北京西城长安中学2024年高一数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

北京西城长安中学2024年高一数学第二学期期末达标检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,则 B．若，,则C．若,,则 D．若,,则2．在中，内角所对的边分别为，且，，，则()A． B． C． D．3．从A，B，C三个同学中选2名代表，则A被选中的概率为（）A． B． C． D．4．已知a，b为不同的直线，为平面，则下列命题中错误的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则5．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，记此数列为，则()A．1 B．2 C．4 D．86．设为等差数列的前n项和，若，则使成立的最小正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．97．对具有线性相关关系的变量，有观测数据，已知它们之间的线性回归方程是，若，则（）A． B． C． D．8．已知，，则（）A． B． C． D．9．函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是()A． B． C． D．10．在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A=45°，B=30°，b=2，则a=（）A．2 B．63 C．22二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，则的值为_____________12．函数的图像可由函数的图像至少向右平移________个单位长度得到．13．已知函数在时取得最小值，则________．14．函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于__________.15．己知函数，，则的值为______.16．某几何体是由一个正方体去掉一个三棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积是___三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费和汽油费为万元,年维修费第一年为万元,以后逐年递增万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?18．设数列的首项，为常数，且（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；（2）是数列的前项的和，若是递增数列，求的取值范围.19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，与交于点，，分别为，的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）求证：平面.20．数列中，，（为常数，1，2，3，…），且.（1）求c的值；（2）求证：①；②；（3）比较++…+与的大小，并加以证明.21．在相同条件下对自行车运动员甲､乙两人进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位:）的数据如下:甲273830373531乙332938342836试判断选谁参加某项重大比赛更合适.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．【详解】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，则或，故B错误；在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若，，则与平行或，故D错误．故选C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．2、C【解析】

直接利用余弦定理得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了余弦定理，意在考查学生计算能力.3、D【解析】

先求出基本事件总数，被选中包含的基本事件个数，由此能求出被选中的概率．【详解】从，，三个同学中选2名代表，基本事件总数为：，共个，被选中包含的基本事件为：，共2个，被选中的概率．故选：D．【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法和运算求解能力，是基础题．4、D【解析】

根据线面垂直与平行的性质与判定分析或举出反例即可.【详解】对A,根据线线平行与线面垂直的性质可知A正确.对B,根据线线平行与线面垂直的性质可知B正确.对C,根据线面垂直的性质知C正确.对D,当,时,也有可能.故D错误.故选：D【点睛】本题主要考查了空间中平行垂直的判定与性质,属于中档题.5、C【解析】

将数列分组：第1组为，第2组为，第3组为，，根据，进而得到数列的2017项为，数列的第2018项为，数列的第2019项为，即可求解.【详解】将所给的数列分组：第1组为，第2组为，第3组为，，则数列的前n组共有项，又由，所以数列的前63组共有2016项，所以数列的2017项为，数列的第2018项为，数列的第2019项为，所以故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中根据所给数列合理分组，结合等差数列的前n项和求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.6、C【解析】

利用等差数列下标和的性质可确定，，，由此可确定最小正整数.【详解】且，使得成立的最小正整数故选：【点睛】本题考查等差数列性质的应用问题，关键是能够熟练应用等差数列下标和性质化简前项和公式.7、A【解析】

先求出，再由线性回归直线通过样本中心点即可求出.【详解】由题意，，因为线性回归直线通过样本中心点，将代入可得，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查线性回归直线通过样本中心点这一知识点的应用，属常规考题.8、C【解析】

由放缩法可得出，再利用特殊值法以及不等式的基本性质可判断各选项中不等式的正误.【详解】，，可得.取，，，则A、D选项中的不等式不成立；取，，，则B选项中的不等式不成立；且，由不等式的基本性质得，C选项中的不等式成立.故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质或特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.9、B【解析】

先求出变换后的函数的解析式，求出所得函数的对称中心坐标，可得出正确选项.【详解】函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的解析式为，令，得，因此，所得函数的图象的一个对称中心是，故选B.【点睛】本题考查图象的变换以及三角函数的对称中心，解题的关键就是求出变换后的三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10、C【解析】

利用正弦定理得到答案.【详解】asin故答案选C【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

利用和差化积公式将两式化简，然后两式相除得到的值，再利用二倍角公式即可求出．【详解】由得，，，两式相除得，，则．【点睛】本题主要考查和差化积公式以及二倍角公式的应用．12、【解析】试题分析：因为，所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到．【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．13、【解析】试题分析：因为，所以，当且仅当即，由题意，解得考点：基本不等式14、1【解析】

由题意可得定点，，把要求的式子化为，利用基本不等式求得结果．【详解】解：且令解得，则即函数过定点，又点在直线上，，则，当且仅当时，等号成立，故答案为：1．【点睛】本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为，是解题的关键，属于基础题．15、1【解析】

将代入函数计算得到答案.【详解】函数故答案为：1【点睛】本题考查了三角函数的计算，属于简单题.16、6【解析】

先作出几何体图形，再根据几何体的体积等于正方体的体积减去三棱柱的体积计算.【详解】几何体如图所示：去掉的三棱柱的高为2，底面面积是正方体底面积的，所以三棱柱的体积：所以几何体的体积：【点睛】本题考查三视图与几何体的体积.关键是作出几何体的图形，方法：先作出正方体的图形，再根据三视图“切”去多余部分.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、这种汽车使用年时,它的年平均费用最小【解析】

设这种汽车使用年时,它的年平均费用为万元，则，于是，当，即时，取得最小值，所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小18、（1）是公比为的等比数列，理由见解析；（2）【解析】

（1）由，当时，，即可得出结论．（2）由（1）可得：，可得，，可得，，即可得出．【详解】（1），则时，，时，为等比数列，公比为．（2）由（1）可得：，只需，（）当为奇数时，恒成立，又单减，∴当为偶数时，恒成立，又单增，∴．【点睛】本题考查等比数列的定义通项公式与求和公式及其单调性，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】

（I）通过证明平面来证得平面平面.（II）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得，由此证得∥平面.（III）通过证明平面证得，通过计算证明证得，由此证得平面.【详解】证明：（Ⅰ）因为平面，所以.因为，，所以平面.因为平面，所以平面平面.（Ⅱ）取中点，连结，因为为的中点所以，且.因为为的中点，底面为正方形，所以，且.所以，且.所以四边形为平行四边形.所以.因为平面且平面，所以平面.（Ⅲ）在正方形中，，因为平面，所以.因为，所以平面.所以.在△中，设交于.因为，且分别为的中点，所以.所以.设，由已知，所以.所以.所以.所以，且为公共角，所以△∽△.所以.所以.因为，所以平面.【点睛】本小题主要考查线面垂直、面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20、(1)；(2)①见证明；②见证明；(3)++…+，证明见解析【解析】

（1）将代入，结合可求出的值；（2）可知，，即可证明结论；（3）由题意可得，从而可得到，求和可得，然后作差，通过讨论可比较二者大小.【详解】（1）由题意：，.而，得，即，解得或，因为，所以满足题意.（2）因为，所以.则.，因为，，所以，所以.（3）由，可得，从而，所以.因为，所以，所以.，，，