二面角的平面角的常见解法同步练习 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

二面角的平面角的常见解法【基础过关练】1.如图，三棱台ABC－A1B1C1的下底面是正三角形，AB⊥BB1，B1C1⊥BB1，则二面角A－BB1－C的大小是()A．30° B．45°C．60° D．90°2．如图所示，将等腰Rt△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°.则这个二面角的大小是()A．30° B．60°C．90° D．120°3．已知二面角α－l－β的大小为130°，两条异面直线a，b满足a⊂α，b⊂β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成角的大小为()A．40°B．50°C．130°D．140°4.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则平面C1D1EF与底面ABCD所成的二面角的余弦值为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(3\r(5),5)5．(多选)如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是()A．异面直线AC与BC1所成的角为60°B．直线AB1与平面ABC1D1所成的角为45°C．二面角A－B1C－B的正切值为eq\r(2)D．四面体D1－AB1C的外接球的体积为eq\f(\r(3)π,2)6.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都相等，则二面角A1－BC－A的平面角的正切值为()A.eq\f(\r(6),2) B.eq\r(3)C．1 D.eq\f(2\r(3),3)7.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：(1)二面角D′－AB－D的大小为________．(2)二面角A′－AB－D的大小为________．8.如图所示，α∩β＝CD，P为二面角内部一点．PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若△PAB为等边三角形，则二面角α－CD－β的大小为________．9．在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为eq\r(2)，其余各棱长都为1，求二面角A－CD－B的余弦值．10．在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，∠ABC＝30°，求二面角P－BC－A的余弦值．【能力提升练】11.如图，将正方形A1BCD折成直二面角A－BD－C，则二面角A－CD－B的余弦值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(2),2)12．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°13．二面角α－MN－β的平面角为θ1，AB⊂α，B∈MN，∠ABM＝θ2(θ2为锐角)，AB与β的夹角为θ3，则下列关系式成立的是()A．cosθ3＝cosθ1·cosθ2B．cosθ3＝sinθ1·cosθ2C．sinθ3＝sinθ1·sinθ2D．sinθ3＝cosθ1·sinθ214．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使得点B和点D的距离为1，则二面角B－AC－D的大小为________．15.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”．如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面，若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为eq\f(1,2)，底面矩形的长与宽之比为2∶1，则正脊与斜脊长度的比值为()A.eq\f(4,3)B．2C.eq\f(4\r(5),5)D.eq\r(2)16.如图，在水平放置的直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝DC＝eq\f(1,2)AB＝1，以AB所在直线为轴，将梯形ABCD向上旋转角θ得到梯形ABEF，其中θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)证明：平面ADF⊥平面CDFE；(2)若平面ADF与平面BCE所成的二面角的余弦值等于eq\f(\r(3),3)，求θ的值．参考答案1．B2.D3.A4.A5．D[如图，不妨设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O1，O，则OO1∥BB1，O1O和平面ACD1所成的角就是BB1和平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，则cos∠O1OD1＝eq\f(O1O,OD1)＝eq\f(1,\f(\r(6),2))＝eq\f(\r(6),3).]6．A[如图，延长D1E与直线DC的延长线相交于F，连接AF，则平面AD1E与平面ABCD的交线为AF，而C1D1∥CD，∴∠AFD为平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成的角，∵E是棱CC1的中点，且DD1∥CC1，∴CD＝CF，∴tan∠AFD＝eq\f(AD,DF)＝eq\f(1,2).]7．