已知为坐标原点，，若点是上靠近点的三等分点，则（）A. B. C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗设，则，因为点是上靠近点的三等分点，所以，所以，，即所以，.故选：A6.已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗平均数，方差为，故选：C.7.七巧板，又称七巧图､智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明､清两代在民间广泛流传.某同学用边长为4的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，木板形状包括个等腰直角三角形，个正方形和个平行四边形.若该同学从块木板中任意取出块，则这块木板全等的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意从块木板中任意取出块的取法有种，这块木板全等的取法有种，故所求的概率是.故选：C8.先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为，设事件表示随机事件“和都是奇数”，事件表示随机事件“和中至少有一个是奇数”，事件表示随机事件“和都是偶数”，现有下列4个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是（）A.②③ B.②④ C.①③ D.①④〖答案〗A〖解析〗由题可知，即，所以.故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对某地区2023年的学生人数进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在初中生中，九年级学生人数最多，八年级学生人数最少，七年级学生人数约为1.2万，则（）A.该地区2023年的学生人数约为15万B.该地区2023年高中生的人数比八年级学生人数的2倍还多C.该地区2023年小学生的人数比初中生､高中生和大学生的人数之和还多D.该地区2023年九年级的学生人数在初中生人数中的占比约为〖答案〗AB〖解析〗根据扇形统计图表，可得该地区2023年的学生人数约为万，所以A正确；该地区2023年高中生的人数比八年级学生人数的2倍还多，所以B正确；该地区2023年小学生的人数少于初中生､高中生和大学生的人数之和，所以C不正确；该地区2023年九年级的学生人数在初中生人数中的占比约为，所以D不正确.故选：AB.10.下列说法正确的是（）A.事件“若，则”是不可能事件B.已知某兴趣小组有11人，事件“该兴趣小组中至少有两人生肖相同”是必然事件C.现有分别写有数字的五张白色卡片､五张黄色卡片，从中抽取两张卡片，事件“两张卡片的颜色相同”和事件“两张卡片的数字相同”是互斥事件D.现有分别写有数字的五张白色卡片､五张黄色卡片，从中抽取两张卡片，事件“两张卡片数字之和为偶数”和事件“两张卡片数字的奇偶性不相同”是互斥且对立事件〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为，所以事件“若，则”是不可能事件，故A正确；对于B，某兴趣小组有11人，根据必然事件的定义可知，事件“该兴趣小组中至少有两人生肖相同”不是必然事件，故B错误；对于C，分别写有数字1，2，3，4，5的五张白色卡片､五张黄色卡片，根据互斥事件的定义可知，从中抽取两张卡片，事件“两张卡片的颜色相同”和事件“两张卡片的数字相同”是互斥事件，故C正确；对于D，分别写有数字的五张白色卡片､五张黄色卡片，根据互斥事件和对立事件的定义可知，从中抽取两张卡片，事件“两张卡片数字之和为偶数”和事件“两张卡片数字的奇偶性不相同”是互斥且对立事件，故D正确.故选：ACD.11.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，点为空间中一点，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，，，则过点只能作一条同时与，都平行的直线D.若直线与平面所成的角为，则过点恰好能作两条与直线和平面所成角都是的直线〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A，若，，则与平行､相交或异面，选项A错误；对于选项B，若，，由线面垂直的性质可知，，选项B正确；对于选项C，若过点所作的直线同时与，都平行，则这条直线必与平行，故只有一条，选项C正确；对于选项D，过点分别作与直线和平面所成角是的射线，所有射线形成两个圆锥，因为直线与平面所成的角为，所以两圆锥侧面相交，交线有两条，选项D正确.故选：BCD.12.袋中装有3个红球和2个蓝球，这5个球除颜色外完全相同.从袋中不放回地依次摸取3个，每次摸1个，则（）A.“第一次取到的是红球”与“第二次取到的是红球”的概率相等B.“第一次取到的是红球”与“第二次取到的是红球”互为独立事件C.“第二次取到的是蓝球”与“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率相等D.“三次取到的都是红球”与“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”互为独立事件〖答案〗AC〖解析〗“第一次取到的是红球”的概率，“第二次取到的是红球”的概率，“第一次和第二次取到的都是红球”的概率，所以，故A正确，B错误.“第二次取到的是蓝球”的概率为，“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率，故C正确.“三次取到的都是红球”的概率，“三次取到的都是红球且第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.为了解某校老年､中年和青年教师的身体状况，已知老年､中年､青年人数之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，其中老年教师有12人，则样本容量__________.〖答案〗44〖解析〗依题意，，解得，所以样本容量为44.故〖答案〗为：4414.某电路由三种部件组成（如图），若在某段时间内正常工作的概率分别为，则该电路正常运行的概率为__________.〖答案〗〖解析〗要使电路正常运行，则需要A正常，两个B至少有一个正常，C正常，所以电路正常运行的概率为.故〖答案〗为：.15.互不相等的5个正整数从小到大排序为，若它们的和为25，且其分位数是分位数的1.5倍，则的值可以为__________.（写出一个满足条件的即可）〖答案〗8（或11或12，写对一个即可）〖解析〗这组数据的分位数为，这组数据的分位数为，据题意有，即，因为，即，所以.若，则，无法找到满足题意的和；若，则，可得，所以，则或；若，则，可得，所以，则.故的值为8或11或12.故〖答案〗为：8（或11或12写对一个即可）.16.在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，分别为和的中点，则三棱锥外接球的表面积为__________.〖答案〗〖解析〗如图，取为的中点，连接，则四边形为矩形，故四点共圆.因为底面是边长为2的正方形，分别为和的中点，所以，，，所以，即为直角三角形，又平面，所以三棱锥外接球的球心即四边形的外心，设三棱锥的外接球半径为，则，故所求外接球的表面积为.故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知复数（1）求；（2）若，且复数的虚部等于复数的虚部，复数在复平面内对应的点位于第三象限，求复数.解：（1）由复数，可得，所以.（2）由题意，可得，因为复数的虚部等于复数的虚部，可设，又，可得，解得或，又因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，所以，故.18.在某次演讲比赛中，由两个评委小组（分别为专业人士（记为小组A）和观众代表（记为小组B））给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打出的分数，绘制出如图所示的折线图.（1）分别计算小组A和小组B打分的平均数和方差；（2）计算该选手所有分数的平均数和方差