2024年高考数学二轮复习突破过关检测 统计与概率（附答案）

专题过关检测五统计与概率

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(2023•新高考〃,3)某学校为了了解学生参加体育运动的情况用比例分配的分层随机

抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中

部分别有400和200名学生,则不同的抽样结果有()

A.C卷odo种B.ClooC^oo^

C.嚼°C乳种D.C%C乳种

2.已知随机变量X服从正态分布N(6,/)(o>0),若尸(XN3)=0.8,则P(3WXW9)=()

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

3.某服装品牌市场部门为了研究销售情况，统计了一段时间内该品牌不同服装的单价

式单位:元)和销售额M单位:元)的数据，整理得到下面的散点图.

销售额w元

25000----------------------------------------------------

20000--------------------------------------------------

15000-----------••••…---------------------------

10000----------------------------------------------------

5000----------------------------------------------------

0-------111111A

0100200300400500600单价元

已知销售额产单价XX销量Z,根据散点图，下面四个经验回归方程类型中最适宜作为服

装销量Z与单价X的经验回归方程类型的是()

A7b

A.z=a+bxB.Z=6/+-X

C.z=a+bxiD.z=a+bcx

4.已知在盒中有大小、质地相同的红色、黄色、白色的球各4个，分别编号为1,2,3,4,现

从中任意摸出4个球，则摸出白球个数的均值是()

A.1i2B44D5.1

3333

5.某高中学校统计了高一年级学生期中考试的数学成绩，将学生的成绩按照

[50,75),[75,100),[100,125),[125,150]分成4组制成如图所示的频率分布直方图.现用分层

随机抽样的方法从[75,100),[125,150]这两组学生中选取5人,再从这5人中任选2人，则

这2人的数学成绩不在同一组的概率为()

AiBl

6.京剧的角色主要分为“生”“旦”“净”“丑”四种，其中“净”和“丑”需要画脸谱，“生”“旦”只略

施脂粉，俗称“素面”.现有男生甲、乙和女生丙共三名同学参加学校京剧社团的角色扮演

体验活动，其中女生丙想扮旦角,男生甲想体验画脸谱的角色，若三人各自独立地从四个

角色中随机抽选一个，则甲、丙至少有一人如愿且这三人中有人抽选到需要画脸谱的角

色的概率为()

7.（2023•辽宁营口期末）盒中有2个红球,3个黑球,2个白球，从中随机地取出一个球，观察

其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是

2BC3

A.7-7-

8.如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型,每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们

彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间.小球每次

下落，将随机地向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位

置收集到小球.若一个小球从正上方落下，落到3号位置的概率是（）

1131

A.3B，7C.5D.i

16488

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据XI,X2,…，9由这组数据得到新样本数据》,吟…,孙,其中

yi=Xi+c（i=l,2,---,n）,c为非零常数，则（）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

10.（2023•江苏南京、盐城一模）新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动

力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于21世纪

初，近年来发展迅速，连续8年产销量位居世界第一.下面两图分别是2017年至2022年我

国新能源汽车年产量和占比（占我国汽车年总产量的比例）情况，则（）

2017年2018年2019年2020年2021年2022年

A.2017-2022年我国新能源汽车年产量逐年增加

B.2017-2022年我国新能源汽车年产量的极差为626.4万辆

C.2022年我国汽车年总产量超过2700万辆

D.2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总产量

11.(2023•广东肇庆二模)随着春节的临近,小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们

每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春

祝福，则()

A.小王和小张恰好互换了贺卡的概率为:

B.已知在小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为[

C.恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为g

D.每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为、

12.(2023・湖南师大附中一模)甲箱中有4个红球、2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红

球、3个白球和3个黑球冼从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以4,A2和A3表示由

甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球，以3表示由乙箱取

出的球是红球的事件，则下列结论正确的是()

A.事件B与事件A"=1,2,3)相互独立

B.P(AIB)=4

C.P(B)=g

D.P(A2|B)=4

三'填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.若随机变量X~3(100,p),且E(X)=20,贝I]DQX+3)=.

14.某新学校高一、高二、高三共有学生1900名，为了解同学们对学校关于对手机管理

的意见，计划采用分层随机抽样的方法，从这1900名学生中抽取一个样本容量为38的

样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以|为公比的等比数列，则此学校

高一年级的学生人数为.

15.现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡

片上数字的最小值为X,则P(X=2)=,E(X)=.

