2024届上海市数学高三年级上册期末检测试题含解析

2024届上海市曹杨中学数学高三上期末检测试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

7T

1.函数/（x）=2sin（2x—丁）的图象为C,以下结论中正确的是（）

O

①图象C关于直线x=』乃对称；

12

冗

②图象C关于点（-1,0）对称；

③由j=2s加2上的图象向右平移？个单位长度可以得到图象C.

A.①B.①②C.②③D.①②③

2.将函数〃x）=sin+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移g个单位长度，得到函数

y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心为（）

A.信0）B.与0）C.（%,0）D.（亨,0）

3.对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天

数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是（）

发芽所需天数1234567>8

种子数43352210

A.2B.3C.3.5D.4

4.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）

.326.

A---------+6乃B.8百+6万

3

「32x/316)D.8石+等

33

5.已知命题p：若a>l,h>c>\,贝!!log〃a<log/；命题q：3^（0,+oo）,使得2M<kgx0”，则以下命题为真

命题的是（）

A.pzqB.C.D.（-^?）A（—

6.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额了（单位：亿元）的折线图.则下列结论中表述不正确的是（）

A.从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；

B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；

C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；

D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…，7）

建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型.£=99+173,根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为

256.5亿元.

7.国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造

业采购经理指数（PMI）如下图所示.则下列结论中错误的是（）

A.12个月的PMI值不低于50%的频率为1

3

B.12个月的PMI值的平均值低于50%

C.12个月的PMI值的众数为49.4%

D.12个月的PMI值的中位数为50.3%

8.已知数列｛4｝满足。用一%=2,且%四，4成等比数列.若［《』的前"项和为S“，则S”的最小值为()

A.-10B.-14C.-18D.-20

22

9.设《，F2分别为双曲线二一与=1(«>0,*>0)的左、右焦点，过点冗作圆f+y2的切线与双曲线的左

crZr

支交于点尸，若［P用=2俨用，则双曲线的离心率为()

A.0B.V3C.V5D.V6

10.若小+q(2x—1)+a?(2x—1)~+<2,(2x—I)'*+4(2x—1)，+4(2x—l)s—,则a,的值为()

11.总体由编号01,,02,…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1

行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

12.已知x=0是函数/(x)=x(依-tanx)的极大值点，则。的取值范围是

A.(-oo,-l)B.(-oo,ll

C.f0,+oo）D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线八*）=（/+*）比x在点（1,犬1））处的切线方程为.

14.已知抛物线C：y2=4x的焦点为尸，准线为/,P为C上一点，PQ垂直/于点。，M,N分别为PQ,尸尸的中点，

MN与x轴相交于点R,若NNK尸=60。，则尸R|等于.

一71

15.已知平面向量“，b'c满足|。|=1,仍1=2,a,6的夹角等于不，且（匕一，）•（0-c）=0，则Idl的取值

范围是.

16.已知随机变量XN（4,〃），且P（2<XW6）=0.8,则P（X<2）=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.（12分）已知弓（-1,0）,与（1,0）分别是椭圆。：=+当=1,3>。>0）的左焦点和右焦点，椭圆。的离心率为

a~b~

48是椭圆C上两点，点M满足

52

（1）求C的方程；

⑵若点/在圆f+>2=1上，点。为坐标原点，求Q4-QB的取值范围.

2

18.（12分）已知函数=—皿2+m21的€夫）的导函数为了，（©.

（1）若函数8（幻=/（幻一/（幻存在极值，求，〃的取值范围；

（2）设函数〃（x）=/'（e'）+r（lnx）（其中e为自然对数的底数），对任意机eR,若关于x的不等式7z（x）2加？+二在

（0,+8）上恒成立，求正整数A的取值集合.

19.（12分）设点E（l,0）,动圆P经过点尸且和直线x=-l相切.记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.

（1）求曲线W的方程；

（2）过点M（0,2）的直线/与曲线W交于A、B两点，且直线/与x轴交于点C,设M4=aAC，MB=/3BC,

求证：4为定值.

x=t

20.（12分）已知直线/的参数方程：\,一。为参数）和圆C的极坐标方程：Q=2sin6

y=l+2t

（1）将直线/的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)已知点"(1,3),直线/与圆C相交于A、B两点,求的值.

21.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是直角梯形且AZ)〃BC，AB1BC,AB=BC=2AD=2,

侧面B钻为等边三角形，且平面248,平面A3CD.

(1)求平面Q46与平面PDC所成的锐二面角的大小；

(2)若CQ=/ICP(喷收1),且直线BQ与平面PDC所成角为(，求X的值.

