2022-2023学年江苏省南通市海安市实验中学高一下学期期末模拟数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市海安市实验中学2022-2023学年高一下学期期末模拟数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的部分函数值如下表所示：那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（）x10.50.750.6250.56250.63210.27760.0897A0.55 B.0.57 C.0.65 D.0.7〖答案〗B〖解析〗易知在上单调递增，由表格得，且，∴函数零点在，∴一个近似值为0.57．故选:B．2.某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（）．A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形 D.有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形〖答案〗C〖解析〗设的内角的对边分别是，且边上的高分别为,则,令，则，故，故A为钝角，又，A为三角形最大角，故该三角形为钝角三角形，故选：C3.在中，角A，B，C所对的过分别为a，b，c，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗由二倍角公式可化简得：，而，故，由正弦定理可得，反之，也成立，即为充要条件.故选：C．4.已知向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，与的夹角为，所以，所以在上的投影向量，故选：D5.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含者中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，另3位棋手分别记丙、丁、戊，则这5位棋手的分组情况有（甲乙丙，丁戊），（甲乙丁，丙戊），（甲乙戊，丙丁），（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），（丙丁戊，甲乙），共10种，其中甲和乙不在同一个小组的情况分别为（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），共有6种，所以甲和乙不在同一个小组的概率.故选：C.6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则与所成的角和与所成的角相等〖答案〗C〖解析〗A．时，中存在直线（过的平面与的交线都与平行），，则，又，则，所以，A正确；B．，，与无公共点，则，B正确；C．，，时，与可以平行，相交，C错误．D．由线线平行的性质知时，与所成的角相等，时由面面平行的性质知与所成的角相等，因此D正确．故选：C．7.已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（）A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心〖答案〗D〖解析〗令边BC上的高为h，则有，令边BC的中点为D，则，因此，，即，所以动点的轨迹一定通过的重心.故选：D8.已知函数在内恰有个最值点和个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，且当时，，因为函数在内恰有个最值点和个零点，所以，，解得，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知内角、、所对的边分别为、、，以下结论中正确的是（）A.若，，，则该三角形有两解B.若，则一定为等腰三角形C.若，则一定为钝角三角形D.若，则是等边三角形〖答案〗CD〖解析〗对于A选项，由余弦定理可得，即，即，因为，解得，此时，只有一解，A错；对于B选项，因为，即，整理可得，所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，B错；对于C选项，因为，由正弦定理可得，所以，，则为钝角，即为钝角三角形，C对；对于D选项，因为、、，则，，，所以，，，，又因为，则，所以，，则，此时，为等边三角形，D对.故选：CD.10.已知事件、发生的概率分别为，，则（）A.若，则事件与相互独立B.若与相互独立，则C.若与互斥，则D.若发生时一定发生，则〖答案〗AB〖解析〗对于A，因为，，则，因为，所以，事件与相互独立，A对；对于B，若与相互独立，则，所以，，B对；对于C，若与互斥，则，C错；对于D，若发生时一定发生，则，则，D错.故选：AB.11.已知向量，满足，，则与的夹角可以为（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗因，则，且，则，所以，即，则，又因为，即，设与的夹角为，则，即，且，则，所以，则与的夹角可以为，.故选：AB12.任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A.B.当，时，C.当，时，D.当，时，若为偶数，则复数为纯虚数〖答案〗AC〖解析〗对于复数，则，，而，所以A正确；当r=1，时，，所以B错误；，时，，则，所以C正确；，时，，为偶数时，设,，所以为奇数时，为纯虚数；为偶数时，为实数，选项D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗，则，故〖答案〗为：.14.如图所示，，，，是正弦函数图象上四个点，且在，两点函数值最大，在，两点函数值最小，则______.〖答案〗〖解析〗由图象结合正弦函数可得，，，，，所以，，，，所以，，所以.故〖答案〗为：.15.如图所示，边长为的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗连接，因为为等边三角形，且为的中点，则，以点为坐标原点，、所在直线别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，设点，其中，则，，所以，，因为，则，所以，，故.因此，的取值范围为.故〖答案〗为：.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍”“裹蒸”“包米”“简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物．将宽为1的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为__________；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是__________．