16.(2023•山东聊城一模)某班共有50名学生，在期末考试中，小明因病未参加数学考试.参

加考试的49名学生的数学成绩的方差为2.在评估数学成绩时，老师把小明的数学成绩

按这49名学生的数学成绩的平均数来算，那么全班50名学生的数学成绩的标准差

为.

四、解答题:本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)甲、乙两台机床生产同种产品产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两

台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表.

品级

机床合计

一级品二级品

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)依据小概率值a=0.010的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质

量有差异.

2

n(ad-bc)

附:72

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

18.（12分）某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他

垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取

T该市三类垃圾箱中总计1ooo吨的生活垃圾，数据统计如表所示（单位:吨）.

垃圾箱

生活垃圾

“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱

厨余垃圾50()5050

可回收物3024030

其他垃圾202060

（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；

（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；

（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为。,瓦°,

其中a>0,a+6+c=450.当数据的方差s?最大时，写出a,Z?,c的值（结论不要求证明），并

求此时s1的值.

注：s2='［（xi-盼2+3-盼…+（物_02］淇中h为数据X1,X2,…,我的平均数.

19.（12分）（2023•陕西西安模拟）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进

行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下:得分在［70,80）内的学生获三等奖，得分

在［80,90）内的学生获二等奖,得分在［90,100］内的学生获一等奖，其他学生不获奖.为了解

学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本

频率分布直方图，如图所示.

（1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概

率;

（2）若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布其中g15,〃为样本平均数

的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题（各组数据用区间的中点值代替）：

①若该市共有10000名学生参加了竞赛,试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结

果四舍五入到整数）；

②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞

赛成绩在64分以上的学生数为匕求随机变量¥的分布列和均值.

附:若随机变量X服从正态分布则尸〃+㈤M.6827,PQ

〃+2。户0.954〃+3。户0.9973.

20.（12分）（2023•北京海淀一模）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物

业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查,从一单元和二单元参

与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和3组,这20户家庭三月份网

购生鲜蔬菜的次数如下.

A组

891113151718262930

3组

5121421242728333539

假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.

（1）从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次

数大于20的概率；

（2）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户,记这两户中三月份网

购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X,估计X的均值E（X）;

（3）从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记H为A组中抽取的两户家庭三月份网购

生鲜蔬菜次数大于20的户数,4为3组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大

于20的户数，比较方差D（H）与。（力）的大小.

21.（12分）某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计,结果如下表.

年份20182019202020212022

年份代码X12345

|使用扫码支付的人次y/万人512161921

(1)观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式:y=c+Mn

羽通过散点图(图略)可以发现y与x之间具有相关性.设①=lnx,利用0与x的相关性及

表格中的数据求出y与x之间的经验回归方程，并估计2023年该商场使用扫码支付的人

次；

(2)为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案.方案一,使用现金支付，每满200元可

参加1次抽奖活动，抽奖方法如下:在抽奖箱里有8个形状、大小完全相同的小球(其中

红球有3个,黑球有5个),顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球,若摸出3个红球，则打7折;

若摸出2个红球，则打8折，其他情况不打折.

方案二，使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付

时有押概率享受8折优惠，有猫概率享受9折优惠，有;的概率享受立减10元优惠.

ooZ

若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.

①求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与均值；

②试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？

A

附:对于一组具有线性相关关系的数据(九yi),(⑵>2),«3,>3),…淇经验回归方程为y=

n_n

AAA£(ti-t)(yj-y)Etty^rityA_A_

bt+a,b='~——=气°_2,ct-y-bt.

2(ti-t)Ztt-nt

i=li=l

55

相关数据而D0.96,2<^>^6.2,ty(yi~86,ln6=4.8(其中①=lnx).

i=li=l

22.(12分)(2023•新高考/,21)甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此

人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均

为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是

甲、乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第，次投篮的人是甲的概率；

⑶已知:若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=l)=l-P(X=0)=痛=1,2,…九则

nn

E(2Xi)=£0.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为匕求E(Y).

i=li=l

专题过关检测五统计与概率

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.D解析由题意，初中部和高中部总共有400+200=600(人),按照分层随机抽样的原理,

应从初中部抽取竺2xGOMC人)，从高中部抽取出x60=20(人).

600600

第一步，从初中部抽取40人，有(480种方法，第二步,从高中部抽取20人，有C碧。种方法，

根据分步乘法计数原理,一共有C羽°C羽。种抽样结果.故选D.

2.C解析因为X服从正态分布N(6,/)g>0),P(XN3)=0.8,所以P(X>9)=P(X<3)=1-

P(XN3)=0.2,所以P(3WXW9)=l-P(X<3)-P(X>9)=0.6.

