重庆綦江区2024届高一下数学期末经典试题含解析

重庆綦江区2024届高一下数学期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数（其中），对任意实数a，在区间上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，则k值为（）A．2或3 B．4或3 C．5或6 D．8或72．已知是所在平面内一点，且满足，则为A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形3．如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（）A．定 B．有 C．收 D．获4．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A．-3 B．-2C．2 D．35．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A． B． C．3 D．26．过正方形的顶点，作平面，若，则平面和平面所成的锐二面角的大小是A． B．C． D．7．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“全是女生”B．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”8．计算的值为（）A． B． C． D．9．设为等比数列的前n项和，若，则（）A．-11 B．-8 C．5 D．1110．若直线与直线互相平行，则的值等于（）A．0或或3 B．0或3 C．0或 D．或3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若关于的方程（）在区间有实根，则最小值是____．12．在中，，是边上一点，且满足，若，则_________.13．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得的仰角，点的仰角以及；从点测得；已知山高，则山高__________．14．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则____（填“＞”、“＜”或“＝”）．15．在等比数列中,若,则__________.16．若直线平分圆，则的值为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某中学从高三男生中随机抽取n名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如表所示：组号分组频数频率第1组50.05第2组a0.35第3组30b第4组200.20第5组100.10合计n1.00（1）求出频率分布表中的值，并完成下列频率分布直方图；（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第1，4，5组中用分层抽样取7名学生进行不同项目的体能测试，若在这7名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.18．求过点且与圆相切的直线方程.19．已知正项数列，满足：对任意正整数，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列，的通项公式；（Ⅲ）设=++…+，如果对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．20．在中，分别是所对的边，若的面积是，，．求的长．21．某企业2015年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2015年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2016年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2016年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.(1)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元,求和;(2)设从2016年起的第n年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元,进行技术改造后的累计纯利润为万元,求和;(3)依上述预测,从2016年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于的不等式，从而得到的范围，结合，得到答案.【详解】函数，所以可得，因为在区间上，函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，所以得即与的图像在区间上的交点个数大于等于4，小于等于8，而与的图像在一个周期内有2个，所以，即解得，又因，所以得或者，故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.2、B【解析】

由向量的减法法则，将题中等式化简得，进而得到，由此可得以为邻边的平行四边形为矩形，得的形状是直角三角形。【详解】因为，，因为，所以，因为，所以，由此可得以为邻边的平行四边形为矩形，所以，得的形状是直角三角形。【点睛】本题给出向量等式，判断三角形的形状，着重考查平面向量的加法、减法法则和三角形的形状判断等知识。3、B【解析】

利用正方体及其表面展开图的特点以及题意解题，把“努”在正方体的后面，然后把平面展开图折成正方体，然后看“努”相对面．【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．故选：．【点睛】本题考查了正方形相对两个面上的文字问题，同时考查空间想象能力．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题，属于基础题．4、C【解析】

根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由，，得，则，．故选C．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．5、A【解析】

由圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求解．【详解】圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从到的最短路径为线段，.故选：A．【点睛】本题考查圆柱侧面展开图中的最短距离问题，是基础题．6、B【解析】法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为＝，故所求的二面角的大小是45°.法二：将其补成正方体．如图(2)，不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小为45°.7、D【解析】

从3名男生和2名女生中任选2名学生的所有结果有“2名男生”、“2名女生”、“1名男生和1名女生”．选项A中的两个事件为对立事件，故不正确；选项B中的两个事件不是互斥事件，故不正确；选项C中的两个事件不是互斥事件，故不正确；选项D中的两个事件为互斥但不对立事件，故正确．选D．8、D【解析】

直接由二倍角的余弦公式，即可得解.【详解】由二倍角公式得：，故选D.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.9、A【解析】设数列{an}的公比为q.由8a2+a5=0,得a1q(8+q3)=0.又∵a1q≠0,∴q=-2.∴===-11.故选A.10、D【解析】

根据直线的平行关系，列方程解参数即可.【详解】由题：直线与直线互相平行，所以，，解得：或.经检验，当或时，两条直线均平行.故选：D【点睛】此题考查根据直线平行关系求解参数的取值，需要熟记公式，注意考虑直线重合的情况.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

将看作是关于的直线方程，则表示点到点的距离的平方，根据距离公式可求出点到直线的距离最小，再结合对勾函数的单调性，可求出最小值。【详解】将看作是关于的直线方程，表示点与点之间距离的平方，点到直线的距离为，又因为，令，在上单调递增，所以，所以的最小值为．【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式以及对勾函数单调性的应用，意在考查学生转化思想的的应用。12、【解析】

记,则,则可求出,设,,得,,故结合余弦定理可得,解得的值,即可求,进而求的值.【详解】根据题意,不妨设,,则,因,所以,设,由,得,又,所以,故由余弦定理可得,即,整理得:,即,所以,所以,所以,故答案为:.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的综合应用以及同角三角函数的基本关系式,属于中档题.13、【解析】在△ABC中，，，在△AMC中，，由正弦定理可得，解得，在Rt△AMN中.14、<【解析】

直接利用作差比较法解答.【详解】由题得，因为a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,所以所以.故答案为＜【点睛】本题主要考查作差比较法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15、80【解析】

由即可求出【详解】因为是等比数列，所以，所以即故答案为：80【点睛】本题考查的是等比数列的性质，较简单16、1【解析】

把圆的一般式方程化为标准方程得到圆心，根据直线过圆心，把圆心的坐标代入到直线的方程，得到关于的方程，解方程即可【详解】圆的标准方程为，则圆心为直线过圆心解得故答案为【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的关键是求出圆心的坐标，属于基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）直方图见解析；（2）.【解析】

（1）由题意知，0.050，从而n＝100，由此求出第2组的频数和第3组的频率，并完成频率分布直方图．（2）利用分层抽样，35名学生中抽取7名学生，设第1组的1位学生为，第4组的4位同学为,第5组的2位同学为，利用列举法能求出第4组中至少有一名学生被抽中的概率．【详解】（1）由频率分布表可得，所以，；（2）因为第1，4，5组共有35名学生，利用分层抽样，在35名学生中抽取7名学生，每组分别为：第1组；第4组；第5组.设第1组的1位学生为，第4组的4位同学为,第5组的2位同学为.则从7位学生中抽两位学生的基本事件分别为：一共21种.记“第4组中至少有一名学生被抽中”为事件，即包含的基本事件分别为：一共3种，于是所以，.【点睛】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18、直线方程为或【解析】

当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由圆心到直线的距离等于半径，可解出的值，从而求出方程。【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，经检验，满足题意.当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，圆心到直线的距离等于半径，即，可解得.即直线为.综上，所求直线方程为或.【点睛】本题考查了圆的切线的求法，考查了直线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于基础题。19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ），；（Ⅲ）a≤1【解析】

（Ⅰ）由已知得，即，由2b1=a1+a2=25，得b1=，由a22=b1b2，得b2=18，∴{}是以为首项，为公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，因为，，成等比数列所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，原式化为，即f（n）=恒成立，当a–1＞0即a＞1时，不合题意；当a–1=0即a=1时，满足题意；当a–1＜0即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）单调递减，∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；综上，a≤1.20、8【解析】

利用同角三角函数的基本关系式求得，利用三角形的面积公式列方程求得，结合求得，根据余弦定理求得的长.【详解】由（）得．因为的面积是，则，所以由解得．由余弦定理得，即的长是．【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形.21、(1),(2),(3)至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.【解