22.(10分)已知函数/(x)=|x+2|+|x-4|.

⑴求不等式/(x)<3x的解集；

⑵若/(x)2左|x-11对任意xeR恒成立，求k的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】

根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论.

【题目详解】

JT

因为/(x)=2sin(2x--),

0

又/(—)=2sin(2x---)=2sin—=2,所以①正确.

121236

/(-1)=2sin(2x^-1)=2sin(-万)=0,所以②正确.

将.y=2sin2x的图象向右平移g个单位长度，得y=2sin[2(x—g)]=2sin(2x-*),所以③错误.

JDD

所以①②正确，③错误.

故选:B

【题目点拨】

本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.

2、D

【解题分析】

根据函数图象的变换规律可得到y=g(可解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.

【题目详解】

解：〃x)=sin[x+"图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，得到sin(gx+j

再将图像向左平移£个单位长度，得到函数g(x)=sin的图象

4万

g(x)=sin

故选：D

【题目点拨】

考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.

3、C

【解题分析】

根据表中数据，即可容易求得中位数.

【题目详解】

3+4

由图表可知，种子发芽天数的中位数为二;一=3.5,

2

故选：C.

【题目点拨】

本题考查中位数的计算，属基础题.

4、B

【解题分析】

还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.

【题目详解】

由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥

1,1,

半个圆柱体积为：乂=—乃广。=—;rx2~x3=6万

22

四棱锥体积为：％=；S〃=；X4X3X2G=86

原几何体体积为：V=K+%=8g+6»

本题正确选项：B

【题目点拨】

本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.

5、B

【解题分析】

先判断命题P，4的真假，进而根据复合命题真假的真值表，即可得答案.

【题目详解】

,1.111

log/,a=------7»log,a=；------»因为。>1,b>c>\,所以°<108“(?<108〃/7,所以----->-----即命题p

log,/log“clog(iclog*

为真命题；画出函数y=2"和y=log3》图象，知命题q为假命题，所以pA(->q)为真.

故选:B.

【题目点拨】

本题考查真假命题的概念，以及真值表的应用，解题的关键是判断出命题p，q的真假，难度较易.

6、D

【解题分析】

根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.

【题目详解】

对于A选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于3选项，2000-2004投资总额为

11+19+25+35+37=127亿元，小于2012年的148亿元，故描述正确.2004年的投资额为37亿，翻两翻得到

37x4=148,故描述正确.对于O选项，令r=10代入回归直线方程得99+17.5x10=274亿元，故。选项描述不正

确.所以本题选D.

【题目点拨】

本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.

7、D

【解题分析】

根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.

【题目详解】

41

对A,从图中数据变化看，尸值不低于50%的月份有4个，所以12个月的尸值不低于50%的频率为二=；,

故A正确：

对B,由图可以看出，PM/值的平均值低于50%,故3正确；

对C,12个月的PM/值的众数为49.4%,故C正确，；

对O,12个月的PM/值的中位数为49.6%,故。错误

故选：D.

【题目点拨】

本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.

8,D

【解题分析】

利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得S“，再利用二次函数的性质，可得当〃=4或5时，S“取到最小值.

【题目详解】

根据题意，可知｛4｝为等差数列，公差d=2,

由4，%,4成等比数列，可得"；=6%，

；.(%+4)2=4(q+6),解得4=-8.

/.Sn=-871+二［x2=A?-9〃=(〃-少一肛.

"224

根据单调性，可知当〃=4或5时，S“取到最小值，最小值为-20.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前”项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考

查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当“=4或5时同时取到最值.

9、C

【解题分析】

设过点6作圆V+y2=〃的切线的切点为了，根据切线的性质可得且|OT|=a,再由|尸用=2|P用和

双曲线的定义可得IPK1=2。,|尸鸟|=4。，得出T为白尸中点，则有O77/P%，得到P「2，PE，即可求解.

【题目详解】

设过点片作圆Y+y2=〃的切线的切点为了，

±尸22

OT5,|FtT\=7lOFt|-b=a

\PF^=2\PF^PF^-\PF]=2a]PF2\=4a,\PF]=2a,

所以T是甲5中点，・•.0T//Pg,，P£lP6，

・2

•.IP£F+1PF25=20/=|FtF2\=4c,

2

―-=5,e—A/5•

a：

故选:c.

【题目点拨】

本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.

10、C

【解题分析】

根据V=二[(21-1)+1]5,再根据二项式的通项公式进行求解即可.

【题目详解】

因为炉=啦[(21一1)+叶，所以二项式[(2x—l)+lF的展开式的通项公式为：

7；M=C>(2X-1=C；<2x-1)5-"令厂=3,所以4=C；-(2X—1)2,因此有

1「31「215x45

%=•Ce=*Cc=X----------=.