3.B解析由题中散点图可知,y与x成线性相关，设经验回归方程为了=加+质,由题意

z=l所以z="+左，对应B最适合.

xX

4.C解析设摸出的白球的个数为X,则X=0,l,2,3,4,

所以盘管

P(X=0)=^=P(X=1)=一495’(一一.495

on「4「0

P(X=3)=甯=盖,P(X=4)=甯1

495,

所以摸出白球个数的均值是E(X)=0x葛+1X景+2X黑+3X益+4X2=

5.D解析由题意可知，数学成绩在［75,100)的学生的频率为0.012x25=0.3,数学成绩在

［125,150］的学生的频率为0.008x25=0.2.

用分层随机抽样的方法从［75,100),［125,150］这两组学生中选取5人，则其中有3人的成

绩在［75,100),有2人的成绩在［125,150］,从这5人中任选2人，

其中这2人成绩不在同一组的概率「=警=后=|.

6.B解析三人选角的不同结果共43种，主甲如愿，则已满足题意,故乙、丙可随机选择,

此时共2x42=32种;

若甲未如愿,则丙必选旦角，则甲选生角或旦角，乙只能选净角或丑角，共2xlx2=4种.

所求概率为詈=2.

4316

7.A解析从盒中任取1球，是红球记为4,是黑球记为&2,是白球记为4,则4AA彼

此互斥，设第二次抽出的是红球记为事件3,则

P(A1)=1,P(A2)=$P(A3)=1,P(B|A1)=^,P(B|A2)P(B|A3)=；,P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2

///o44

2331212

)+P(B|A3)P(A3)^X-+-X-+-X-=-.

8.C解析记一个小球从正上方落下，落到3号位置的事件为M一个小球从正上方落下,

落到3号位置，需要4次碰撞中有2次向左、2次向右，则一个小球从正上方落下落到3

号位置的概率为P(M)=ClxxC)=

二、选择题:本题共4小题海小题5分洪20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.CD解析x--Y招歹+=x+c,ikA错误;两组样本数据的样本中位数

ni=ln\i=l)

1n_Jn_

相差C,故B错误感=-E(Xi-X)2,Sy=-2［Qi+c)-(元+c)］2=s泵故C正确;X极差=Xmax-Xmin,y

ni=lni=l

极差=(Xmax+C)-(Xmin+C)=Xmax-Xmin,故D正确.

10.BCD解析对于A选项，由题图可知，从2018年到2019年，我国新能源汽车年产量在

下降,A错误;对于B选项,2017~2022年我国新能源汽车年产量的极差为705.8-

79.4=626.4万辆,B正确;对于C选项,2022年我国汽车年总产量约为黑~2757万辆,C

0.256

正确;对于D选项,2019年我国汽车年总产量为需=2587.5万辆,2018年我国汽车年总

0.048

产量为悬〜2822.22万辆，所以2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总

0.045

产量,D正确.故选BCD.

11.BC解析对于A,四个人每人从中随机抽取一张共有禺禺禺种抽法，其中小王和小张

恰好互换了贺卡的抽法有的种，故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为石崩j=尚,A错

误;对于B,设小王抽到的是小张写的贺卡为事件A,则P(A)=5%="小张抽到小王写

C4c3c24

的贺卡为事件民则已知在小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡

1

的概率为P(3|A)=鬻=孕=；,B正确;对于C,恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有

月)-4T3

禺X2种，故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为赢।=|,C正确;对于D,每个人抽

到的贺卡都不是自己写的抽法共有禺x(l+2)=9种喜不人抽到的贺卡都不是自己写

的概率为萼詈2=5=*D错误.故选BC.

12.BD解析由题意知尸(4)W，P(A2)q,P(A3)=|=］.若4先发生，则乙袋中有4个红

球、3个白球、3个黑球，尸(引4)三=|;若4先发生，则乙袋中有3个红球、4个白球、

3个黑球，尸(即2)=春若4先发生，则乙袋中有3个红球、3个白球、4个黑

球,P(5|A3)q.P(AiB)=P(BHi)P(Ai)=2x1=［，故B正确;2&8)=「(引42)尸(甸磊x|=

^,P(A3B)=P(B|A3)P(A3)=^x：=所以

P(B)=P(B|Ai)P(Ai)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=|J丰］，故C错误;「(4*(3)于尸(43),故A

1

错误;P(A2|B)=笑2=番=白故D正确.故选BD.

r\D)—31

90

三、填空题沐题共4小题海小题5分洪20分.

