2022-2023学年辽宁省六校高二下学期期末练习C数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省六校2022-2023学年高二下学期数学期末练习C卷（时间：120分钟，满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A、B、C、D、〖答案〗C〖解析〗，，∴，故选C.2．已知复数，则的共轭复数（）A、B、C、D、〖答案〗B〖解析〗∵，，∴，∴，故选B.3．函数的部分图像大致为（）A、 B、C、 D、〖答案〗D〖解析〗∵为偶函数，为奇函数，∴是定义为的奇函数，排除C选项，又，排除B选项，当时，、，∴，排除A选项，故选D.4．年月日，全国第七次人口普查的结果正式公布，截止到年，全国人口总数约为亿，下列各选项的数字与亿最接近的是（）（参考数据：，，，）A、B、C、D、〖答案〗C〖解析〗设，则，故选C.5．已知数列满足，，则数列的前项积为（）A、B、C、D、〖答案〗B〖解析〗由题意，，，解得，继续解得，，，…，∴是周期为的循环数列，在一个周期内的积为：，，前项之积为个周期之积，即，故选B.6．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（）A、 B、C、的周期为 D、〖答案〗B〖解析〗的图像关于直线对称，则关于对称，又函数关于点对称，则关于点对称，根据对称性，也关于对称，且周期为，则B选项正确，对于D，令，则，与题意不符，故选B.7．已知函数（），将的图像向右平移个单位得到函数的图像，点、、是与图像的连续相邻三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围为（）A、 B、C、 D、〖答案〗B〖解析〗由题意得，，作出两个函数的图像如图所示，、、为连续三交点，（不妨设在轴下方），为的中点，由对称性可知是以为顶角的等腰三角形，，由，整理得，解得，则，即，∴，∵为钝角三角形，则，∴，解得，故选B.8．已知函数（），若存在，使得成立，则实数的取值范围为（）A、B、C、D、〖答案〗C〖解析〗∵，，∴，∴，∵存在，使得，即，∴，设，，则，∴，令，解得，当时，即时，函数单调递增，当时，即时，函数单调递减，∵、，∴，∴，故选C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．下列说法正确的有（）.A、命题“，”的否定是“，”B、若复数、满足，则C、若平面向量、满足，则D、在中，若，则为锐角三角形〖答案〗ACD〖解析〗A选项，命题“，”的否定是“，”，对，B选项，、，，但，，错，C选项，，则，对，D选项，由可得和同号，∴、均为锐角，又，∴，则也为锐角，对，故选ACD.10．已知不相等的两个正实数和，满足，下列不等式正确的是（）.A、 B、C、 D、〖答案〗BD〖解析〗A选项，∵和为不相等的正实数，且，可令和，则，错，B选项，，对，C选项，，其中，当时，，当时，，错，D选项，，∵，∴，对，故选BD.11．已知函数，则下列说法正确的是（）.A、在上单调递增B、直线是图像的一条对称轴C、方程在上有三个实根D、的最小值为〖答案〗BC〖解析〗A选项，，，则，∴函数在上不是增函数，错，B选项，，∴直线是图像的一条对称轴，对，C选项，由可得，显然，等式两边平方得，整理可得，解得或，当时，，则或，方程在时有两解，方程在时只有一解，∴方程在上有三个实根，对，D选项，假设的最小值为，即，即，且存在，使得，此时，这与矛盾，假设不成立，错，故选BC.12．已知数列满足，，其前项和为，其前项积为，则下列说法正确的是（）.A、数列是递增数列 B、数列的最大值与最小值的和为C、数列是递增数列 D、数列是递增数列〖答案〗BCD〖解析〗∵，∴，∴，当时，，即，当时，，即，∴数列先增后减，A选项错，∴当时数列取得最大值为，又当时，，，∴当时数列取得最小值为，∴数列的最小值与最小值的和为，B选项对，∵恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴，∴数列是递增数列，C选项对，∵恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴，∴数列是递增数列，D选项对，故选BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则.〖答案〗〖解析〗∵，∴的周期，∴，又∵是奇函数，∴.14．已知正方形的边长为，点满足：，则，.（本小题每个空2.5分）〖答案〗〖解析〗以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，∴，，∴，.15．对于任意实数序列，，定义，已知数列、满足、，若中前项的和恒成立，则整数的最小值为.〖答案〗〖解析〗依题意可知，∴，∴整数的最小值为.16．已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为.〖答案〗〖解析〗∵，∴中，由可得，设，，则与互为反函数，∴转化为，则只需的图像在上，的图像在下，∴，即，令（），则只需，∴，令，解得，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，∴为的极小值也是最小值，∴，即，又，∴.