-32§32532216

故选：C

【题目点拨】

本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力

11、D

【解题分析】

从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01,所以第5个个体是01,选D.

考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.

12、B

【解题分析】

方法一：令g(x)=ox—tanx,则/(x)=x-g(x),g\x)=a----「，

cosX

当a«l,时，g'(x)40,g(x)单调递减，

rr

xe(——,0)时，g(x)>g(0)=0,/(x)=x-g(x)<0,且尸(x)=xg'(x)+g(x)>0,

2

TT

"'(x)>0,即/(》)在(一一,0)上单调递增，

2

7T

xe(0,一)时，g(x)<g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且/'(x)=xg«)+g(x)<0,

2

：.f'(x)<0,即/(x)在(0,耳)上单调递减，.•.x=0是函数/(x)的极大值点，满足题意；

兀1

当时，存在re(0,5)使得。冈=苏，即g'Q)=0,

1JT

又gH)=a--9在(0t)上单调递减，，兀£(0,/)时，ga)>g(0)=(),所以/a)=x♦g(x)>0,

cos~x2

这与x=0是函数/(X)的极大值点矛盾.

综上，a<\.故选B.

方法二：依据极值的定义，要使x=0是函数f(x)的极大值点，须在x=0的左侧附近，fM<0,即or-tanx>0；

在x=0的右侧附近，/(幻<0,即ar—tanx<0.易知，。=1时，>=依与y=tanx相切于原点，所以根据丁=依

与y=tanx的图象关系，可得awl,故选B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2x—y—2,=0

【解题分析】

求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程.

【题目详解】

解：V/(x)=(x2+x)lnx,

/(x)=(2x+l)lnx+(x2+x)--=(2x+l)lnx+x+l,

则/⑴=2,

又/(1)=0,即切点坐标为(1,0),

则函数在点(1,/U))处的切线方程为y=2(x—1),

即2x-y-2=0,

故答案为：2x-y-2=0.

【题目点拨】

本题主要考查导数的几何意义，根据导数和切线斜率之间的关系是解决本题的关键.

14、2

【解题分析】

由题意知：|五川=2,|P月=|PQ|,MNHQF,PQ//OR油NNRF=6Q。,可得△P0?为等边三角形，MFLPQ,

可得尸为"A的中点，即求|FR|.

【题目详解】

•.•抛物线C；y2=4x的焦点为F,准线为I,P为C上一点

：.\FH\=2,\PF\^\PQ\.

•；M,N分别为P。，尸尸的中点，

/.MNHQF,

•••尸。垂直/于点Q,

：.PQIIOR,

••1P月=IPQ|,NNR尸=60。，

.../\PQF为等边三角形,

：.MF±PQ,

易知四边形MQ”尸和四边形MQER都是平行四边形,

二尸为HR的中点,

：.\FE\^\FH\^2,

故答案为：2.

【题目点拨】

本题主要考查抛物线的定义，属于基础题.

币-6^7+A/3

15、，

22

【解题分析】

L*+1

计算得到I6+BI=J7，C2=^\c\cosa-1,解得cosa=-^~.,根据三角函数的有界性计算范围得到答案.

“C

【题目详解】

_兀

2>99

由一c)=0可得c=(a-^-b>c-a-b=\a+b\\c\cosa-lx2cos—=\a+b1*1c\cosaT,a为a+b

与C的夹角.

再由(a+Z?)—+Z?"+2n*/j=l+4+2xlx2cos——7可得la+bl=>

C2=>/7\c\cosa-1,解得cosa

...管：<1，即卜「一近mi+IWO,解得近一石VlclK"+6

V0<a<7i,:.~l<cosa<l,

,7c；22

币-677+6

故答案为

F-，-T~

【题目点拨】

本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.

16、0.1

【解题分析】

根据2。原则，可得2（X<2）JP（2：X.6）,简单计算，可得结果.

【题目详解】

由题可知：随机变量XN（4,b2）,则期望为4

1-P(2<X<6)1-0.8

所以P（X<2）=0.1

22

故答案为：0.1

【题目点拨】

本题考查正态分布的计算，掌握正态曲线的图形以及计算，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2211

17、(1)土+匕=1；(2)

54

【解题分析】

(1)根据焦点坐标和离心率，结合椭圆中的关系，即可求得”,上。的值，进而得椭圆的标准方程.

