2024高考数学二轮复习-配凑法

【二轮复习一配凑法】

专题13配凑法

解决最值问题解决化简求值问题构造数列

P1-3P3-5P5-7

考向一解决最值问题

【方法储备】

用基本不等式求最值时需要注意三个条件：一正、二定、三相等，“一正”不满足时，需提负号或分类讨论,

定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性.

答题思路1：“配系数”使和式为定值

系数配凑法大多用于形如ab的积的形式，通过系数配凑，使ab=±kab,且ka与b之和为定值（或满足已知条

k

件），可利用基本不等式解决.

答题思路2：“配项”使积式为定值

（1）拆项配凑法大多用于形如a+b的和的形式，通过拆项，使a+b='+'+b,若相应项的平方和或积为定值

（或满足已知条件），可利用基本不等式解决;

（2）添项配凑大多用于形如「+的形式，若a+b为定值k,通过添加项a+b,使J+=k

最后利用基本不等式即可；

（3）有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑拆项，变为和的形式，然后配凑定积.

【典例精讲】

例1.（2023•浙江省•联考题）若实数m>0,n>0,满足2m+n=1,以下选项中正确的有（）

A.mn的最小值为1B.'+1的最小值为1+22

amn

C.,+J的最小值为？D.4m2+M的最小值为2

m-41nA）《7

解：因为2m+n=1,4m2+n2=<2m+nf—4mn,

又因为2m+n>22mn,即mn4\,

当且仅当n=2m=:时等号成立，故A错误;

得到S'」=1,即4m2+二，

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【二轮复习一配凑法】

当且仅当n=2m=；时等号成立，故D正确；

又因为+二=(2m+n)(―+-)=3+-++22,

■v«Mmr**Mn

当且仅当n=2m且2m+n=l,即m=l___£n=2-1时等号成立，

则a+1=l=2m+_

1=J+_2>(3+22)-2=1+22,故B正确；

mnm"n

36136

E+/…l+「引[2(m+l)+n+2]

=2(12+妾?+X(12+12)=冬

当且仅当n+2=2m+l且2m+n=1,

即m=Ln=■!时，等号成立，故C正确.

A7

【拓展提升】

练1-1(2023・天津市・月考试卷)已知实数a>b>0,当2a+b+.h+\取得最小值时，贝叶的值为-----

a—D4

解：根据题意可得，

4-114

2a+b++=ab+a+2b+*+=a-b+,+a+2b+,

a_b22ba-b22bjb^2h

因a>b>0,所以a—b>0,a+2b>0,

所以a—b+&+a+2b+七‘2%一'xJ+2

[a+2b)x,：,=6

即2a+b+a：b+=“，之6,

ab=】

当且仅当」a_b时等号成立

q

a+2b=_a+—Zb_

此时（a-5,=\解得仔=<,则，=4

|a.2b=2，b_i'h

、3

故答案为：4.

练1-2（2023•天津市•期末考试）已知a>0,b>0,且_L+二则2a+b的最小值为

解：因为a>0,b>0,且一；+：=三，

贝!j2a+b=2a+4+b4=2.(2a+4+b)(_J_+=)4

522h

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【二轮复习一配一法】

=1(4++I-B)―42J(4+2'上^)-4=8,

2R2b2a+2h

当且仅当上;=3且」一+=-,即a=l,b=6时取等号，此时2a+b取得最小值8.

1♦2hk1

故答案为：8.

练1-3(2023•山东省济宁市•模拟题)已知函数丫=axT(a>0且a#1)的图象过定点A,且点A在直线mx+2ny=

8(m>0,n>0)上，贝小"一f"的最小值是_____.

HUI7m

解：函数y=axT(a>0且aH1)的图象过定点A1,L,

因为点A在直线mx+2ny=8(m>0,n>0)上，

所以m+2n=8,所以2n=8—m,

H-tim>0F

由2n―8_m>O'倚0<01<8，

则”,'=rnf^-rn)~—

_32——e)3m♦8

―2…一一一2m2、i6m'

令t=3m+8,则tE(8,32),则m=

则一一/-=_十a：m=-2t2+：8t-512

AJnin2(J”)2+皿

ia

=9>9=9

8°—(2t+H2)go-2-2tl.12

'm=8

当且仅当2t=112,即t=16,即，7时，取等号，

n=3

所以二-3的最小值是

mn2m1的

故答案为2.

1■,

考向二解决化简求值问题

【方法储备】

配凑法解决化简求值问题的常用策略：

1.把结论变形，凑出题设形式，以方便利用已知条件

2.把题设变形，凑出结论形式，以从中推出结论

3.把题设先变形，再把结论变形，凑出变形后的题设形式

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【二轮复习一配凑法】

【典例精讲】

例2.(2023•四川省•月考)已知sin(x+')=V，xe(”.

(1)求sinx的值；(2)求cos(2x-'•)的值.

