小题压轴题专练28-数列3-2022届高三数学一轮复习

小题压轴题专练28—数列3一．单选题1．数列的前项和为，且，，则A．1009 B． C． D．10102．已知数列满足，，则A． B． C． D．3．数列的前项和为，，，则下列选项中正确的是A． B． C． D．4．已知函数在，上的最小值是，，设的前项和为，若对，恒成立，则实数的取值范围是A．， B．， C．，， D．，5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，数列的前项和为，则下列结论错误的是A． B． C． D．6．已知数列的前项和为，前项积为，且，．若，则数列的前项和为A． B． C． D．7．已知数列中，，是自然对数的底数）．记数列的前项和为，则A． B． C． D．8．若数列满足，为常数），则称数列为调和数列，已知数列为调和数列，且，则的最大值为A． B．2 C． D．4二．多选题9．已知，且，则下列结论正确的是A． B． C． D．10．设数列，，，，若存在公比为的等比数列，，，，使得，其中，2，，，则称数列为数列的“等比分割数列”．则下列说法正确的是A．数列，4，8，16，32是数列，7，12，24的一个“等比分割数列” B．若数列存在“等比分割数列”，则数列和数列均为单调递增数列 C．数列，，2存在“等比分割数列” D．数列的通项公式为，2，，，若“等比分割数列”的首项为1，则11．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例．作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列．现将斐波那契数列记为，，，边长为斐波那契数的正方形所对应扇形面积记为，则A． B． C． D．12．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则A． B．数列是递减数列 C．时，的最大值为11 D．数列中最小项为第7项三．填空题13．设数列满足，，，数列前项和为，且且，若表示不超过的最大整数，，数列的前项和为，则，14．在数列中，，，，且．记，，则．15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；；第次“扩展”后得到的数列为1，，，，，2．记，其中，，则数列的通项．16．已知数列满足，，则满足不等式的的值为．

小题压轴题专练28—数列3答案1．解：数列的前项和为，且，，所以：，，，，故数列的周期为3；所以，所以．故选：．2．解：由题意，可知，，，，，各项相加，可得，，则．故选：．3．解：因为，当时，，因为，则，当时，，解得，当时，，解得，猜想数列的通项公式为，下面证明：（1）当时，，命题成立；（2）假设当时命题成立，即，因为，即，则，因为，解得，故当时，命题也成立，由（1）（2）可知，命题对于都成立，所以，则，故选项，错误；，故选项错误；，故选项正确．故选：．4．解：由题意知：，由，解得，由，解得，由，解得，即在处取得极小值，即最小值，故，所以，则，由于恒成立，故，解得．故选：．5．解：有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，对于，故正确；对于：根据该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，所以，故正确；对于：根据该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，，故错误；对于，整理得，故正确．故选：．6．解：因为，所以，即，所以，所以．所以，整理得．又因为，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以．所以．故选：．7．解：设，可得，当时，，函数递增；当时，，函数递减．可得函数在处取得极小值，且为最小值0，则，所以，即，所以，又，则，又，得，所以．即．故选：．8．解：由题设知：，为常数），是等差数列，，，（当且仅当时取“等号“，（不等号两边同时加上，（当且仅当时取“等号“，的最大值为4．故选：．9．解：由，得，又，得；；，所以选项错误．猜想，证明：当时，，等式成立，假设当时，成立，则当时，有，即当时等式也成立，所以选项正确．由题意知，所以选项错误；由，所以选项正确．故选：．10．解：对于，数列，4，8，16，32，数列，7，12，24，因为，所以是的一个等比分割数列，故选项正确；对于，因为数列存在“等比分割数列”，所以，，2，，，则，所以，故，，所以数列和数列均为单调递增数列，故选项正确；对于，假设存在是，，2的等比分割数列，所以，因为，，故，，因为，所以，因为，则，产生矛盾，故假设不成立，故选项错误；对于，的通项公式为，2，，，的首项为1，公比为，所以，，2，，11，因为，，2，，10，则，，2，，10，故，，，10，因为关于单调递减，所以，即，故选项正确．故选：．11．解：由递推公式，可得，，所以，故选项正确；由递推公式可得，，，，类似的有，迭加可得，，故错误，故选项错误；由题意可知，扇形面积为，故，则错误，故选项错误；由，可得，，，，迭加可得，，又，所以，故选项正确．故选：．12．解：，，又，对；由的分析可知，当时，当时，可知等差数列为递减数列，当时，数列为递增数列，错；，又，对；，时，，时，，，，时，，当，时，、且递减、为正数且递减，最小．对．故选：．13．解：因为当时，，所以，则，即，所以数列从第2项起是等差数列，又，，，则，所以数列是首项为，公差为2的等差数列，则，所以当时，，则，所以当时，，又，所以．故答案为：2021．14．解：因为，，所以，