(2)设出直线AB的方程为)，=依+〃?，由题意可知M为|A8|中点.联立直线与椭圆方程，由韦达定理表示出

%+%2，%％2,由判别式1>0可得5M+4>机2；由平面向量的线性运算及数量积定义，化简Q4-O6可得

____1__2

OAOB^l—AB,代入弦长公式化简；由中点坐标公式可得点M的坐标，代入圆的方程/+>2=1,化简可得

4

谓=七”'代入数量积公式并化简,120f-8)

由换元法令”公+i，代入可得O4OB=l_20x

(5I)(25f-9)

25—+16

1(20.8)

再令s=-及。=5-2s,结合函数单调性即可确定。25.的取值范围，即确定的取值范围,

t96yH-----1-5n0(51-1)(251-9)

co

因而可得。4・08的取值范围.

【题目详解】

22

(1)F\(-L0),F2(1,0)分别是椭圆C：二+4=1,(a>b>0)的左焦点和右焦点,

ab

则c=l,椭圆。的离心率为g,

则e=£二2二或^解得a=V5，

aa5

所以房=。2一。2=5.1=4，

22

所以。的方程为三+汇=1.

54

(2)设直线AB的方程为y="+"，点”满足比则M为|45|中点，点”在圆f+y2=i上，设

A（W，%）,B（W，y2），

y=kx+m

2

联立直线与椭圆方程＜x丁_,化简可得tF+4x2+1Qkmx+5m2-20=0,

,T+T-

-10krn5机2一20

所以画+%2

贝！|A=（10加）2—4x卜42+4）x（5机2-20）＞0,化简可得5Z：2+4＞m2，

1^OAOB=（OM+MA）（OM+MB）

=OM2+OMMB+MAOM+MA-MB

22

=OM-MB

=1--AB2

4

I.oi,.Xi+xo-5km”（西+工2）+2”4m

"为中点，则.=，^-二/7==」一=/引

点M在圆V+y2=l上，代入化简可得2一9"+4）,

m-o

25/+16

77?

八1八r1&+15k+4-77?

由八］OAOB=1---------x80x.................-

所以4/o\2

.+4）

（/+1乂20户+12）

=l-20x

（5/+4）（25/+16）

，（20T）

令/=r+1，贝ijOAO8=l-20x

（51）（25/-9）'

1/(20r-8)20-85

^s=-,O<s<\,则伊_])(25-9)

(5-s)(25-9s)

4(5-25)

-(5-5)(25-9.V)

令0=5—25,/€[3,5),则$=三丝，

4(5—2s)_16。_16

所以(5-s)(25-9s)=(5+功(5+9。)=7+生+50，

CO

16r43

因为/(啰)=90+，+50在℃[3,5)内单调递增，所以募汽工*〔不'记

CO

即^M获

1111

所以O4QB=]_20x，(2了-8)g

(51)(25.9)T

【题目点拨】

本题考查了椭圆的标准方程求法，直线与椭圆的位置关系综合应用，由韦达定理研究参数间的关系，平面向量的线性

运算与数量积运算，弦长公式的应用及换元法在求取值范围问题中的综合应用，计算量大，属于难题.

18、(1)me(-2,2)(2){1,2}.

【解题分析】

(1)求解导数，表示出g(x),再利用g(x)的导数可求"，的取值范围;

(2)表示出〃(x),结合二次函数知识求出/。〃)=/-2(e'+lnx)根+2e2*+2(lnx)2-左2的最小值，再结合导数及

基本不等式求出G(x)=ex-lnx的最值，从而可求正整数k的取值集合.

【题目详解】

2

22

(1)因为f(x)=§工3-7nx2+IU/\x)=2x-2nvc+m,

2

所以g(x)=/(尤)一f'(x)=§兀3一(加+2)x2+(m2+2m)x-m2,

则g'(x)=2x2-2(根+2)x+m2+2m,

由题意可知△=4(根+2)2-8(/+2m)>0,解得me(-2,2)

(2)由(1)可知，ff(x)=2x2-2iwc+m2,

所以h(x)=2e2x-2mex+2(lnx)2-2mInx+2m2

因为h(x)=2e2x-2mex+2(lnx)2-2m\nx+2m2>m2+k2

x2x22

整理得机2_2(e+Inx)m+2e+2(lnx)-k>Of

设H(x)=e'+lnx,则“'(x)=e，+,>0,所以"(x)单调递增，

X

又因为H(d〃T)=/I+—1>机，

所以存在xe(e-7,en,-'),使得”(x)="+lnx=m,

设F(m)=/w2-2(/+Inx)m+2elx+2(lnx)2-k2,是关于加开口向上的二次函数,

则F(Mmin=F(e*+Inx)=(ex+lnx)2-k2,

设G(x)="—lnx,则G'(x)=e'-LL\x)=ex,则〃(x)="+L>0,

XXX

所以G'(x)单调递增，因为G'd)=八一2<0,G/(l)=e-l>()