〖答案〗①.②.〖解析〗由题意可得该六面体是由两个全等的四面体组合而成，四面体的两两垂直的棱长为1，如图，该六面体的体积为，当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，其中D为BC的中点，过球心O作OE⊥SD，则OE就是球的半径，，故，因为，所以球的半径，所以该球的表面积为，故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，、、分别为内角A、B、C的对边，且.（1）求的大小；（2）若，且顶点到边的距离等于，求的周长.解：（1）因为，由正弦定理可得，整理可得，由余弦定理可得，因为，解得.（2）由题意可得，由三角形的面积公式可得，则，由余弦定理可得，所以，，因此，周长为.18.已知，，.（1）若，求；（2）若，求.解：（1）因为，，所以.所以=.（2）因为，，两式相加可得，，，所以，.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段上的动点，为线段的中点.（1）若为线段的中点，证明：平面平面；（2）若平面，试确定点的位置，并说明理由.（1）证明：因为底面为正方形，，所以.因为为线段中点，所以在平面中，.因为底面底面，所以.又平面平面，所以平面.因为平面，所以.又平面平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：如图，连接，交于点，连接.因为在正方形中，为线段中点，，所以，即.因为平面平面，平面平面，所以，所以，即，所以点为线段的三等分点，且靠近点处.20.为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取名，将其成绩整理后分为组，画出频率分布直方图如图所示（最低分，最高分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的倍.（1）求第一组、第二组的频率各是多少？（2）现划定成绩大于或等于上四分位数即第百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留位小数）；（3）现知道直方图中成绩在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数和方差.解：（1）设第一组的频率为，则第二组的频率为，由题意可得，解得，因此，第一组的频率为，第二组的频率为.（2）设样本的第百分位数为，前三个矩形的面积之和为，前四个矩形的面积之和为，所以，，由百分位数的定义可得，解得，所以，估计全市“良好”以上等级的成绩范围为.（3）成绩在的频数为，成绩在的频数为，又因为直方图中成绩在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，所以，成绩在内的平均数为，方差为.21.如图，是圆的直径，是圆上异于、一点，直线平面，，.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的正切值.解：（1）因为是圆直径，是圆上异于、一点，则，因为，，则，所以，，因为平面，则.因为、平面，所以，，，所以，，，由余弦定理可得，所以，，所以，，设点到平面的距离为，由，即，所以，，因此，点到平面的距离为.（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，因为是圆的直径，是圆上异于、一点，则，因为平面，平面，所以，，因为，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，所以，，所以，二面角的平面角为，因为平面，平面，所以，，因为，由等面积法可得，因为平面，平面，所以，，所以，，因此，二面角的正切值为.22.某部门组织甲、乙两人破译一个密码，每人能否破译该密码相互独立．已知甲、乙各自独立破译出该密码的概率分别为，．（1）求他们恰有一人破译出该密码的概率；（2）求他们破译出该密码的概率；（3）现把乙调离，甲留下，并要求破译出该密码的概率不低于80%，那么至少需要再增添几个与甲水平相当的人？解：（1）设甲、乙破译出该密码分别为事件A和事件B，则.甲乙两个恰有一人破译出该密码，包括甲破译出来而乙没有破译出来和乙破译出来而甲没有破译出来两种情况，则恰有一人破译出来该密码的概率为.（2）甲乙两人破译出该密码的对立事件为没有破译出密码，即甲乙没有破译出来密码同时发生，故他们破译出密码的概率为：（3）设共需要个与甲水平相当的人，则不能破译的概率为：，由题意知，则应有，即，两边同时取以10为底的对数，则有，.故至少需要再增添3个与甲水平相当的人.江苏省南通市海安市实验中学2022-2023学年高一下学期期末模拟数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的部分函数值如下表所示：那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（）x10.50.750.6250.56250.63210.27760.0897A0.55 B.0.57 C.0.65 D.0.7〖答案〗B〖解析〗易知在上单调递增，由表格得，且，∴函数零点在，∴一个近似值为0.57．故选:B．2.某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（）．A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形 D.有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形〖答案〗C〖解析〗设的内角的对边分别是，且边上的高分别为,则,令，则，故，故A为钝角，又，A为三角形最大角，故该三角形为钝角三角形，故选：C3.在中，角A，B，C所对的过分别为a，b，c，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗由二倍角公式可化简得：，而，故，由正弦定理可得，反之，也成立，即为充要条件.故选：C．4.已知向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，与的夹角为，所以，所以在上的投影向量，故选：D5.