2023-2024学年山东省菏泽市鄄城县高二年级下册3月月考数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年山东省荷泽市邺城县高二下学期3月月考数学

模拟试题

一、单选题（每题5分，共40分）

1,函数/G）=x+sinx在区间［0,可上的平均变化率为（）

A.1B.2C.兀D.0

f（x）=-lim----------------

2.已知函数x,贝ip-。x等于（）

A.1B.-1

C.-2D.0

3.曲线了=2/+1在点尸（T，3）处的切线方程为（）

A.y=-4x-lB.y=-4x-l

Qy=4x-1D〉=4X+7

/1（-l）

4,若函数"x）=2切'0）+x［则"T）等于（）

_336_5

A.4B.4C.5D.6

b=兀c=—

5.设"e,1"加,0加3,则a,b,c大小关系是（）

A.a<c<bB.b<c<ac.c<b<aD.c<a<b

6.在函数/（x）=6x-V的图象与x轴围成的封闭图形内作一内接矩形N8CD,则可作矩形的最

大面积为（）

百行

A.6B.126C.6+2D.27

7,若函数/（x）=e'YaT）x+l在（°/）上单调递减，则实数”的取值范围是（）

A.Re+l）B（-e+l,e+l）

C（e+1,+8）D[e+l,+e）

8.已知可导函数/（X）的导函数为了'（X）,若对任意的xeR,都有了'（x）一且

/（0）=2022,则不等式/（x）+l>2023e*的解集为（）

A.（-0）B.（…）C.WD.S）

二、多选题（每题6分，共18分，选不全得部分分，选错或不选得0分）

9.如图是函数-"=/（x）的导函数了=/'（x）的图象，给出下列命题：则正确命题的序号是（

）

A.-3是函数，=/（x）的极值点；

B.-1是函数丁=/0）的最小值点；

C.'=/1）在0处切线的斜率小于零；

D.在区间（-3,1）上单调递增.

f（x）———4%+2

10.已知函数3,下列说法中正确的有（）

22_10

A.函数/（、）的极大值为可，极小值为3

22_10

B.当*€艮4]时，函数/（x）的最大值为3,最小值为3

C.函数了（X）的单调减区间为（-8厂2]U[2,+8）

D.曲线，="x）在点（°"）处的切线方程为V=-4X+2

11.已知函数那么下列说法正确的是（）

A.，（x）,8（无）在点（1，°）处有相同的切线

B.函数/（X）一g（x）有一个极值点

C.对任意/（x）?g（x）恒成立

D.，（x）,8（无）的图象有且只有两个交点

三、填空题（每题5分，共15分）

b_

12.已知函数＞=a/+6在点。,3）处的切线斜率为2,则£一.

13.在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时

到9时，车辆通过该市某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻f之间的关系可近似

13629

y——t3—t2+36/-------,

的用函数表示为：-844则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是

时

14.给出定义：设/（X）是函数＞=的导函数，"（X）是/（X）的导函数，若方程/"（劝=°有

实数解则称点&JG。））为函数的“拐点”.经研究发现，所有的三次函数

/（幻=&+加2+%+照片0）都有“拐点,,，且该“拐点,，也是函数y=/（x）图像的对称中心.若

32V

32

/（X）=X-3X；贝广（2021J,（20211U021）1,2021）1,2021）

四、解答题（共5个小题，共77分）

15.求下列函数的导数

⑴产ln（2x+l）；

e*

y=~

⑵尤+1

（3）夕=xtanx

16.已知曲线V=x+lnx在点0,1）处的切线与曲线＞="2+（2"+3b+1只有一个公共点，求。的

值

17.给定函数."x）=（x+3）e*

（1）求/（X）的极值；

（2）讨论/（"）=加（"eR）解的个数.

18.已知函数4x）=（ax—2）ex在x=l处取得极直

(1)求。的值；

⑵求函数在区间加，加+1]上的最小值.

,、r2

/(x)=F(1—左)X—k[m.

19,设函数32I)

⑴讨论了(X)的单调性；

,f(x)<--k2,

(2)若左为正数，且存在%,使得02求人的取值范围.

