北京市延庆区市级名校2023-2024学年高一数学第二学期期末考试试题含解析

北京市延庆区市级名校2023-2024学年高一数学第二学期期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设实数满足约束条件，则的最大值为（）A． B．4 C．5 D．2．等差数列an的公差d<0，且a12=a212，则数列aA．9 B．10 C．10和11 D．11和123．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号为（）A．522 B．324 C．535 D．5784．已知某路段最高限速60km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如图所示（单位：km/h），若从中任抽取2辆汽车，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）A． B． C． D．5．已知为不同的平面,为不同的直线则下列选项正确的是（）A．若,则 B．若,则C．若,则 D．若,则6．设集合，集合为函数的定义域，则（）A． B． C． D．7．若，，，，则等于（）A． B． C． D．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3 B．11 C．38 D．1239．在中，已知三个内角为，，满足，则（）．A． B．C． D．10．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若a1+a3＝6，S4＝16，则a4＝（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则面积的最大值为______.12．若把写成的形式，则______.13．在数列中，，则______________.14．已知，则的值为________．15．过点作圆的切线，则切线的方程为_____．16．已知函数，的最小正周期是___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.18．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，AC的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．19．己知向量，，设函数，且的图象过点和点.（1）当时，求函数的最大值和最小值及相应的的值；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在有两个不同的解，求实数的取值范围.20．中，D是边BC上的点，满足，，.（1）求；（2）若，求BD的长.21．已知直线的方程为．（1）求直线所过定点的坐标；（2）当时，求点关于直线的对称点的坐标；（3）为使直线不过第四象限，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平移直线，增大，当直线过点时，得最大值为，故选：A.【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域和目标函数对应的直线．2、C【解析】

利用等差数列性质得到a11=0，再判断S10【详解】等差数列an的公差d<0，且a根据正负关系：S10或S故答案选C【点睛】本题考查了等差数列的性质，Sn的最大值，将Sn的最大值转化为3、D【解析】

根据随机抽样的定义进行判断即可．【详解】第行第列开始的数为（不合适），，（不合适），，，，（不合适），（不合适），，（重复不合适），则满足条件的6个编号为，，，，，则第6个编号为本题正确选项：【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．4、A【解析】

求出基本事件的总数，以及满足题意的基本事件数目，即可求解概率.【详解】解：由题意任抽取2辆汽车，其速度分别为：，共15个基本事件，其中恰好有1辆汽车超速的有，，共8个基本事件，则恰好有1辆汽车超速的概率为：，故选：A.【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，属于基本知识的考查.5、C【解析】

通过对ABCD逐一判断，利用点线面的位置关系即可得到答案.【详解】对于A选项，有可能异面，故错误；对于B选项，可能相交或异面，故错误；对于C选项，，显然故正确；对于D选项，也有可能，故错误.所以答案选C.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力，难度不大.6、B【解析】

解不等式化简集合的表示，求出函数的定义域，表示成集合的形式，运用集合的并集运算法则，结合数轴求出.【详解】因为，所以.又因为函数的定义域为，所以.因此，故本题选B.【点睛】本题考查了集合的并集运算，正确求出对数型函数的定义域，运用数轴是解题的关键.7、C【解析】

利用同角三角函数的基本关系求出与，然后利用两角差的余弦公式求出值．【详解】，，则，，则，所以，，因此，，故选C．【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点：①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负；②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．8、B【解析】试题分析：通过框图的要求；将第一次循环的结果写出，通过判断框；再将第二次循环的结果写出，通过判断框；输出结果．解；经过第一次循环得到a=12+2=3经过第一次循环得到a=32+2=11不满足判断框的条件，执行输出11故选B点评：本题考查程序框图中的循环结构常采用将前几次循环的结果写出找规律．9、C【解析】

利用正弦定理、余弦定理即可得出.【详解】由正弦定理，以及，得，不妨取，则，又，.故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中应用，考查了转化思想，属于基础题．10、B【解析】

利用等差数列的性质对已知条件进行化简，由此求得的值.【详解】依题意，解得.故选：B【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据正弦定理将转化为，即，由余弦定理得，再用基本不等式法求得，根据面积公式求解.【详解】根据正弦定理可转化为，化简得由余弦定理得因为所以，当且仅当时取所以则面积的最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12、【解析】

将角度化成弧度，再用象限角的表示方法求解即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查弧度与角度的互化，象限角的表示，属于基础题．13、20【解析】

首先根据已知得到：是等差数列，公差，再计算即可.【详解】因为，所以数列是等差数列，公差..故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的判断和等差数列项的求法，属于简单题.14、【解析】

由题意利用诱导公式求得的值，可得要求式子的值．【详解】，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．15、或【解析】

求出圆的圆心与半径分别为：，，分别设出直线斜率存在与不存在情况下的直线方程，利用点到直线的距离等于半径即可得到答案．【详解】由圆的一般方程得到圆的圆心和半径分别为;，;（1）当过点的切线斜率不存在时，切线方程为：，此时圆心到直线的距离，故不与圆相切，不满足题意；（2）当过点的切线的斜率存在时，设切线方程为：，即为；由于直线与圆相切，所以圆心到切线的距离等于半径，即，解得：或，所以切线的方程为或；综述所述：切线的方程或【点睛】本题考查过圆外一点求圆的切线方程，解题关键是设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径得到关系式，属于中档题．16、【解析】

先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解.【详解】由题得，所以函数的最小正周期为.故答案为【点睛】本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】

如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，又因为分别为和的中点，得.（Ⅰ）证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，由此可得，，又因为直线平面，所以平面（Ⅱ），设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得因此有，于是，所以二面角的正弦值为.（Ⅲ）依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得，整理得，又因为，解得，所以线段的长为.考点：直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.18、(1)证明见解析；(2)【解析】

（1）可利用线线平行来证明线面平行（2）可采用等体积法进行求解【详解】证明：（1）如图，连结BD；因为四边形ABCD为正方形，所以BD交AC于F且F为BD中点；又因为E为中点，所以；因为平面，平面，所以平面；（2）三棱锥的体积.【点睛】本题考查了线面平行的证明及锥体体积的求解方法，证线面平行一般是通过证线线平行来证明，三棱锥的体积常用等体积法转换底面和高进行求解.19、（1）最大值为2，此时；最小值为－1，此时.（2）【解析】

（1）根据向量数量积坐标公式，列出函数，再根据函数图像过定点，求解函数解析式，当时，解出的范围，根据三角函数性质，可求最值；（2）根据三角函数平移伸缩变换，写出解析式，画出在上的图象，根据图像即可求解参数取值范围.【详解】解：（1）由题意知.根据的图象过点和，得到，解得，.当时，，，最大值为2，此时，最小值为－1，此时.（2）将函数的图象向右平移一个单位得，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得令，，如图当时，在有两个不同的解∴，即.【点睛】本题考查（1）三角函数最值问题（2）三角函数的平移伸缩变换，考查计算能力，考查转化与化归思想，考查数形结合思想，属于中等题型.20、（1）（2）【解析】

（1）由中，D是边BC上的点，根据面积关系求得，再结合正弦定理，即可求解.（2）由，化简得到，再结合，解得，进而利用勾股定理求得的长.【详解】（1）由题意，在中，D是边BC上的点，可得，所以又由正弦定理，可得.（2）由，可得，所以，即，由（1）知，解得，又由，所以.【点睛】本题主要考查了三角形的正弦定理和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记解三角形的正弦定理，以及熟练应用三角的面积关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属