小题压轴题专练18-立体几何（线面角1）-2022届高三数学一轮复习

小题压轴专练18—立体几何（线面角1）一．单选题1．正四面体中，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角的余弦值不可能是A． B． C． D．12．如图，在矩形中，，，、分别为边，的中点，沿将折起，点折至处与不重合），若、分别为线段，的中点，则在折起过程中，A．可以与垂直 B．不能同时做到平面且平面 C．当时，平面 D．直线、与平面所成角分别为，，，能够同时取得最大值3．正四面体，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角不可能是A．0 B． C． D．4．如图，在菱形中，，，分别是边，的中点，现将沿着对角线翻折，则直线与平面所成角的正切值最大值为A． B． C． D．5．在正方体中，，分别为棱，的中点，为侧面内一个动点．若平面，则与平面所成角的正切值的最大值为A． B．1 C．2． D．6．已知棱长为2的正四面体，点为上一定点，，点为棱上的动点，设与平面所成的角为，则的最小值是A． B． C． D．7．如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过，，三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连结和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为A． B． C． D．8．在正方体中，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是A． B． C． D．二．多选题9．在正方体中，点为线段上一动点，则A．对任意的点，都有 B．三棱锥的体积为定值 C．当为中点时，异面直线与所成的角最小 D．当为中点时，直线与平面所成的角最大10．已知正方体棱长为2，如图，为上的动点，平面．下面说法正确的是A．直线与平面所成角的正弦值范围为 B．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 D．已知为中点，当的和最小时，为的中点11．已知图1中，，，，是正方形各边的中点，分别沿着，，，把，，，向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面垂直，再顺次连接，得到一个如图2所示的多面体，则A．是正三角形 B．平面平面 C．直线与平面所成角的正切值为 D．当时，多面体的体积为12．如图，正三棱柱的侧面是边长为2的正方形、分别是、的中点，则下列结论成立的是A．直线与直线是异面直线 B．直线与平面不平行 C．直线与直线所成角的余弦值等于 D．直线与平面所成角的正弦值等于三．填空题13．如图，在多面体中，已知棱，，两两平行，底面，，四边形为矩形，，底面内（包括边界）的动点满足，与底面所成的角相等．记直线与底面的所成角为，则的取值范围是．14．如图，，平面外有一点，，点到角的两边，的距离都等于，则与平面所成角的正切值为．15．如图，三棱锥中，，，，，，．点在棱上且，则直线与平面所成的角是．16．如图，正方体的顶点在平面上，若和与平面都成角，则与平面所成角的余弦值为．

小题压轴专练18—立体几何（线面角1）1．解：平面绕着旋转，其垂线也绕着旋转，如右图，取中点，连结，则，等价于平面绕着旋转，设正四面体中棱长为2，在中，，，，如右图，将问题抽象为几何模型，平面的垂线可视为圆锥的底面半径，绕着圆锥的轴旋转，则，，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角的余弦值不可能是．故选：．2．解：对于，连接，假设，又，平面，而，错误；对于，取，中点，，连接，，，．，，，．平面平面，平面平面，故能同时做到平面且平面．错误；对于，连接，，当时，，而，与不垂直，即不垂直平面，错误；对于，在以为直径球面上，球心为，轨迹为△外接圆与不重合），连接，取中点连接，，，，，直线、与平面所成角取得最大值时，点到平面的距离最大．正确．故选：．3．解：由正四面体，可得所有棱长都相等．①点是线段的中点，．在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角不可能是．反证法：若直线与平面所成角是，则平面．则在某一过程必有．事实上，在该四面体绕旋转的过程中，与是不可能垂直的，因此假设错位，于是直线与平面所成角不可能是．②在该四面体绕旋转的过程中，当时，可得直线与平面所成角为0．③如图所示的正四面体．作平面，垂足为．则，，三点在同一条直线上．设直线与平面所成的角为，可得．．于是可得在该四面体绕旋转的过程中，可得直线与平面所成角为，．综上可得：直线与平面所成角不可能是．故选：．4．解：设菱形的边长为4，当绕旋转时，中点形成的轨迹为：以的四等分点为圆心，以为半径的圆，过引底面的垂线，垂足为，由题意得点在上，为的中点，设，，则，，，结合图得是直线与平面所成角，，设，则，由，得或（舍，当时，，当，时，，当时，．直线与平面所成角的正切值最大值为．故选：．5．解：如图，取中点，连结，，，，平面平面，由平面平行性质得必在线段上，平面，是直线与平面所成角，只要最小，则此角的正切值最大，只要，设正方体中棱长为2，则，，由面积法得，，与平面所成角的正切值的最大值为：．故选：．6．解：棱长为2的正四面体，点为上一定点，，设，，则，设到平面的距离为，则，解得，，当时，的最大值为，此时的最小值为：．故选：．7．解：连结．因为平面．所以过的平面与平面的交线一定是过点且与平行的直线．过点作交于点，交于点，则，连结，．则平行四边形即为截面．则五棱柱为，三棱柱为，设点为的任一点，过点作底面的垂线，垂足为，连结，则即为与平面所成的角，所以．