1.A

【分析】

根据平均变化率的计算即可求解.

/(兀)_/(0)_兀+sin兀一0—sin0_］

【详解】/(x)=x+sim在区间［0,兀］上的平均变化率为7T-071一，

故选：A

2.B

【分析】

利用求导法则结合导数定义求解即可.

【详解】由所以"A:，

"(l+x)-41)

所以1。X

故选：B

3.A

【分析】

求导，再根据导数的几何意义即可得解.

【详解】求导函数了=飘，

当x=-l时，V=4x(T)=-4,

...曲线k2f+1在点尸(T3)处的切线方程为：y-3=-4(x+l)；

即了=-41.

故选：A.

4.C

【分析】利用导数的运算法则求出了(%),令x=l可得f(1)=2f(1)+2,计算可得f(1),

得到？(x)、f(x)的解析式，代入x=-l,即可得答案.

【详角星】f(x)=2f(1)+2x,

令x=l得f(1)=2f(1)+2,

•••f(1)=2

/(x)=-4x+x2

・•・？(x)=2x-4,

.•.f（-1）=£又"T）=5,

/1（-O-6

.../（-1）

故选C.

【点睛】本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，给导函数中的x赋值是解题的关键.

5.A

f（%）二二

【分析】构造函数/"X,根据“X）的单调性可得/（e）（3）<f⑺,从而得到。，b,

。的大小关系.

xff（x）_1nX—1

【详解】考查函数/⑶=菰，贝『、一（加x）\/㈤在（自+s）上单调递增，

e—<3—<几--

e

'：e<3<7r））</（3）</（"）,即/〃e历3Inn）

:.a<c<b,

故选：A.

【点睛】本题考查了利用函数的单调性比较大小，考查了构造法和转化思想，属基础题.

6.B

【分析】

设/,8在抛物线上，由矩形的性质可得出/,8坐标的关系，表示出矩形面积的表达式，通过

求导得出单调性从而得出最值.

【详解】

设48在抛物线上,若）,=（0,3）则点•的坐标为（6--）,

所以矩形/BCD的面积可表示为53=（6一2》）（6》--）「€（0,3）,

则Sr（x^=-2（6%-%2）+（6一2垃-6x2-36x+36

令S'（x）=0,解得无=3-6或x=3+6（舍去），

可得S（x）在（。，3-石）上单调递增，在@-局）上单调递减,

所以矩形的最大面积为：婕-82g6*勺

故选：B.

7.D

【分析】

把原问题转化为/'（X*°在（°/）上恒成立，分离参数，构造函数，利用单调性求解最值即可求

解.

【详解】因为+l在（0,1）上单调递减,所以/'（x）=e~aT）V0在（0,1）上恒

成立，

即心e，+l在（°」）上恒成立，又函数＞=e'+l在（0」）上为增函数，所以y＜e+l,

故a»e+l,经检验符合题意.

故选：D

8.A

【分析】

g（x）=^hi

根据题意，构造函数e',由其单调性求解不等式，即可得到结果.

【详解】构造函数g'X人,因为对任意的xeR,都有了'（x）-/（x）＜l,

则g，"一e',所以函数g（x）在R上单调递减，

又/（0）=2022,所以g（0）=2023,

f（x）+l

由/（x）+l＞2023e*可得/＞2°23,即g（x）＞g（0）,所以x＜o.

故选：A

9.AD

【分析】

根据/'（x）＞°J'（x）＜°可以确定函数的增区间，减区间以及切线斜率的正负，结合极值点的概

念逐项判断即可.

【详解】由导函数，=/'G）的图象可得，当16）二°时，X=-3,X=T,

-3的左边导数值为负右边导数值为正，两边互为异号，7的两边导数值都为正号，

所以/（X）在（一叫与）上为减函数，（一二+%）上为增函数，

由此可得：-3是函数＞=/（x）的极值点；，=/（》）在区间（一3J）上单调递增，故AD正确；

函数，=/(x)在(-3,+00)上为增函数，知T不是函数，=/(x)的最小值点；

由/'(°)>°知丁=/(X)在尤=0处切线的斜率大于零，故BC错误.

