集合的概念教学设计 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课程基本信息学科数学年级高一学期秋季课题1.1集合的概念教科书书名：数学必修一A版出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学目标通过从具体问题中抽象出元素与集合等相关概念，能举例说明什么是集合，什么是集合的元素，能判断给定对象是否组成集合；能判断给定元素与集合之间的关系，并能用“∈”或“∉”表示；知道常用数集的表示符号及代表元素；知道列举法、描述法的一般格式，能选择合适的方法表示给定集合。教材分析本节的主要内容是在小学和初中基础上，引入集合的含义及其表示，通过本节的学习，学生要在了解集合含义的基础上，会用符号语言刻画集合，并能判断元素与集合之间的关系。教科书首先从6个实例入手引入元素和集合的含义，以及元素与集合之间的关系，随后介绍了一些特殊集合的记号，最后介绍了集合的两种表示方法--列举法与描述法。学情分析1.学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过度知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度.再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理.因此本节授课方法就显得十分重要.2.学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力.对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣.教学方法合作探究，讲授法，引导启发法，归纳总结法教学内容教学重点：元素与集合的“属于”关系用符号语言刻画集合教学难点：用描述法表示集合教学过程情境导入，引入新知集合论是康托尔（1829-1920，德国数学家）于19世纪末创立的，他在解决涉及无限量研究的数学问题时，提出了一般性的“集合”概念。集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，它的出现大大扩充了数学的研究领域，可以说，集合论是整个数学大厦的基础，它不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑学。设计意图：扩充学生的知识，引起学生的学习兴趣2.方程x所有到定点的距离等于定长的点组成何种图形？答：方程在有理数范围内无解，在实数范围内有两个根，一个是2，一个是-2设计意图：通过复习回顾，引出集合的概念.新知探究探究一集合的含义1.看下面的例子：（1）1～20以内的所有偶数；（2）立德中学今年入学的全体高一学生；（3）所有正方形；（4）到直线l的距离等于定长d的所有的点;（5）方程的所有实数根；（6）地球上的四大洋。例（1）中，我们把1~10之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，例（2）中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合。思考：上面的例（3）到例（6）也能组成集合吗？它们的元素分别是什么？答：能组成集合。例（3）的元素是边长取任意正实数的每一个正方形；例（4）的元素是到直线l的距离等于定长d的每一个点，它们构成两条平行于l的直线；例（5）的元素是1和2；例（6）太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋。2.问题：你能概括出以上这6个例子具有的共同特征吗？（1）元素：把研究对象统称为元素.（2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.3.归纳新知（1）集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）.（2）集合与元素的表示通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.设计意图：通过初中所学及实例，让学生感知、了解，进而概括出元素与集合的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。探究二集合中元素的性质我们把上述（2）改成“高一（2）班头发长的同学”还能构成一个集合？由此说明什么？不能.其中的元素不确定集合中的元素是确定的2.第三组由张三、李四、王五、张三四个同学组成，这种说法正确吗？不正确.第三组中只有三个同学集合中的元素是互异的3.高一（2）班的全体同学组成的集合A，与调整座位后组成的集合B有没有变化？由此说明什么？集合没有变化集合中的元素是没有顺序的4.归纳总结：通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？（1）确定性：集合的元素必须是确定的，不能确定的对象不能构成集合.（2）互异性：集合的元素一定是互异的，相同的几个对象归于同一个集合时，只能算作集合的一个元素.（3）无序性：集合的元素没有先后顺序.5.相等集合：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.设计意图：通过具体的例子推理出元素的性质，教会学生解决和研究问题。练习1：判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:(1)大于3小于11的偶数;(2)我国的小河流.答：（1）能组成集合，是由4,6,8,10四个元素组成的集合.不能组成集合，由集合元素的确定性知其不能组成集合.探究三：元素和集合的关系1.已知下面的两个实例：（1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合.（2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学.思考：那么a，b与集合A分别有什么关系?答：a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.2.元素与集合的“属于”关系如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.3.常用数集及其记法：数学中一些常用的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N∗全体整数组成的集合称作整数集，记作Z；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；全体实数组成的集合称为实数集，记作R。练习2.用符号“∈”或“∉”填空.(1)2Z；(2)____Q；(3)0{0}；b{a,b,c}；(5)4Q;(6)0N∗(7)0N;(8)____R【答案】(1)∈(2)∉（3）∈（4）∈（5）∈(6)∉（7）∈（8）∈设计意图：元素、集合的字母表示，以及元素与集合的“属于”或“不属于”关系，建议在运用中逐渐熟悉.探究四、集合的表示方法1.列举法思考1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？【提示】可以这样表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.思考2:方程（x+1）（x+2）=0的所有根组成的集合，又如何用列举法表示呢？【提示】{-1,-2}问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.注意：=1\*GB2⑴大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开；=2\*GB2⑵元素按一定的顺序列举，如：从小到大等。思考3：a与{a}有什么区别？【答案】a是一个元素，{a}是集合。例1用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合.（2）方程x2解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.（2）设方程x2注意：①由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合可以有不同的列举方法.例如，例1（1）可以表示为A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}；=2\*GB3②用列举法表示集合时，最好按一定的顺序列举元素。设计意图：集合的两种主要表示法，都通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.不仅要让学生明白用列举法是集合最基本、最原始的表示方法，还要理解到集合中元素的列举与元素的顺序无关.2.描述法思考：能否用列举法表示不等式x－3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？【解析】不能。但是可以看出，这个集合中的元素满足性质：（1）集合中的元素都小于10.（2）集合中的元素都是实数．这个集合可以通过描述其元素共同性质的方法来表示，写作:{x∈R|x<10}设计意图：通过问题的思考，学生认识到仅用列举法表示集合是不够的，有些集合是列举不完或者列举不出来的，由此说明学习描述法的必要性.学习描述法时，先用自然语言表示集合元素具有的共同属性，再介绍用描述法的具体方法.思考：所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？有理数集怎么表示呢？{x∈Z|x=2k+1,k∈Z},或{x∈Z|x=2k-1,k∈Z};{x∈Z|x=2k,k∈Z}设计意图：学生通过对实例或问题的思考，去体验知识方法。发现并提出数学问题，应用数学语言予以表达。问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗？一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法。有时也用冒号或分号代替竖线，写成或。具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.注意：（1）在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.（2）我们约定，如果从上下文的关系看，x∈R，x∈Z是明确的，那么x∈R，x∈Z可以省略，只写其元素x，例如，集合D={x∈R|x<10}也可以表示为D={x|x<10}。例2试分别用描述法和列举法表示下列集合.(1)方程x(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.解：(1)设x∈A，则x是一个实数，且x2-2=0。因此，用描述法表示为A={x∈R|x方程x2-2=0有两个实数根为，因此，用列举法表示为A={}.(2)设x∈B，则x是一个整数，则x∈Z，且10<x<20，因此，用描述法表示为B={x∈Z∣10<x<20}.大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.思考：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.三、展示交流，新知应用1．下列对象不能构成集合的是(D)①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体．A．①②B．②③C．①②③D．①③【解析】研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性．①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限．故选D.【答案】D2．下列三个关系式：①eq\r(5)∈R；②eq\f(1,4)∉Q；③0∈Z.其中正确的个数是(B)A．1B．2C．3D．0【解析】①正确；②因为eq\f(1,4)∈Q，错误；③0∈Z，正确．【答案】B3.a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(D)A．矩形B．平行四边形C．菱形D．梯形【解析】由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.【答案】D4.设集合A＝{x|x2【解析】∵4∈A，∴16－12