浙江省杭州市西溪中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷（含解析）

浙江省杭州市西溪中学2023-2024学年八年级（下）期中数学试卷一.选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．宇航员 B．空间站 C．黑洞 D．太空舱2．（3分）计算（）2的结果是（）A． B．3 C．2 D．93．（3分）代数式中，x的取值范围是（）A．x≥﹣4 B．x＞2 C．x≥﹣4且x≠2 D．x＞﹣4且x≠24．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．95．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，方程应变形为（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝56．（3分）已知4个正数a1，a2，a3，a4的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4，则数据a1，a2，0，a3，a4的平均数和中位数分别是（）A．，0 B．，a3 C．a，0 D．a，a37．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定8．（3分）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（）A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm29．（3分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）A．m＝﹣2 B．m＝3 C．m＝3或m＝﹣2 D．m＝﹣3或m＝210．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④二.填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）一元二次方程3x2＝27的解为：．12．（3分）当x＝﹣2时，二次根式的值是．13．（3分）数据1，2，3，4，5的方差为．14．（3分）平行四边形的两条对角线分别为6和8，则该平行四边形的一条边x的取值范围为．15．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0的一个根是2，则k的值为．16．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连接OE、OF、EF．若AB＝7，BC＝5，∠DAB＝45°，则①点C到直线AB的距离是．②△OEF周长的最小值是．三.解答题（共72分）17．（6分）计算；（1）计算：；（2）．18．（6分）（1）如图①，四边形ABCD是中心对称图形，直线EF经过对称中心O，则S四边形AEFBS四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；（2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分．19．（8分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣3）2﹣4＝0；（2）x2﹣4x﹣8＝0．20．（8分）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：八年级抽取的学生的竞赛成绩：4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数a7.4中位数b8众数7c合格率85%90%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝；b＝；c＝．（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩不合格的人数；（3）在这次“国家安全法”知识竞赛中，你认为哪个年级的学生成绩更优异？请说明理由（一条理由即可）．21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE＝CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．22．（10分）“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个20元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为30元/个时，七月销售200个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到288个．（1）求八，九两月销量的月平均增长率；（2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低1元，月销量在九月销量的基础上增加3个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利1800元？23．（12分）发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10＝0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业：解：x2﹣7x+10＝0．a＝1，b＝﹣7，c＝10．∵b2﹣4ac＝9＞0，……………①∴x＝＝．……………②∴x1＝5，x2＝2．……………③所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．……………④当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．……………⑤（1）涵涵的作业错误的步骤是（填序号），错误的原因是．（2）探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC的一腰和底边的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．①m＝2时，求△ABC的周长；②当△ABC为等边三角形时，求m的值．24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为ts．（1）填空：BQ＝cm，PB＝cm；（用含t的代数式表示）（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得四边形APQC的面积等于9cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一.选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．宇航员 B．空间站 C．黑洞 D．太空舱【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；D．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．2．（3分）计算（）2的结果是（）A． B．3 C．2 D．9【解答】解：（）2＝3．故选：B．3．（3分）代数式中，x的取值范围是（）A．x≥﹣4 B．x＞2 C．x≥﹣4且x≠2 D．x＞﹣4且x≠2【解答】解：由题意得：x+4≥0，且x﹣2≠0，解得：x≥﹣4且x≠2，故选：C．4．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180•（n﹣2）＝3×360，解得n＝8．故选：C．5．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，方程应变形为（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5【解答】解：∵x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，故选：D．6．（3分）已知4个正数a1，a2，a3，a4的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4，则数据a1，a2，0，a3，a4的平均数和中位数分别是（）A．，0 B．，a3 C．a，0 D．a，a3【解答】解：由平均数定义可知：（a1+a2+0+a3+a4）＝×4a＝a；将这组数据按从小到大排列为0，a4，a3，a2，a1；由于有奇数个数，取最中间的数，∴其中位数为a3．故选：B．7．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝5，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×5＝﹣31＜0，∴方程没有实数根．故选：C．8．