故选：AD

10.AD

【分析】

利用导数分析函数/(X)的单调性与极值，可判断ABC选项；利用导数的几何意义可判断D选

项.

【详解】

因为")/毋+2,则/，⑺1-4,

由/'(x)<°可得-2<x<2,由/中)>0可得-2或x>2,

所以，函数/(X)的增区间为(一叫-2)、(2,+8),减区间为H，2),©错；

函数/(X)的极大值为八一2)=一]+8+2=§,极小值为了(2)=§_8+2=_§,人对；

因为/(x)在艮町上单调递增，所以，当xe[3,4]时，/⑺2="4)=二16+2=§,

/(3)=-X33-12+2=-1

最小值为3,B错；

••./'(°)=-4,所以，曲线了=/G)在点(°，2)处的切线方程为了=-4x+2,»对.

故选：AD.

11.BD

【分析】

对于A,利用导数证明切线斜率不同否定即可，对于B,构造新函数，用导数判断极值点即可，

对于C,举反例否定即可，对于D,先将交点问题转化为零点问题，求出确定的零点，并证明其

唯一性，再利用零点存在性定理找到另一个零点即可.

【详解】

对于A,/")=2"'(1)=2,"A；g’(>"(3g'(l),故人错误.

对于B,令力(x)=/(x)_g(x)=x2_]_lnx(x>0),

(、12X2-1@+或行1)

n(x)=2x——=-------=-..........---------

xxx,

(五、

xe0,3xe--,+oo

令〃(x)<0,2

77

、rvi

2，+°°

所以“（X）在(4/上单调递减；在/上单调递增,

所以“（x）有极小值，无极大值，故函数/（X）一g（x）有一个极值点，故B正确:

\2

(6'叵

h-1-ln—=-ln2一=-(ln2-l)<0<g

22222、7口.2

对于C,IJ,显然SJ）,故c错

误:

对于D,若/（”）g（x）的图象有且只有两个交点，则”（X）有2个零点,

2h

h-1+14>0,/z(e)=e-2>0<0

e~,结合

1

h-h<0

e2

显然故1是函数的一个零点，而易知IJ

、

且“（X）在J上单调递减，故”（X）在该区间上不存在其它零点,

、

〃⑹•介<0

而易知〃（无）在2

/上单调递增，且\7

)

%£—,e

2作为MD零点,

故由零点存在性定理得一定存在k)

综上“（X）有2个零点，也即/（X）,8（无）的图象有且只有两个交点，故D正确.

故选：BD

12.2

【分析】

b_

根据已知点以及导数的定义求得“力，进而求得7

【详解】

由题意知a+6=3,

a(l+Ax)~+6-(a+6)

yu=i™=lim(2a+a\x}=2a=2,a=1

T7Ar->0Ax

:.b=2,故a

故答案为：2

13.8

【分析】

利用导数求出极值点，讨论单调性，得到最值即可.

【详解】

y=--f2--/+36=--62+4r-96)=--(f+12)(f-8),

易知828、78

令了=0,解得才=-12（舍去）或f=8,

当6Wf<8时，丁’>0,当8<tW9时，_/<0,

故了在［6,8）单调递增，在（8,9］单调递减，

所以当;8时，y有最大值.

故答案为：8

14.—8082

【分析】由题，先求尸（X）,由/“（x）=°求出拐点（1'/（1））,则所求式子首尾项两两中心对称，

故可根据中心对称化简求解

【详解】由题，ra）=3/-6x,/"（x）=6x-6,

由/〃（x）=。得x=1,则（1J。））即（L-2）为〉=/（x）图像的对称中心，则所求式子首尾项两两中

心对称，

./岛，岛卜岛卜•“黯+d黯一8侬

故答案为：一8082

y=^—

15.（1）2x+l

,xex

y=7~~

⑵（x+1）

.sinxcosx+x

y=2

（3）cosx

【分析】(1)结合对数函数求导公式利用复合函数求导法则求解即可;

(2)结合指数函数求导公式利用除法求导法则求解即可；

(3)结合三角函数求导公式利用导数求导法则求解即可.

y'=---x(2x+1)=---

【详解】⑴2x+l2x+l.

