2022-2023学年陕西省榆林市府谷中学等四校高二下学期第一次联考理科数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省榆林市府谷中学等四校2022-2023学年高二下学期第一次联考理科数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将〖答案〗答在答题卡上.选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：北师大版必修1~必修5，选修2-1，选修2-2，选修2-3第一章.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以.故选：C.2.在中，角的对边分别是，若，，，则（）A. B. C.或 D.〖答案〗A〖解析〗由正弦定理得，∵a＞b，∴，∴.故选A．3.已知是平面内不共线的两个向量，且，，若，则实数（）A. B. C.6 D.〖答案〗D〖解析〗由，得，所以，则，解得.故选：D.4.已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由，若，则可能平行或，充分性不成立；由，，由面面垂直的判定知，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的总数记为，则等于（）A.24 B.21 C.18 D.15〖答案〗C〖解析〗由题图可知，依此类推，每增加1，图案中的点数增加3，所以相应图案中的点数构成首项为，公差为3的等差数列，所以.故选：C.6.某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（）A.6种 B.12种 C.18种 D.24种〖答案〗B〖解析〗可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素，与剩下两首诗词全排列，有种排法，然后捆绑的《将进酒》与《望岳》也有排列，有种排法，根据乘法原理，得种排法，即不同的默写次序有12种.故选：B.7.若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（）．A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗因为，所以曲线在点处的切线的斜率为，直线l的斜率，由切线与直线l垂直知，即，解得．故选：C．8.已知，则的最大值为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗因为，由基本不等式可得，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：A.9.已知是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，可得函数在上单调递增，又由，可得，解得，所以不等式的解集为.故选：D.10.已知的二项式系数和为256，则的展开式中常数项为（）A.1120 B. C.70 D.〖答案〗A〖解析〗由的二项式系数和为256，得，所以，的二项式通项为，令，得，所以常数项为.故选：A.11.已知直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，点A是圆上的动点，若的面积的取值范围是，则（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，，，所以，点C到直线l的距离，设点A到直线l的距离为h，则，因为，所以，所以直线l与圆C相离，所以，即，所以，解得．故选：B．12.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，构造函数1），则，当时，在上单调递增，所以，所以.故选:D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则__________.〖答案〗-1〖解析〗令，得，所以.故〖答案〗为：-1.14.在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于第__________象限.〖答案〗四〖解析〗因为，所以复数对应的点的坐标为，所以复数z对应的点位于第四象限.故〖答案〗为：四.15.某班从5名男同学和4名女同学中选取4人参加学校的“辩论大赛”，要求男、女生都有，则不同的选法共有_____________种．〖答案〗120〖解析〗从9名同学中选取4人，有种不同的选法，其中全为男生，全为女生的情况分别有种，种，所以男、女生都有的不同的选法共有（种）．故〖答案〗为：120.16.粽，即粽粒，俗称棕子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶（或箬叶、簕古子叶等）包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等．棕子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品．某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成一个棱长为的正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，则这个肉丸的体积的最大值是______．〖答案〗〖解析〗当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，如图，设正四面体的高为，内切球的半径为，所以，所以，正四面体的表面积为，根据等体积法，得，即，解得，所以，即肉丸的体积的最大值为．故〖答案〗为：.三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.小刘从事陕北红枣批发多年，有很多客户，小刘把去年采购陕北红枣的数量x（单位：箱）在的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成下表：采购数客户数2020104010已知去年“大客户”们采购的陕北红枣数量占小刘去年总销售量的.（1）根据表中的数据完善频率分布直方图，并估计采购数在150箱以下（含150箱）的“大客户”数；（2）估算小刘去年总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.解：（1）作出频率分布直方图如图所示.根据上图，可知采购量在150箱以下（含150箱）的“大客户”人数估计是（人）.（2）去年“大客户”所采购的陕北红枣总数大约为（箱），所以小刘去年总的销售量为（箱）.18.已知数列是由正数组成的等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前n项和.解：（1）设等比数列的公比为，由，得，是由正数组成的等比数列，则，，则，解得或（舍），又，所以，解得，所以.（2），所以.19.已知.（1）求函数的最小正周期；（2）已知均为锐角，，求值.解：（1），所以，即函数的最小正周期为（2）因为，所以，又因为，所以.因为，所以，所以.20.如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：因为，点是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以⊥平面ABCD，又平面，所以平面平面；（2）解：取的中点，连结，因为四边形为矩形，且，所以四边形为正方形，，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面的法向量，则有，即，令，则，所以平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角正弦值为.21.已知函数.（1）若，求的极值；（2）求在区间上的最小值.解：（1）由题设且，则，当或时，当时，故在、上递增，在上递减，所以极大值，极小值.