2023-2024学年高考数学圆锥曲线的方程专项练习题（附答案）

2023-2024学年高考数学圆锥曲线的方程小专题

一、单选题

1.抛物线工2=4了的准线方程为（）

A.x=―]C.j=-lD.y=l

22

,rV

2.椭圆-1-----=1与椭圆=1（后<9）的（

25925-左9-k

A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等

3.设圆锥曲线「的两个焦点分别为々，冷若曲线「上存在点尸满足|尸片|：寓闾：|尸用=4:3:2,

则曲线「的离心率等于（）

4.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面

积除以圆周率兀等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点耳、F2

在x轴上，椭圆C的面积为26兀，且离心率为十,则C的标准方程为（）

x2y2x21

AA.——+—=1nB.——+y2=1

4312

2222

C.工+工=1D.上+匕=1

34163

5.设双曲线//：--丁=4的两个焦点为门，工，尸是双曲线a”上的任意一点，过片作片朋

的角平分线的垂线，垂足为则点/到直线区-〉-4=0的距离的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

6.国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，张老师带领同学们一起

制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，

已知大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴长

为（）cm

A.30B.10C.20D.10A/3

2222

7.若椭圆二+匕=1（优>〃>0）和双曲线二-2=l（sj>0）有相同的焦点片和巴，而P是这

Z77及st

两条曲线的一个交点，则|尸片卜|尸闾的值是（）

A.m—sB.——s）C.m2-52D.-y/s

21，22

8.若椭圆Y、+）-=l（机>，>0）与双曲线,-1-=l（〃>0j>0）有相同的焦点耳，尸”尸是两

曲线的一个交点，则△片尸区的面积是（）

A.-B.tC.2tD.4t

2

二、多选题

9.已知曲线C：加/+702=1（其中〃为参数），下列说法正确的是（）

A.若冽=〃〉0,则曲线C表示圆

B.若rm>0,则曲线。表示椭圆

C.若m几<0,则曲线。表示双曲线

D.若加〃=0,加+〃>0,则曲线C表示两条直线

22

10.已知方程“二+工=1表示的曲线为C,则下列四个结论中正确的是（）

4-tt-1

A.当1</<4时，曲线C是椭圆

B.当/>4或1<1时，曲线C是双曲线

C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1<»<|

D.若曲线C是焦点在夕轴上的椭圆，贝心>4

11.对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线必=10尤的有（）

A.焦点在y轴上

B.焦点在x轴上

C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6

D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为（2,1）

12.2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系X。'

中，把到定点用（-。,0）,乙（。,0）距离之积等于/（a>0）的点的轨迹成为双纽线C,已知点

尸（X。,%）是双纽线C上一点，下列说法正确的有（）.

FlFAWORLDCUP

Qat_ar2022

A.双纽线C关于原点。中心对称；

a,,a

B.—«为«一；

2°2

C.双纽线。上满足幽=%的点尸有两个;

D.|尸。|的最大值为百

三、填空题

13.抛物线x=4炉的焦点坐标为,准线方程为.

22

XV

14.已知椭圆C:/+不=1（。>6>0）的左焦点为RC与过原点的直线相交于4,2两点，连

4

接"，若|48|=10,|SF|=8,cosZABF=-,则。的离心率为.

15.已知抛物线C:/=4尤的焦点为歹，过点尸的直线/与抛物线C相交于42两点，若

\BF\^3\AF\,则直线/的方程为.

16.在平面直角坐标系中，已知抛物线C：黄=4x的焦点为凡准线为/,过点/且斜率

大于0的直线交抛物线。于48两点（其中N在2的上方），过线段48的中点M且与X

轴平行的直线依次交直线。4,OB,/于点P,Q,N.给出下列四个命题：

@\PM\=\NQ\.

②若尸，。是线段的三等分点，则直线的斜率为20;

③若P,。不是线段的三等分点，则一定有「。|>|。。|；

④若P,。不是线段的三等分点，则一定有加。|>|。。|；

其中正确的是（写出所有正确命题的编号）.

答案:

1.c

【分析】根据抛物线标准方程即可求解.

【详解】由题知，抛物线方程为％2=外，

则其准线方程为y=-L

故选：c

2.D

【分析】求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，即可得出合适的选项.

v2V2,________4

【详解】椭圆二+匕=1的长轴长为5x2=10,短轴长为2*3=6,焦距为2/3=8,离心率为一,

2595

22

椭圆+工=1（4<9）的长轴长为2后。，短轴长为2•1,

25—k9—k

焦星巨为2］（25-1）一（9一1）=8,离心率为强耳，

所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.