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知数列满足，.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.在①；②；③三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，如果多写按第一个计分.（1）证明：由题意可知，由两边同时取倒数得，1分即当时，，又，∴，∴，3分∴数列是等差数列，首项为，公差为，∴，∴；5分（2）解：选①：由（1）可得：，7分∴.10分选②：由（1）可得：，当为偶数时，，7分当为奇数时，，9分∴.10分选③：，6分∴.10分18．（本小题满分12分）已知函数，的内角、、的对边分别为、、，角为锐角，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.解：（1），3分∵，∴，即，5分在中，，又为锐角，∴，解得；6分（2）由余弦定理得：，解得，则，9分则.12分19．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，满足：（）.（1）求证：数列为等差数列；（2）若，，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.（1）证明：当时，，∴，1分由题意可知当时，，，则，即，3分则，则，即，即，∴，∴数列是首项为，公差为的等差数列；5分（2）解：∵，则，∴，∴，6分设，则，∴数列单调递减，∴数列的最大值为，9分若不等式对任意恒成立，则只需，即，即，解得或，即实数的取值范围为.12分20．（本小题满分12分）如图所示，某镇有一块空地，其中，，，当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中、都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场，为安全起见，需在的周围安装防护网.（1）当时，求防护网的总长度；（2）为节省资金投入，人工湖的面积要尽可能小，设，问：当多大时的面积最小？最小面积是多少？解：（1）在中，、、，∴，1分在中，、，∴由余弦定理得，即，∴，即，3分∴，∴为正三角形，其周长为，∴防护网的总长度为；4分（2）由题意得，在中，，即（或），6分在中，，即，8分∴（或），10分又∵，即，∴当且仅当时，的面积取最小值为.12分21．（本小题满分12分）已知函数，.（1）证明：；（2）若数列满足，，证明：，.证明：（1）先证，即证，令，，即证，∵，∴在上单调递减，∴，3分再证，即证，即证，令，，即证，∵，∴在上单调递增，∴；6分（2）由（1）得：（），则，7分∴当时，，成立，8分当时，，即，∴，11分∴，.12分22．（本小题满分12分）已知函数，.（1）若，求的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）当时，，定义域为，，1分当时，∵且，∴，∴，∴在内单调递减，2分当时，∵且，∴，∴，∴在内单调递增，3分∴当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；4分（2）恒成立等价于恒成立，令，定义域为，则，5分=1\*GB3①当时，在区间上恒成立，符合题意，6分②当时，，令，，即在上单调递增，，，则存在，使得，此时，即，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，令，得，∵，∴，11分综上所述，实数的取值范围为.12分辽宁省六校2022-2023学年高二下学期数学期末练习C卷（时间：120分钟，满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A、B、C、D、〖答案〗C〖解析〗，，∴，故选C.2．已知复数，则的共轭复数（）A、B、C、D、〖答案〗B〖解析〗∵，，∴，∴，故选B.3．函数的部分图像大致为（）A、 B、C、 D、〖答案〗D〖解析〗∵为偶函数，为奇函数，∴是定义为的奇函数，排除C选项，又，排除B选项，当时，、，∴，排除A选项，故选D.4．年月日，全国第七次人口普查的结果正式公布，截止到年，全国人口总数约为亿，下列各选项的数字与亿最接近的是（）（参考数据：，，，）A、B、C、D、〖答案〗C〖解析〗设，则，故选C.5．已知数列满足，，则数列的前项积为（）A、B、C、D、〖答案〗B〖解析〗由题意，，，解得，继续解得，，，…，∴是周期为的循环数列，在一个周期内的积为：，，前项之积为个周期之积，即，故选B.6．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（）A、 B、C、的周期为 D、〖答案〗B〖解析〗的图像关于直线对称，则关于对称，又函数关于点对称，则关于点对称，根据对称性，也关于对称，且周期为，则B选项正确，对于D，令，则，与题意不符，故选B.7．