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含者中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，另3位棋手分别记丙、丁、戊，则这5位棋手的分组情况有（甲乙丙，丁戊），（甲乙丁，丙戊），（甲乙戊，丙丁），（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），（丙丁戊，甲乙），共10种，其中甲和乙不在同一个小组的情况分别为（甲丙丁，乙戊），（甲丙戊，乙丁），（甲丁戊，乙丙），（乙丙丁，甲戊），（乙丙戊，甲丁），（乙丁戊，甲丙），共有6种，所以甲和乙不在同一个小组的概率.故选：C.6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则与所成的角和与所成的角相等〖答案〗C〖解析〗A．时，中存在直线（过的平面与的交线都与平行），，则，又，则，所以，A正确；B．，，与无公共点，则，B正确；C．，，时，与可以平行，相交，C错误．D．由线线平行的性质知时，与所成的角相等，时由面面平行的性质知与所成的角相等，因此D正确．故选：C．7.已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（）A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心〖答案〗D〖解析〗令边BC上的高为h，则有，令边BC的中点为D，则，因此，，即，所以动点的轨迹一定通过的重心.故选：D8.已知函数在内恰有个最值点和个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，且当时，，因为函数在内恰有个最值点和个零点，所以，，解得，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知内角、、所对的边分别为、、，以下结论中正确的是（）A.若，，，则该三角形有两解B.若，则一定为等腰三角形C.若，则一定为钝角三角形D.若，则是等边三角形〖答案〗CD〖解析〗对于A选项，由余弦定理可得，即，即，因为，解得，此时，只有一解，A错；对于B选项，因为，即，整理可得，所以，或，故为等腰三角形或直角三角形，B错；对于C选项，因为，由正弦定理可得，所以，，则为钝角，即为钝角三角形，C对；对于D选项，因为、、，则，，，所以，，，，又因为，则，所以，，则，此时，为等边三角形，D对.故选：CD.10.已知事件、发生的概率分别为，，则（）A.若，则事件与相互独立B.若与相互独立，则C.若与互斥，则D.若发生时一定发生，则〖答案〗AB〖解析〗对于A，因为，，则，因为，所以，事件与相互独立，A对；对于B，若与相互独立，则，所以，，B对；对于C，若与互斥，则，C错；对于D，若发生时一定发生，则，则，D错.故选：AB.11.已知向量，满足，，则与的夹角可以为（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗因，则，且，则，所以，即，则，又因为，即，设与的夹角为，则，即，且，则，所以，则与的夹角可以为，.故选：AB12.任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A.B.当，时，C.当，时，D.当，时，若为偶数，则复数为纯虚数〖答案〗AC〖解析〗对于复数，则，，而，所以A正确；当r=1，时，，所以B错误；，时，，则，所以C正确；，时，，为偶数时，设,，所以为奇数时，为纯虚数；为偶数时，为实数，选项D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗，则，故〖答案〗为：.14.如图所示，，，，是正弦函数图象上四个点，且在，两点函数值最大，在，两点函数值最小，则______.〖答案〗〖解析〗由图象结合正弦函数可得，，，，，所以，，，，所以，，所以.故〖答案〗为：.15.如图所示，边长为的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗连接，因为为等边三角形，且为的中点，则，以点为坐标原点，、所在直线别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，设点，其中，则，，所以，，因为，则，所以，，故.因此，的取值范围为.故〖答案〗为：.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子，古称“角黍”“裹蒸”“包米”“简粽”等，早在春秋时期就已出现，到了晋代成为了端午节庆食物．将宽为1的矩形纸片沿虚线折起来，可以得到粽子形状的六面体，则该六面体的体积为__________；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是__________．〖答案〗①.②.〖解析〗由题意可得该六面体是由两个全等的四面体组合而成，四面体的两两垂直的棱长为1，如图，该六面体的体积为，当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，其中D为BC的中点，过球心O作OE⊥SD，则OE就是球的半径，，故，因为，所以球的半径，所以该球的表面积为，故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，、、分别为内角A、B、C的对边，且.（1）求的大小；（2）若，且顶点到边的距离等于，求的周长.解：（1）因为，由正弦定理可得，整理可得，由余弦定理可得，因为，解得.（2）由题意可得，由三角形的面积公式可得，则，由余弦定理可得，所以，，因此，周长为.18.已知，，.（1）若，求；（2）若，求.解：（1）因为，，所以.所以=.（2）因为，，两式相加可得，，，所以，.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段上的动点，为线段的中点.（1）若为线段的中点，证明：平面平面；（2）若平面，试确定点的位置，并说明理由.（1）证明：因为底面为正方形，，所以.因为为线段中点，所以在平面中，.因为底面底面，所以.又平面平面，所以平面.因为平面，所以.又平面平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：如图，连接，交于点，连接.因为在正方形中，为线段中点，，所以，即.因为平面平面，平面平面，所以，所以，即，所以点为线段的三等分点，且靠近点处.20.为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取名，将其成绩整理后分为组，画出频率分布直方图如图所示（最低分，最高分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组的倍.（1）求第一组、第二组的频率各是多少？（2）现划定成绩大于或等于上四分位数即第百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上等级的成绩范围（保留位小数）；（3）现知道直方图中成