（2）由，当时，在、上，在上，所以在、上递增，在上递减，故上最小值为；当时，在上，即在上递增，故上最小值为；当时，在、上，在上，所以在、上递增，在上递减，若，上最小值为；若，上最小值为；若，上最小值为；综上，时，最小值为；时，最小值为；时，最小值为.22.已知椭圆的左､右焦点分别为为上一动点（点异于的左右顶点），面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）直线分别与交于异于点的两点，试判断是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.解：（1）由椭圆满足且面积的最大值为，可得，解得，所以，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知椭圆的方程为，可得，设，则直线的方程为，联立方程组，整理得，所以，解得，直线的方程为，联立方程组，同理可得，所以因为，所以，所以，为定值.陕西省榆林市府谷中学等四校2022-2023学年高二下学期第一次联考理科数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将〖答案〗答在答题卡上.选择题每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的〖答案〗无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：北师大版必修1~必修5，选修2-1，选修2-2，选修2-3第一章.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符1.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以.故选：C.2.在中，角的对边分别是，若，，，则（）A. B. C.或 D.〖答案〗A〖解析〗由正弦定理得，∵a＞b，∴，∴.故选A．3.已知是平面内不共线的两个向量，且，，若，则实数（）A. B. C.6 D.〖答案〗D〖解析〗由，得，所以，则，解得.故选：D.4.已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由，若，则可能平行或，充分性不成立；由，，由面面垂直的判定知，必要性成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的总数记为，则等于（）A.24 B.21 C.18 D.15〖答案〗C〖解析〗由题图可知，依此类推，每增加1，图案中的点数增加3，所以相应图案中的点数构成首项为，公差为3的等差数列，所以.故选：C.6.某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（）A.6种 B.12种 C.18种 D.24种〖答案〗B〖解析〗可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素，与剩下两首诗词全排列，有种排法，然后捆绑的《将进酒》与《望岳》也有排列，有种排法，根据乘法原理，得种排法，即不同的默写次序有12种.故选：B.7.若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（）．A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗因为，所以曲线在点处的切线的斜率为，直线l的斜率，由切线与直线l垂直知，即，解得．故选：C．8.已知，则的最大值为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗因为，由基本不等式可得，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：A.9.已知是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，可得函数在上单调递增，又由，可得，解得，所以不等式的解集为.故选：D.10.已知的二项式系数和为256，则的展开式中常数项为（）A.1120 B. C.70 D.〖答案〗A〖解析〗由的二项式系数和为256，得，所以，的二项式通项为，令，得，所以常数项为.故选：A.11.已知直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，点A是圆上的动点，若的面积的取值范围是，则（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，，，所以，点C到直线l的距离，设点A到直线l的距离为h，则，因为，所以，所以直线l与圆C相离，所以，即，所以，解得．故选：B．12.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，构造函数1），则，当时，在上单调递增，所以，所以.故选:D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则__________.〖答案〗-1〖解析〗令，得，所以.故〖答案〗为：-1.14.在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于第__________象限.〖答案〗四〖解析〗因为，所以复数对应的点的坐标为，所以复数z对应的点位于第四象限.故〖答案〗为：四.15.某班从5名男同学和4名女同学中选取4人参加学校的“辩论大赛”，要求男、女生都有，则不同的选法共有_____________种．〖答案〗120〖解析〗从9名同学中选取4人，有种不同的选法，其中全为男生，全为女生的情况分别有种，种，所以男、女生都有的不同的选法共有（种）．故〖答案〗为：120.16.粽，即粽粒，俗称棕子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶（或箬叶、簕古子叶等）包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等．棕子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品．某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成一个棱长为的正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，则这个肉丸的体积的最大值是______．〖答案〗〖解析〗当肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是该正四面体的内切球，如图，设正四面体的高为，内切球的半径为，所以，所以，正四面体的表面积为，根据等体积法，得，即，解得，所以，即肉丸的体积的最大值为．故〖答案〗为：.三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.小刘从事陕北红枣批发多年，有很多客户，小刘把去年采购陕北红枣的数量x（单位：箱）在的客户称为“大客户”，并把他们去年采购的数量制成下表：采购数客户数2020104010已知去年“大客户”们采购的陕北红枣数量占小刘去年总销售量的.（1）根据表中的数据完善频率分布直方图，并估计采购数在150箱以下（含150箱）的“大客户”数；（2）估算小刘去年总的销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.解：（1）作出频率分布直方图如图所示.根据上图，可知采购量在150箱以下（含150箱）的“大客户”人数估计是（人）.（2）去年“大客户”所采购的陕北红枣总数大约为（箱），所以小刘去年总的销售量为（箱）.18.已知数列是由正数组成的等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前n项和.解：（1）设等比数列的公比为，由，得，是由正数组成的等比数列，则，，则，解得或（舍），又，所以，解得，所以.（2），所以.19.已知.（1）求函数的最小正周期；（2）已知均