0)y[X+J+(x+l)2(x+l)2

(3)

，—/、一(xsinx]_(xsinx)cosx-xsinx(cosx)_sinxcosx+xcos12x*9+xsin2x_sinxcosx+x

Icosx)cos2xcos2xcos2x

1

d———

16.a=。或2

【分析】求出＞=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线

y="/+(2"+3)x+l只有一个公共点,进而可联立切线与曲线方程，根据分情况得到。的值.

j_

【详解】解：V=x+lnx的导数为了,=/心

1+-=

曲线＞=x+lnx在工=1处的切线斜率为4=12,

则曲线kx+lnx在x=l处的切线方程为y」=2x2即尸2xL

由于切线与曲线了="2+(2。+3)x+1只有一个公共点，

y="2+伽+3b+1可联立产2日，

得办2+(2a+l)x+2=0①有且只有一解，

当。=°时①式变为x+2=。,贝i]x=-2,方程①有且只有一解，符合题意;

当aW0时，则△=Qa+1)--8a=0,

1

a=一

4a9—4。+1=0,解得2

综上，或2.

17.(1)极小值为-eT,无极大值.

⑵答案见解析

【分析】

(1)对原函数求导数，并根据导数的符号判断函数在对应区间内的单调性，从而求得极值；

(2)根据(1)中的单调性与极值讨论函数J=的图像与水平线〉=加的图象交点个数即可.

【详解】(1).../。)=5+3心

=(尤+3)'e'+(x+3)(e")'=(x+4)e”

令/''(x)=(x+4)e">0得x>-4

令/''(x)=(x+4)e"<0得x<-4,

.,涵数”X)在区间(-8,-4)上单调递减，在(-4,+8)上单调递增,

...当x=-4时，/(X)取得极小值为/(-4)=-厂，无极大值.

(2)由(1)知函数小)在区间(-8,-4)上单调递减，且当尤<_3时，/(x)=(x+3)er<0.

/(-4)=---

当x=-4时，/(x)取得极小值为e4,

从而得知，当x<-3时，/(x)图象恒在x轴下方，

且当xf-8时，/(x)f0,即以x轴为渐近线，

1

JTI=....-

・•・当e时，两函数图象恰好相切，方程有一个解；

1

加<--T

当加上0时，两图象恰好交于一点，方程有一个解；当e”时，两图象无公共点，方程有0个

解；

——<加<0

当e时，两图象有两个交点，方程有两根.

1

m=——7

综上，当O,或加之0时，方程有一个解；

1八1

---<加<。机<---

当。时，方程有两根，当。0..程解的个数为0..

(m-2^em,m>\

f,ni„(x)={-e,<<0m1

18.⑴1⑵八x)min=m<Q.

【分析】(1)f(x)=aex+(ax-2)ex=(ax+a-2)ex,由此利用导数性质能求出a=l.

(2)由f(x)=(x-2)ex,得？(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.由f(x)=0,得x=l,由此列表

讨论，能求出f(x)在［m,m+1］上的最小值.

【详解】解（l*（x）=（ax+a—2）ex,

由已知得/（l）=（a+a—2）e=0,

解得a=l,经检验a=l符合题意，

所以。的值为1.

（2）由（1）得於）=。-2）ex,/（无）=（x—1）ex.

令/（x）>0得x>l,令/（x）〈0得x<l.

所以函数於）在（一8,1）上递减，在（1,+◎上递增.

当加之1时，人幻在［加，"?+1］上递增，八X）min=AM=（加一2把机，

当0<加<1时，於）在阿，1］上递减，在（1,加+1］上递增，/（x）min=/（l）=-e.

当心0时，加+1W1,加）在阿，〃［+1］上单调递减，

X^）min=/（加+1）=（加一*1）e加+4

综上，小）在［加，加+1］上的最小值为

（m-2）e'"，m>\

力而（x）={-e,<<0m1

=