因为，要使的正弦值最大，必须最大，最小，当点与点重合时符合题意．故．故选：．8．解：如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，不妨设，则，0，，，2，，，2，，，2，，，2，，设，，，，，在正方体中，因为平面，所以，又，所以平面，即是平面的法向量，，则，因为，所以．故选：．9．解：连接，，，在正方体中，底面正方形中，，又平面，平面，则，又，所以平面，又平面，则，同理可证且，则平面，又点在上，则平面，故，故选项正确；设点到平面的距离为，由等体积法，因为平面，所以，则为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项正确；在上取点，使得，因为，且，所以，且，则四边形为平行四边形，又平面，又平面，则，故四边形为矩形，过作交，分别于点，，又平面，平面，则，又为与所成的角，又因为，，则为与所成的角，设为，设正方体的棱长为1，，则，则，当时，，因为，所以，故当，即时，取最小值，则取最小值，这时与重合，当时，与重合，此时，综上所述，当与重合时，异面直线与所成的角最小，故选项错误；当为的中点时，为的中点，为的中点，又因为与平面所成的角为，设，则，又，故当时，取得最小值，则取得最大值，故最大，所以当为中点时，直线与平面所成的角最大，故选项正确．故选：．10．解：对于选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点，0，、，2，，设点，2，，平面，则为平面的一个法向量，且，，，所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，选项正确；对于选项，当与重合时，连接、、、，在正方体中，平面，平面，，四边形是正方形，则，，平面，平面，，同理可证，，平面，易知△是边长为的等边三角形，其面积为，周长为．设、、、、、分别为棱、、、、、的中点，易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，正六边形的周长为，面积为，则△的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，选项错误；对于选项，设平面交棱于点，0，，点，2，，，平面，平面，，即，得，，0，，所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，1，，，而，，且，由空间中两点间的距离公式可得，，，所以，四边形为等腰梯形，选项正确；对于选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：若最短，则、、三点共线，，，，所以，点不是棱的中点，选项错误．故选：．11．解：取，的中点，，连结，，在图1中，因为，，，是正方形各边的中点，则，因为为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以平面，在图1中，设正方形的边长为，可得四边形的边长为，在图1中，和均为等腰直角三角形，可得，所以，故四边形是边长为的正方形，因为，分别为，的中点，则且，，所以四边形为矩形，所以，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，，，，，，0，，，，，，0，，对于选项，由空间中两点间的距离公式可得，所以是正三角形，故选项正确；对于选项，，设平面的法向量为，则由，取，则，，设平面的法向量为，则有，取，则，所以，所以平面与平面不垂直，故选项错误；对于选项，，设直线与平面所成的角为，则，所以，故，故选项正确；对于选项，以为底面，以为高将几何体补成长方体，则，，，分别为，，，的中点，因为，即，则，长方体的体积为，，因此多面体的体积为，故选项错误．故选：．12．解：在中，平面，平面，，由异面直线判定定理得直线与直线是异面直线，故正确；在中，由题意知正三棱柱的所有棱长都为2，是边长为2的正三角形，且，，且，平面平面，平面平面，平面，取中点，连结，则在正方形中，，以为坐标原点，直线、、分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，则，0，，，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，1，，则，0，，，2，，，，，，1，，，根据向量共面定理，可知与、共面，，平面，平面，故错误；在中，，0，，，，，直线与直线所成角的余弦值为：，故正确；在中，，1，，平面的法向量，0，，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：，故错误．故选：．13．解：由题意，动点满足，与底面所成的角相等．底面，连接，，可得，又，可得，以原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向建立平面直角坐标系，则．，，则，整理得，令，解得或3，令，解得，即此圆底面内（包括边界）交于一段弧，弧的端点分别为距近的线段的三等分点及上距点距离为处，设此两点分别是，，如图：根据图形可知，当点与点重合时，直线与底面的所成角最小，当点与点重合时，直线与底面的所成角最大，在直角三角形中，可得，，故，即，整理得，即的取值范围是，故答案为：．14．解：由题意，过点做面于点，连接，，，则即与平面所成角，点到角的两边，的距离，都等于由面可得，又到角的边的距离，可得，面，所以，同理可证得，又由题设条件可得，从而可得，故是角平分线，在中，，，由公股定理得，在中，，所以又，解得，在中，由公股定理解得，，故答案为．15．解：由，，，可得，，，，，即，把底面补形为矩形，连接，由，，，得平面，平面，则，，，，，在