2

1G1

所以存在使得G'(Xo)=O,即e~=一,

2x。

当xw(0,x())时，G'(x)<0,当xe(Xo，+8)时，G\x)>0,

所以G(x)在(0,%)上单调递减，在(X。,+8)上单调递增，

所以G(x)min=G(Xo)=-\nx=x+—,

Qn%

因为x()e(：,l),所以G(x())=Xo+」-e(2,5),

2X。2

2222

又由题意可知(G(x))一代20,所以(G(x)mm)2-k=(G(x0))-k>0,

解得ZVG(Xo),所以正整数A的取值集合为{1,2}.

【题目点拨】

本题主要考查导数的应用，利用导数研究极值问题一般转化为导数的零点问题，恒成立问题要逐步消去参数，转化为

最值问题求解，适当构造函数是转化的关键，本题综合性较强，难度较大，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.

19、(1)：/=4x；(2)见解析.

【解题分析】

(1)已知P点轨迹是以F为焦点，直线x=T为准线的抛物线，由此可得曲线W的方程；

2

(2)设直线方程为丁=依+2,左。0,则。(一一,0),设A(玉,必),5(々,必)，由直线方程与抛物线方程联立消元应

K

用韦达定理得玉+々，西电，由MA=aAC，MB=£BC,用横坐标表示出a,△，然后计算a+尸，并代入西+々，

用电可得结论.

【题目详解】

(D设动圆圆心P(x,y),由抛物线定义知：P点轨迹是以尸为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，设其方程为

丁=2a(〃>0),则5=1,解得"=2.

二曲线W的方程为丁=4尤；

2

(2)证明：设直线方程为丁=区+2,攵。0,则丁,0),设A(M，y),B(X2，%),

k

y=kx+2、,

由得42/+(4%-4»+4=0,①，

_y=4x

nl4Z—44公

则%+工2=9=~j~29②，

由M4=aAC，MB=BBC,得

2八2

(%，乂-2)==(一%一：，一乂)，(x,y-2)=/?(一/一：，一%)，

kk22

-kx万一"

整理得a=—4x-,P=~~~二，

g+202+2

:.a+B=二^+二^二:2《中2一23+占）,代入②得

kx1+23+2攵~%工2+2%（X+W）+4

_2公小_2心（—竺当

a+B=—1~~-^―

/xp>+2%x（——p—）+4

【题目点拨】

本题考查求曲线方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线相交问题中的定值问题.解题方法是设而不求的思想方

法，即设交点坐标A(玉,必),3(々,必)，设直线方程了=云+加，直线方程代入抛物线(或圆锥曲线)方程得一元二次

方程，应用韦达定理得王+々，当々，代入题中其他条件所求式子中化简变形.

20、(1)/：y=2x+\,C：x2+(y-l)2=1；(2)275

【解题分析】

(1)消去参数「求得直线/的普通方程，将Q=2sin。两边同乘以。，化简求得圆C的直角坐标方程.

(2)求得直线/的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得

的值.

【题目详解】

(1)消去参数/,得直线/的普通方程为y=2x+l,

将/?=2sin6两边同乘以「得"=2/?sinJ,x2+(j-l)2=1,

.•.圆。的直角坐标方程为Y+(y-l)2=l；

f,也

x=1+——t

/、x=t5

(2)经检验点M(l,3)在直线/上，jy_]+2/可转化为j短①，

y=3+-^-r

将①式代入圆C的直角坐标方程为V+(y-i)2=i得[1+乎4+(半f+2)=1,

化简得产+26+4=0,

设44是方程产+26『+4=0的两根，则％+，2=—2石，巾2=4,

♦.•印2=4>0,与弓同号，

由,的几何意义得|M4|+国网=川+同=,+寸=2逐.

【题目点拨】

本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题，

属于中档题.

21、(1)-；(2)也!1.

46

【解题分析】

(D分别取ABCD的中点为O,E,易得OP,OE,OB两两垂直，以OE,OB,QP所在直线为羽y,z轴建立空

间直角坐标系，易得AO=(1,0,0)为平面Q4B的法向量，只需求出平面PDC的法向量为〃，再利用

cos0=|cos<n-AD>|=计算即可；

l〃llAD\

(2)求出B0,利用|cos<〃,8Q>|=sin。计算即可.

【题目详解】

(1)分别取AACD的中点为O,E,连结PQEO.

因为AD〃8C,斫以OE〃BC.

因为A5L3C,