13.1解析因为X~3(1000),所以E(X)=100p=20,解得p=*所以D(X)=100/?(l-/?)=100x

肾白16.故DQX+3)=G)xD(X)=^xl6=l.

14.900解析因为高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以|为公比的等比数列，

设从高二年级抽取的学生人数为%则从高一、高三年级抽取的人数分别为袁，京.

由题意可得|x+x+|x=38,所以x=12,故|x=18.

设我校高一年级的学生人数为〃，再根据就=之求得«=900.

15.||y解析从写有数字1,2,2,345,6的7张卡片中任取3张共有G种取法，其中所

抽取的卡片上数字的最小值为2的取法有禺+禺《种，

所以p(x=2)=喈窈=||.

由已知可得X的取值有1,2,3,4,

f2iq

P(X=1咤=||,

P(X=2)嚼

f2o

P(X=3)韦=I，

k_17JD

11

P(X=4)，=H

所以E(X)[lx£+2X-+3X-+4X-=

16.1解析设参加考试的49名学生的数学成绩为x&=l,2,3,…,49),平均成绩为元小明的

数学成绩为X50.

49_2

£(Xj-X)

由题意得一^=2,则全班50名学生的数学成绩的标准差为

49

149

22

l^(Xi-x)+(x-x)|2

2(")250£(xf-x)+0

i=ii=i49X2+07

50150-J50505,

四、解答题:本题共6小题，共70分解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

17.解(1)由表格数据得甲机床生产的产品中一级品的频率为W=*

2004

乙机床生产的产品中一级品的频率为黑=|.

(2)零假设为Ho:甲机床的产品质量与乙机床的产品质量没有差异.

7n(ad-bc)400x(150x80-120x50)「“匚

T=(a+而c+d)(a+c)&+d)=200X200X270X13。-10.256>6,635=X0.010.

依据小概率值4=0.010的独立性检验，推断Ho不成立，即认为甲机床的产品质量与乙机

床的产品质量有差异.

“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量500_5

18.解(1)厨余垃圾投放正确的概率约为

厨余垃圾总量500+50+50-6

(2)凡生活垃圾投放错误为事件A,则事件彳表示生活垃圾投放正确.

事件Z的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物''箱里可回收物量与“其他垃

圾''箱里其他垃圾量总和除以生活垃圾总量，即P(3)=若器竺=0.8,所以P(A)=1-

0.8=0.2.

⑶当a=45Q,b=c=0时取得最大值.

因为元=?a+Z?+c)=150,所以x[(450-150)2+(0-150)2+(0-150)2]=45000.

19.解(1)工样本频率分布直方图卷,样本中获一等奖的有6人,获二等奖的有8人,获三等

奖的有16人，共有30人获奖,70人没有获奖.

从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩，样本点的总数为鼾0。，

设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A,则事件A包含的样本点的个数为

Go禺0'

所以P(A)=隼鱼=9

L,10033

即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为募.

(2)由样本频率分布直方图得,样本平均数的估计值

/z=35x0.006xl0+45x0.012xl0+55x0.018xl0+65x0.034xl0+75x0.016xl0+85x0.008x

10+95x0.006x10=64,

则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布M64,152).

①因为〃+户79,所以P(X>79)=出箸=0.15865.

故参赛学生中成绩超过79分的学生数为0.15865x10000-1587.

②由〃=64,得P(X>64)=/

即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为去

所以y~B（3,|）,

所以尸（y=o）=cgx（L

p（y=i）=禺x（|）3=j,

p（y=2）=髭x（|）3=|,

p（y=3）=/X（|）34

所以随机变量y的分布列为

Y0123

1331

P

8888

均值E（K）=Ox-+lx|+2x|+3xi=|.

20.解⑴设“该%三4份网信生富蔬皮次数大于20”为事件C,在A组10户中超过20次

的有3户，由样本频率估计总体概率，则P（O=*

（2）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超

过20的概率为*二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20的概

率为Z.

10

X的可能取值为0,1,2,

所以P(X=0)=(l-$x(l/喘，

p(X=l)=Ax(l--)+(1-—)x—,

\710v107vIO71050

P(X=2)=—3x—7=—21,

\1010100

E(X)=0x—21+lx—29+2x—21=1.

'/10050100

(3)依题可知,匕,力的可能取值为0』,2,且匕,力服从超几何分布,

所以P(H=O)=m=高

c103

P(H=1)=罟=春

Jo

p(n=2)=..星=

C?o_15'

p(y=0)=.

2C?o―15'

P出=1)=空rlfl=二7，

''C?o15，

p(%=2)=孚=

C?o15

因为£(ro=ox