D

解：(1)-.-xe(所以x+'e(C),

•••cos(x4-2)=1sin2*(x+JJ)=___

八Aio

nnnnnn

・••sinx=sin[(x+-)---]=sin(x4--)cos--cos(x4-Rsin：

=723_2)1=76+2

10X2(10)*220.

TTH.

(2)cos(2x-,-)=cos(2x+彳-亍)=sin(2x

=2sin(x+：)cos(x+£)=2xx(----=---

【拓展提升】

练27(2023•陕西省•联考)sinl0°sin50°sin70°=.

解：sinl0°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°

_8sin200cos200cos40°cos800_4sin40°cos40°cos80°

8sin20°8sin20°

_2sin80°cos80°_sinl60°_sin20°_1

8sin20°8sin20°8sin20°8

故答案为"

X1一x一.

练2-2(2023•湖北省•月考)已知x+x-1=4,(0<x<1),则]।的值等于()

A.6B.6C.-42D.8

解：••・x+xT=4,(0<X<1),则X<x-1,

2

x+x-=x-+x-=।=x+2+x1=4+2=6,

x—x~1=—(x—x-1)2=—(x+x-1)2—4=—23,

贝产-x-=_(x+x-；)i)=坐=-42

x；.xTJ♦「；

故选c.

828

练2-3(2023•湖北省•联考)若(2x+l)=a0+ax(x+1)+a2(x+l)+-+a8(x+l),则a?=()

A.56B,448C.-56D.-448

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【二轮复习一配凑法】

解：(2x+I)8=［2(x+1)-I］8,

展开式中含(x+I)3的项为：篇［2(x+1)］3(-I)5,

故系数a?=23x(-篇=-448.

故选D.

考向三构造数列

【方法储备】

应用配凑法构造数列的常见类型：

1.对于形如an+i=kan+b的数列，配凑成a/+c=k(an+c)的形式,则得到新数列，⑸+c］是等比数列,先求出

新数列的通项，进而可求a。.

2.对于形如an+i=kan+bn+m的数列，配凑成a^i+p(n+1)+q=k(an+pn+q)的形式，则得到新数列fan+

pn+q是等比数列，先求出新数列的通项，进而可求a”.

3.对于形如am=kan+依的数列，配凑成低；=：：+；的形式，则得到新数列［勖是等差数列，先求出新数列的通

项，进而可求a-

n

4.对于形如a/=kan+b的数列，配凑成：的形式，令J=::,即d+i=：G+；,再配凑成c*+p=

,an+p)的形式，则得到新数列％+p是等比数列｝,先求出新数列的通项，进而可求a”.

注意：

1.k,b,m等都是常数，但是注意k不能为1,k为1的时候就会变为等差数列或者累加法求解；

2.待定系数法求出之后，为了避免出错，尽量把以什么为首项，什么为公差或公比写出来；

3.还有一些不常见的构造数列，碰到的话要大胆猜测，仔细验证.

【典例精讲】

例3.(2023•江苏省・模拟)已知首项为1的正项数列［aj满足*1区=a］若a?=则实数入的值为

()

A.64B.60C.48D.32

解：由题意得，—=-：'=(-)2+4+2,.-.—+2=('+2产

1d*A*AAi

令bn=2+2,则bn+1=,两边取对数得lgbn+i=21gbn,

又Igbi=lg(+2)=lg3,

ai

则数列｛IgbJ是首项为lg3,公比为2的等比数列，

2n-12n-1

lgbn=2nF,Ig3=lg3,bn=3,即」+2=32-\

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【二轮复习一配凑法】

故选A.

【拓展提升】

练3-1(2023•福建省•模拟)(多选)已知Sn是数列卜渴的前n项和，且a1=a2=1,an=an_1+2an_2(n>3),

则下列结论正确的是()

A.数列｛an+an+i｝为等比数列B.数列｛a^i-2aJ为等比数列

10

C盘.3DS20=2(4-l)

1-<

解：an=an_1+2an_2,an+an_±=2an_t+2an_2=2(an_1+an_2)(n>3),

因为a】=a2=1,所以a3=ai+2a2=3,+a2=4=2(a2+a。，

所以数列｛a。+an+i｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以an+an+1=2-=2n,故选项A正确；

an•an_j42^.,—j

aa

an-2an_i-2.%.2—n-i=—(n-i—2an_2),

83—2a2=3—2=1,a2—2al=1—2=-1,

所以｛an+1—2aQ是首项为—1，公比为—1的等比数列，

n-1

an+1-2an=-1•(-l)=(一1尸，故选项B正确；

国心1•:n=2_所以a故选项C错误；

a2a2020

n.l-n=(2_1)，22_(_1)22~~l)

S20=al+a2+■■■+an=R+,+...+*

_12+22+…+220)——1)+(—1)2+…+(—1)20]

3

=ix[Ai-220)-ri)><[i--i)20]]=-(220-1)=一(4]。一1),故选项D正确

q1-2i-(-nw3

故选:ABD.

练3-2(2023•山东省・联考)已知数列｛aj满足=2an-1+2«-1(n>2),a1=5,bn=、二

(1)证明：｛bj