（3分）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（）A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2【解答】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得：，（②﹣①）÷3，得：y﹣x+1＝0，∴x＝y+1③．将③代入②，得：y（y+1）＝16+3（y﹣4）+11，整理，得：y2﹣2y﹣15＝0，解得：y1＝5，y2＝﹣3（舍去），∴x＝6．∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（x﹣4）（y﹣3）+（x﹣3）（y﹣4）＝2×2+3×1＝7．故选：C．9．（3分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）A．m＝﹣2 B．m＝3 C．m＝3或m＝﹣2 D．m＝﹣3或m＝2【解答】解：设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，∴Δ＝﹣4m≥0，∴m≤0，∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4m2﹣2m2﹣2m＝2m2﹣2m＝12，∴m＝3或m＝﹣2；∴m＝﹣2；故选：A．10．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：A．二.填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）一元二次方程3x2＝27的解为：x1＝3，x2＝﹣3．【解答】解：3x2＝27，x2＝9，x1＝3，x2＝﹣3，故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．12．（3分）当x＝﹣2时，二次根式的值是3．【解答】解：把x＝﹣2代入得，＝＝3，故答案为：3．13．（3分）数据1，2，3，4，5的方差为2．【解答】解：数据1，2，3，4，5的平均数为（1+2+3+4+5）＝3，故其方差S2＝[（3﹣3）2+（1﹣3）2+（2﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．故答案为：2．14．（3分）平行四边形的两条对角线分别为6和8，则该平行四边形的一条边x的取值范围为1＜x＜7．【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，∴在△AOB中，OB﹣OA＜x＜OB+OA即：1＜x＜7，故该平行四边形的一条边x的取值范围为1＜x＜7．15．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0的一个根是2，则k的值为﹣．【解答】解：由关于x＝2的一元二次方程x2﹣x+k＝0的一个根是2，故4+2k﹣1＝0，解得k＝﹣，故答案为：﹣．16．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连接OE、OF、EF．若AB＝7，BC＝5，∠DAB＝45°，则①点C到直线AB的距离是5．②△OEF周长的最小值是．【解答】解：①如图：过点C作AB的垂线，交AB延长线于点M，∵∠DAB＝45°，∴∠ABC＝135°，∴∠CBM＝45°，∵BC＝5，∴CM＝5，故答案为5；②如图1：作点O关于AD的对称点G，点O关于AB的对称点H，连接GH，AG，AH；则GH长为△OEF周长的最小值；由①在Rt△ACM中，AM＝7+5＝12，CM＝5，∴AC＝13，∴OA＝，由对称性可知，AH＝OA＝AG，∴△AHG是等腰三角形，又∵∠DAB＝45°，∴∠GAH＝90°，∴GH＝；故答案为；三.解答题（共72分）17．（6分）计算；（1）计算：；（2）．【解答】解：（1）＝8﹣12＝﹣4；（2）＝3﹣＝3﹣＝3+＝3++＝+．18．（6分）（1）如图①，四边形ABCD是中心对称图形，直线EF经过对称中心O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；（2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是中心对称图形，直线EF经过对称中心O，∴S四边形AEFB＝S四边形DEFC；故答案为：＝；（2）如图②：直线OQ即为所求．19．（8分）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣3）2﹣4＝0；（2）x2﹣4x﹣8＝0．【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣4＝0，（x﹣3）2＝4，∴x﹣3＝±2，∴x1＝5，x2＝1；（2）x2﹣4x﹣8＝0，x2﹣4x＝8，x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12，∴x﹣2＝±2，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2．20．（8分）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：八年级抽取的学生的竞赛成绩：4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数a7.4中位数b8众数7c合格率85%90%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝7.2；b＝7.5；c＝8．（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩不合格的人数；（3）在这次“国家安全法”知识竞赛中，你认为哪个年级的学生成绩更优异？请说明理由（一条理由即可）．【解答】解：（1）由图表可得：a＝＝7.2，b＝＝7.5，c＝8；故答案为：7.2，7.5，8；（2）800×＝100（人），答：估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩不合格的人数为100人；（3）∵八年级的合格率高于七年级的合格率，∴八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异（答案不唯一）．21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE＝CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BE，∴∠DAE＝∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠E，∴AB＝BE，∴BE＝CD；（2）解：由BE＝AB，∠BEA＝60°，∴△ABE为等边三角形，∴AB＝AE＝4，又∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝2，∴BF＝＝2，∵∠DAE＝∠E，AF＝EF，∠AFD＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF，∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝×4×2＝．22．（10分）“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个20元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为30元/个时，七月销售200个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到288个．（1）求八，九两月销量的月平均增长率；（2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低1元，月销量在九月销量的基础上增加3个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利1800元？【解答】解：（1）设八，九两月销量的月平均增长率为x，由题意可得：200Ω+x）2＝288%，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2，（不符合题意，舍去），答：八，九两月销量的月平均增长率为20%；（2）设该品牌头盔售价降低a元，（30﹣a﹣20）（288+3a）＝1800，整理得：a2+86a﹣360＝0，解得：a1＝4，a2＝﹣90（不符合题意，舍去），30﹣a＝30﹣4＝26（元），答：该品牌头盔售价为26元时，超市十月能获利1800元．23．（12分）发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10＝0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业：解：x2﹣7x+10＝0．a＝1，b＝﹣7，c＝10．∵b2﹣4ac＝9＞0，……………①∴x＝＝．……………②∴x1＝5，x2