60°8.45°45°9．解如图所示，连接CM，设Q为CM的中点，连接QN，则QN∥SM.∴∠QNB或其补角是异面直线SM与BN所成的角．连接BQ，设SC＝a，在△BQN中，BN＝eq\f(\r(5),2)a，NQ＝eq\f(1,2)SM＝eq\f(\r(2),4)a，BQ＝eq\f(\r(14),4)a，∴cos∠QNB＝eq\f(BN2＋NQ2－BQ2,2BN·NQ)＝eq\f(\f(5,4)a2＋\f(1,8)a2－\f(7,8)a2,2×\f(\r(5),2)a×\f(\r(2),4)a)＝eq\f(\r(10),5).即异面直线SM与BN所成角的余弦值为eq\f(\r(10),5).10．解如图，取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而直线BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE和平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2a，则EM＝AD＝2a，BE＝eq\r(2a2＋2a2＋a2)＝3a.于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq\f(EM,BE)＝eq\f(2,3)，即直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值为eq\f(2,3).11．BC[取BC的中点E，连接EN，EM，如图所示．因为M为AB的中点，所以ME∥AC，且ME＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(a,2)，同理得EN∥BD，且EN＝eq\f(a,2)，所以∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角，在△MEN中，EM＝EN，若∠MEN＝60°，则△MEN为等边三角形，所以MN＝eq\f(a,2).若∠MEN＝120°，可得MN＝eq\f(\r(3)a,2).]12．D[如图，取BC的中点H，连接EH，AH，则∠EHA＝90°.设AB＝2，则BH＝HE＝1，AH＝eq\r(5)，所以AE＝eq\r(6).连接ED，则ED＝eq\r(6).因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角)．在△EAD中，cos∠EAD＝eq\f(AE2＋AD2－DE2,2AE·AD)＝eq\f(6＋4－6,2×2×\r(6))＝eq\f(\r(6),6).]13．D[如图所示，取BC的中点F，连接EF，OF，BC1.因为E为CC1的中点，所以EF∥BC1∥AD1，故∠OEF或其补角即为异面直线OE与AD1所成的角，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则在△OEF中，EF＝eq\r(2)，OE＝eq\r(3)，OF＝1，故∠OFE＝90°，故cos∠OEF＝eq\f(EF,OE)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).]14．60°解析如图，在正四棱锥P－ABCD中，连接BD，交AC于点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，在正四棱锥中，BO⊥平面PAC.连接OE，DE，则∠BEO是直线BE和平面PAC所成的角．∵正四棱锥P－ABCD的体积为2，底面积为6，∴V＝eq\f(1,3)×6×PO＝2，则PO＝1，BC＝eq\r(6)，则OC＝OB＝eq\r(3)，∵E为侧棱PC的中点，∴取OC的中点H，连接EH，则EH⊥OC，EH＝eq\f(1,2)PO＝eq\f(1,2)，OH＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),2)，则OE＝eq\r(EH2＋OH2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝1.在Rt△BOE中，tan∠BEO＝eq\f(OB,OE)＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，则∠BEO＝60°.15．AB[如图，当几何体S－ABCD为阳马时，SD⊥平面ABCD，对于A，SD⊥平面ABCD，所以AC⊥SD，又AC⊥BD，SD∩BD＝D，故AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故A正确；对于B，因为AB∥CD，且AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，故B正确；对于C，由A知，AC⊥平面SBD，连接SO，则∠ASO是SA与平面SBD所成的角，因为SA＝eq\r(2)，OA＝eq\f(\r(2),2)，所以∠ASO＝30°，故C不正确；对于D，因为AB∥CD，所以∠SCD是AB与SC所成的角，因为SD＝CD＝1，所以∠SCD＝45°，故D不正确．]16．解(1)如图，延长PE交AC于点F，连接BF，∵AP，AB，AC两两互相垂直，∴PA⊥平面ABC.∵DE⊥平面ABC，∴DE∥PA，∴eq\f(DF,AF)＝eq\f(DE,PA)＝eq\f(1,2)，∴F与C重合．∵C∈PE，C∈AC，PE⊂平面PBE，AC⊂平面ABC，∴C是平面PBE与平面ABC的公共点．又B是平面PBE与平面ABC的公共点，∴BC是平面PBE与平面ABC的交线．(2)如图，连接AE.∵AP，AB，AC两两互相垂直，∴AB⊥平面PAC，∴∠BEA为BE和平面PADE所成的