已知函数（），将的图像向右平移个单位得到函数的图像，点、、是与图像的连续相邻三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围为（）A、 B、C、 D、〖答案〗B〖解析〗由题意得，，作出两个函数的图像如图所示，、、为连续三交点，（不妨设在轴下方），为的中点，由对称性可知是以为顶角的等腰三角形，，由，整理得，解得，则，即，∴，∵为钝角三角形，则，∴，解得，故选B.8．已知函数（），若存在，使得成立，则实数的取值范围为（）A、B、C、D、〖答案〗C〖解析〗∵，，∴，∴，∵存在，使得，即，∴，设，，则，∴，令，解得，当时，即时，函数单调递增，当时，即时，函数单调递减，∵、，∴，∴，故选C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．下列说法正确的有（）.A、命题“，”的否定是“，”B、若复数、满足，则C、若平面向量、满足，则D、在中，若，则为锐角三角形〖答案〗ACD〖解析〗A选项，命题“，”的否定是“，”，对，B选项，、，，但，，错，C选项，，则，对，D选项，由可得和同号，∴、均为锐角，又，∴，则也为锐角，对，故选ACD.10．已知不相等的两个正实数和，满足，下列不等式正确的是（）.A、 B、C、 D、〖答案〗BD〖解析〗A选项，∵和为不相等的正实数，且，可令和，则，错，B选项，，对，C选项，，其中，当时，，当时，，错，D选项，，∵，∴，对，故选BD.11．已知函数，则下列说法正确的是（）.A、在上单调递增B、直线是图像的一条对称轴C、方程在上有三个实根D、的最小值为〖答案〗BC〖解析〗A选项，，，则，∴函数在上不是增函数，错，B选项，，∴直线是图像的一条对称轴，对，C选项，由可得，显然，等式两边平方得，整理可得，解得或，当时，，则或，方程在时有两解，方程在时只有一解，∴方程在上有三个实根，对，D选项，假设的最小值为，即，即，且存在，使得，此时，这与矛盾，假设不成立，错，故选BC.12．已知数列满足，，其前项和为，其前项积为，则下列说法正确的是（）.A、数列是递增数列 B、数列的最大值与最小值的和为C、数列是递增数列 D、数列是递增数列〖答案〗BCD〖解析〗∵，∴，∴，当时，，即，当时，，即，∴数列先增后减，A选项错，∴当时数列取得最大值为，又当时，，，∴当时数列取得最小值为，∴数列的最小值与最小值的和为，B选项对，∵恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴，∴数列是递增数列，C选项对，∵恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴，∴数列是递增数列，D选项对，故选BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则.〖答案〗〖解析〗∵，∴的周期，∴，又∵是奇函数，∴.14．已知正方形的边长为，点满足：，则，.（本小题每个空2.5分）〖答案〗〖解析〗以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，∴，，∴，.15．对于任意实数序列，，定义，已知数列、满足、，若中前项的和恒成立，则整数的最小值为.〖答案〗〖解析〗依题意可知，∴，∴整数的最小值为.16．已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为.〖答案〗〖解析〗∵，∴中，由可得，设，，则与互为反函数，∴转化为，则只需的图像在上，的图像在下，∴，即，令（），则只需，∴，令，解得，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，∴为的极小值也是最小值，∴，即，又，∴.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知数列满足，.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.在①；②；③三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，如果多写按第一个计分.（1）证明：由题意可知，由两边同时取倒数得，1分即当时，，又，∴，∴，3分∴数列是等差数列，首项为，公差为，∴，∴；5分（2）解：选①：由（1）可得：，7分∴.10分选②：由（1）可得：，当为偶数时，，7分当为奇数时，，9分∴.10分选③：，6分∴.10分18．（本小题满分12分）已知函数，的内角、、的对边分别为、、，角为锐角，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.解：（1），3分∵，∴，即，5分在中，，又为锐角，∴，解得；6分（2）由余弦定理得：，解得，则，9分则.12分19．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，满足：（）.（1）求证：数列为等差数列；（2）若，，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.（1）证明：当时，，∴，1分由题意可知当时，，，则，即，3分则，则，即，即，∴，∴数列是首项为，公差为的等差数列；5分（2）解：∵，则，∴，∴，6分设，则，∴数列单调递减，∴数列的最大值为，9分若不等式对任意恒成立，则只需，即，即，解得或，即实数的取值范围为.12分20．（本