故选：D.

3.C

【分析】根据圆锥曲线的类型，结合圆锥曲线的定义和离心率的公式分类讨论进行求解即可.

【详解】设该圆锥曲线的离心率为e,

当该圆锥曲线为椭圆时IF,F",苛!而=3币=51,

|^|3_3

当该圆锥曲线为双曲线时,|尸周一|尸剧-4-22-

即曲线「的离心率等于g或1.

故选：C.

4.A

nab=2退兀

n1

【分析】由题意得兀必=26兀，然后列出方程组e=—=彳，从而求解.

a2

2

Q2=b+02

c1

【详解】由题意得：兀劭=2，昌心率：e=—=—,

a2

Tiab=2A/3TI_O

Cl一/

从而可得方程组：e=9=!,解得.6=6

a2

a2^b2+c2〔。=1

故椭圆C的标准方程为：—+^=1,故A项正确.

43

故选：A.

5.B

【分析】首先根据几何关系求得点"的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，再根据圆心到

直线的距离加上半径为点〃到直线后->-4=0的距离的最大值，最后求解即可.

【详解】由题意，延长尸工，^M交于一点N,连接。因为片尸且PM为NFFB

的平分线，

所以|尸团=|PN|,且M点为线段々N的中点，

假设点?在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|SH尸闾=2"4,

所以1PM-|尸闾=优"|=4,

因为。，"分别为片鸟，々N的中点，所以|OM|=gEM=2,

由双曲线的对称性可得点〃的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆，轨迹方程为一+/=4,

点“到直线-4=0的距离的最大值为原点到直线的距离加上半径2,

即二土+2=4,故B项正确

43+1

故选：B.

6.C

【分析】求出大椭圆的离心率，根据两椭圆离心率相同，结合小椭圆短半轴长即可求得其长半

轴长，即得答案.

【详解】在大椭圆中，«=20,6=10,则0=，/一式=因百,则椭圆离心率为e咛.

,两椭圆扁平程度相同，.•.离心率相等，，在小椭圆中，e=,

2

结合题意知少=5,得©）2=助二”=1，•"=10,小椭圆的长轴长为20.

（。）4

故选：C

7.A

【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出|尸国与|尸石|的和与差，变形求得积.

【详解】由题意知不妨设点尸是两曲线在第一象限内的交点，可得:

‘附|+|尸闾=2诟|郎|=4m+\[s

解得:

叫耳H尸闾=24\PF^=y/m-J's

则|尸耳H尸周=（而+4）（而-6）=加-s,故A项正确.

故选：A.

8.B

【分析】设户片|=2，\PF2\=q,再根据椭圆与双曲线的定义列式，化简可得设+夕2=（2娟,

可得△4学是直角三角形，再根据夕^二方可得面积.

【详解】设|尸片|二夕，|尸闾=］，不妨设交点尸在第一象限，耳鸟分别为左右焦点，

则p+q=2yl~m--®,p_q=2G…②,m-t=n+t=c2

可得①2+②2：p2+q2=2（加+〃）=2（加一，+及+。=（2c）2,

・・・△耳”是直角三角形，

①2_②2：pq=m-n=2t,S^PF2=^pq=t,

故选：B

9.ACD

【分析】利用圆、椭圆、双曲线的标准方程一一判定即可.

【详解】对于A项，由%=〃=/+/=工，是以原点为圆心，口为半径的圆，故A正确;

mVm

对于B项，显然加=〃>0时，不是椭圆，故B错误；

2222

对于C项，若冽亍一』=1,若“您〉°n1±T,两种情况都表示双曲线,

mnnm

故c正确；

对于D项，若加=0,〃>0=>了=±J，,若〃=0,加>0=>尤=±/,，两种情况均表示两条直线,

VnVm

故D正确.

故选：ACD.

10.BC

【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.

【详解】对于A,当/5时，4-Z=3|=Z-l,则曲线C是圆，A错误；

对于B,当/>4或f<l时，(4-。*1)<0,曲线C是双曲线，B正确；

对于C,若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则4T>”1>0,解得C正确；

对于D,若曲线C是焦点在了轴上的椭圆，则/1>47>0,解得：</<4,D错误.

2

故选：BC.

11.BD

【分析】根据抛物线的标准方程及几何性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由抛物线产=10x的焦点坐标为尸§,0),位于x轴上，所以A不满足，B满足；

对于C中，设是抛物线好=10》上一点，尸为焦点，

贝“炳=1+曰=1+：=,6,所以C不满足

对于D中，由于抛物线必=10%的焦点为尸§,0),若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1),

设过该焦点的直线方程为7=则左=-2,此时该直线存在，所以D满足.

