适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第七节二项分布超几何分布正态分布课件

第七节二项分布、超几何分布、正态分布第十一章内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读1.了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题.3.了解服从正态分布的随机变量,借助频率分布直方图的几何直观,了解正态分布的特征.4.了解正态分布的均值、方差及其含义.强基础增分策略知识梳理1.n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做

.

将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.实际原型是有放回地抽样检验问题

伯努利试验

(2)二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作

.

(3)两点分布与二项分布的均值、方差若随机变量X服从两点分布,则E(X)=

,D(X)=

.

若X~B(n,p),则E(X)=

,D(X)=

.

X~B(n,p)pp(1-p)npnp(1-p)微点拨判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:(1)在一次试验中,事件A发生与不发生,二者必居其一,且A发生的概率不变;(2)试验可以独立重复进行n次.微思考两点分布(0—1分布)和二项分布有什么关系?提示

两点分布是一种特殊的二项分布,即是n=1的二项分布;二项分布可以看作两点分布的一般形式.2.超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.微点拨超几何分布与二项分布的关系

不同点联系假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件,用X表示抽取的n件产品中的次品数,若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p)(其中p=

);若采用不放回抽样的方法随机抽取则随机变量X服从超几何分布二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n件产品中次品的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n远远小于N时,每抽取一次后,对N的影响很小,超几何分布可以用二项分布近似3.正态分布(1)正态曲线函数f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.特别地,当μ=0,σ=1时,相应曲线称为标准正态曲线.(2)正态曲线特点

①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.②曲线与x轴之间的区域的面积为1.③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.⑥当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中,如图1所示;σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图2所示.(3)正态分布的定义及表示

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=,x∈R,则称随机变量X服从正态分布,记为

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服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量

假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈

.

②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈

.

③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈

.

X~N(μ,σ2)0.68270.95450.9973微点拨1.若X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),要充分利用“正态曲线关于直线X=μ对称”和“曲线与x轴之间的区域的面积为1”.2.在实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.微思考正态分布函数中的μ,σ的含义是什么?提示

若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n展开式的通项,其中a=p,b=1-p.(

)(2)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.(

)(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.(

)(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.(

)√×√√答案

A

3.随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=

.

答案

0.14解析由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.14.增素能精准突破考点一二项分布及其应用典例突破例1.血液检测是诊断某病人是否患某种疾病的重要依据.通过提取病人的血液样本进行检测,样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性,说明该样本携带病毒;若样本指标呈阴性,说明该样本不携带病毒.根据统计发现,每个疑似病例的样本呈阳性(即样本携带病毒)的概率均为p(0<p<1).现有4例疑似病例,分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验,混合样本中只要携带病毒,则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性,则将该组中各个样本再逐个化验;若混合样本呈阴性,则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案:方案一,逐个化验;方案二,平均分成两组化验.在该疾病暴发初期,由于检测能力不足,化验次数的期望值越小,则方案越“优”.(2)若将该4例疑似病例样本进行化验,且方案二比方案一更“优”,求p的取值范围.则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列为

方法总结二项分布的解题策略

对点训练1一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为,现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物.如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲类组”.(1)求一个试用组为“甲类组”的概率;(2)观察3个试用组,用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求η的分布列和均值.考点二超几何分布及其应用典例突破例2.某高中学校德育处在全校组织了知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制)如下:52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94.(1)写出该样本的中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数;(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人,记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布列和均值.所以ξ的分布列为

方法总结求超几何分布的分布列的步骤

对点训练2(2023陕西西安一模)猜灯谜是我国一种民俗活动.某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动,工作人员给每位答题人提供了10道灯谜题目,答题人从中随机选取4道灯谜题目作答,若答对3道及以上灯谜题目,答题人便可获得奖品.已知甲能答对工作人员所提供的10道题中的6道.(1)求甲能获得奖品的概率;(2)记甲答对灯谜题目的数量为X,求X的分布列与均值.则X的分布列为

考点三正态分布及其应用(多考向探究)考向1.正态分布的概率计算典例突破例3.(1)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且(2)(2023广东佛山二模)佛山被誉为“南国陶都”,拥有上千年的制陶史,佛山瓷砖享誉海内外.某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X~N(800,σ2),且P(X<801)=0.6,现从该生产线上随机抽取10片瓷砖,记Y表示800≤X<801的瓷砖片数,则E(Y)=

.

答案

(1)A

(2)1

解析

(1)因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),由对称性可知,P(X<1)=P(X>3).(2)因为X~N(800,σ2),均值为μ=800,且P(X<801)=0.6,所以P(800≤X<801)=P(X<801)-P(X<800)=0.6-0.5=0.1.由题可得Y~B(10,0.1),所以E(Y)=10×0.1=1.名师点析正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是“正态曲线关于直线x=μ对称”“曲线与x轴之间的区域的面积为1”.(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.对点训练3(1)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(x>-1)+P(x≥5)=1,则μ=(

)A.-1 B.1 C.-2 D.2(2)已知某种袋装食品每袋质量X~N(500,16),则随机抽取10000袋这种食品,袋装质量在区间[492,504]的约有

袋(质量单位:g).(附:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973).

答案

(1)D

(2)8186

解析

(1)因为随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则对称轴为X=μ.又P(X>-1)+P(X≥5)=1,而P(X>-1)+P(X≤-1)=1,所以P(X≥5)=P(X≤-1),所以5和-1关于对称轴对称,则μ==2.故选D.(2)由题意得P(500-4≤X≤500+4)≈0.682

7,P(500-8≤X≤500+8)≈0.954

5,故P(492≤X≤504)≈0.135

9+0.682

7=0.818

6,则袋装质量在区间[492,504]的约有10

000×0.818

6=8

186(袋).考向2.正态分布的实际应用典例突破例4.某省高考改革方案指出:该省高考考生总成绩将由语文、数学、英语3门统一高考成绩和学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学6门等级性考试科目中自主选择3个,在获得该次考试有效成绩的考生(缺考考生或未得分的考生除外)总人数的相应比例的基础上划分等级,位次由高到低分为A,B,C,D,E五等21级.该省的某市为了解本市9630名学生的某次选考化学成绩水平,统计在全市范围内选考化学的原始成绩,发现其成绩服从正态分布N(69,49).现从某校随机抽取了50名学生,将所得成绩整理后,绘制出如图所示的频率分布直方图.

(2)现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人,该两人成绩排名(从高到低)在全市前13名的人数记为X,求随机变量X的分布列.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.所以0.001

35×9

630≈13,所以全市前13名的成绩在90分以上,该50名考生成绩中90分以上的有0.08×50=4(人).X的分布列为

名师点析解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]三个区间内取值的概率.在此过程中会用到归纳思想和数形结合思想.对点训练4为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ-3σ,μ