故选：BD.

12.ABD

【分析】对于A,根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将(-乙-了)替换方程中的(x,y)进行判

断，对于B,根据三角形的等面积法分析判断，对于C,由题意得归司=|%|,从而可得点P

在了轴上，进行可判断，对于D,由向量的性质结合余弦定理分析判断.

【详解】对于A,因为定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点耳(-。,0),乙(。,0)距离之积等

于/(a>0)的点的轨迹称为双纽线。，

所以^/(x+a)2+y2yj(x-a)2+y2=a2,

用（-%-了）替换方程中的（x,y）,原方程不变，所以双纽线。关于原点。中心对称，所以A正

确，

对于B，设/与尸石=a

a

S,pg=1|尸片|•pF?|sina=卜2sina,=!|^2|fv0|=KI>

a\y0\=；/sina,

|j0|=1asintz<-|,Z.—|<y0<-|,故B正确；

对于C,由尸耳=尸乙知尸在片鸟的垂直平分线（方程为x=0）上

将x=0代入^（x+a）2+y2yl（x-a）2+y2=a2得y］a2+y2yJa2+y2=a2

即/+/=/,解得y=0,

.••这样的点只有一个，故C错误;

由余弦定理得4a2=|两『-2MJ-%|cosZFJPF2+恒j，

所以|用（=/图cos/£尸£=/+/cosNRPB<2a,

所以I尸。I的最大值为后a，故D正确；

故选：ABD.

13.|—,0|/（0.0625,0）x=-—

<16）16

【分析】把抛物线方程化成标准方程形式，结合焦点坐标和准线方程进行求解即可.

［详解］x=4y2=

4o

因此该抛物线的焦点坐标为（f,0准线方程为x=-2

16

1

x=-

16

5

14.

7

【分析】设椭圆的右焦点为尸，，由椭圆的对称性可得四边形/qP为平行四边形，利用余弦

定理求出X尸再根据椭圆的定义分别求出凡。，结合椭圆的离心率公式即可得解.

【详解】设椭圆的右焦点为F,连接/尸石尸,

由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形,

在b中，

由余弦定理得司2=|/川+忸下「-l\AB\\BF\cosAABF=100+64-128=36,

所以|/歼+忸尸「=|/肝，所以/尸,2尸，

所以四边形/必尸为矩形，

所以2c=|"[=|/同=10,则c=5,

la=\AF\+\AF'\^\AF\+\BF\=14,所以a=7,

所以c的离心率为上c=15.

a7

方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、C的值，根据离心率的定义求解离心率e的

值；

(2)齐次式法：由已知条件得出关于。、C的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

15.y=±A/3(X-1)

【分析】联立直线与抛物线方程得到玉+3户也，再利用抛物线的定义与条件求得x“力,进而

求得上，从而得解.

【详解】设/(尤”%)净(尤2，%)(占，龙2>°)，抛物线c：/=4x的焦点为尸(1,0),

设直线/的方程设为了=左(》-1),贝同片0,

联立;U；一。,可得〃--(2『+4卜+〃=。,易得A〉。,

2左2+4

贝!]迎+=丁厂"02=1

由抛物线的定义，可得I比1=%+1,|/尸|=玉+1,

r=1f_1

由网=3网，得:==3(%+1)，解得飞

lX2-3

所以=xl+x2=3+—=—,解得k=±6，

k21233

故直线/的方程为y=±6(x-l).

故答案为.y=±6(x-l)

16.①②

【分析】设直线42的方程为〉=左(》-1),联立直线与抛物线方程，利用三点共线即可判断①,

若尸,0是线段M,N的三等分点，则|尸0|=:〃到，利用韦达定理和弦长公式即可求判断②，

运用求根公式求得。点的坐标，结合|。。「-|尸。『的表达式，可判断③，由图像可以判断④.

【详解】由抛物线C：必=4无可知，焦点坐标为尸(1,0),

\y=k(x—V)

设直线的方程为了=曲》-1),k>0,设/(内)风会)，联立得,

2222

kx-2(k+4)x+k=0,则再+々=2+言，再工2=1,则无M=三&,%=网尤"-1)

k2k

所以直线MN的方程为了=：,因为。，尸，/三点共线，—,%=曳3=舁=今，同理

k项必必2k

x-A

演一2d

所以Xp+X。=4+今=xM+xN=^=xg+x