2023-2024学年八年级下期末数学试卷含答案解析

2023-2024学年八年级下期末考试数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

式子善有意义，则实数。的取值范围是（）

1.

A.-1B.QW2C.心-1且e2D.a>2

2.已知三角形的三边长为a、b、c,如果（<?-5）-+\b-12|+Vc-13=0,则AABC是（）

A.以a为斜边的直角三角形B.以6为斜边的直角三角形

C.以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形

3.已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|1-a|+Y淳的结果为（）

a

♦.

01

A.1B.-1C.1-2aD.2a-\

4.有甲、乙两班,甲班有机个人，乙班有〃个人.在一次考试中甲班平均分是〃分，乙班

平均分是b分.则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（）

a+bm+nam+bnam+bn

A.——B.-------C.----------D.

22a+bm+n

5.有下面的判断：①△ABC中，cr+b^c2,则△ABC不是直角三角形.②AABC是直角

三角形，NC=90°,则/+必=°2.③若aABC中，a2-b2^c2,则△ABC是直角三角

形.④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a-b）=c2.以上判断正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

6.如图所示，在Rt^ABC中，ZB=90°,ZA=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,

E是垂足，连接。.若BD=2,则AC的长是（)

C

A.4V3B.2V3C.4D.8

7.如图，在菱形ABC。中，ZA=60°,A£>=4,点P是AB边上的一个动点，点E,F分

别是DP,BP的中点，则线段EF的长为（）

B

c.2V2D.2V3

8.如果直线4与两坐标轴围成的三角形面积等于4,则k的值是（）

A.2B.+4C.4D.±2

9.函数y=ox+b与y=6x+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）

点。在。4上，且。点的坐标为（2,0）,尸是OB上一动点，则PA+PD的最小值为（）

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11.（4分）二次根式二^在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

12.（4分）若函数y=（m-2）尤”"「1是一次函数，则机的值是.

13.（4分）一名学生军训时连续射靶10次，命中的环数分别为4,7,8,6,8,6,5,9,

10,7.则这名学生射击环数的方差是.

14.（4分）如图，剪两张对边平行的纸条，纸条宽度相等，随意交叉叠放在一起，转动其

中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是

D.C

15.（4分）如图，△ABC中，ZABC=90°,分别以△ABC的三边为边向外作正方形，Si,

S2,S3分别表示这三个正方形的面积，已知Si=81,53=225,则S2=.

16.（4分）在平面直角坐标系xOy中，正方形A181Q。、A282c281、A383c3比，…，按图

所示的方式放置.点4、42、A3,…和点81、82、囱，…分别在直线y=fct+b和x轴上.已

17.（6分）计算：4V2（信一巡）-V48-V3+（V3+2）2

18.（8分）阅读下面的文字后，回答问题：

甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：a+Ml-6a+9a2,其中。=5.”甲、乙两人

的解答不同；

甲的解答是：a+71—6a+9a2=a+J（1-3峰2=a+1—3a=1—2a=-9；

乙的解答是：a+71—6a+9a2=a+-3峰2=a+3a-1=4a—1=19.

（1）的解答是错误的.

（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：.

（3）模仿上题解答：化简并求值：|l-a|+Vl-8a+16a2,其中。=2.

19.（9分）某商场统计了每个营业员在某月的销售额，统计图如下:

解答下列问题：

（1）设营业员的月销售额为x（单位：万元），商场规定：当x<15时为不称职，当15

Wx<20时，为基本称职，当20Wx<25为称职，当x》25时为优秀.试求出不称职、基

本称职、称职、优秀四个层次营业员人数所占百分比（精确到0.1%）,并用扇形图统计

出来.

（2）根据（1）中规定，所有称职和优秀这两个层次的营业员月销售额的中位数、众数

和平均数分别是多少？

（3）为了调动营业员的工作积极性，决定制定月销售额奖励标准，凡到达或超过这个标

准的营业员将受到奖励.如果要使得称职和优秀这两个层次的所有营业员的半数左右能

获奖，你认为这个奖励标准应定为多少元合适？并简述其理由.

20.（9分）已知一次函数y=fct+6.当x=-4时，y=0；当尤=4时，y=4.

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）求这个一次函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积.

21.（9分）在△ABC中/AC8=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点，必=3,PB=\,

CD=PC=2,CD±CP.

（1）找出图中一对全等三角形，并证明；

（2）求NBPC的度数.

AB

22.（9分）如图，在四边形ABC。中，AB//CD,AC,8。相交于点O,且。是8。的中点

（1）求证：四边形A8CZ）是平行四边形；

（2）若AC_LBO,AB=8,求四边形ABC。的周长.

23.（10分）某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表:

商品甲乙

进价（元/件）x+60X

售价（元/件）200100

若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同.

（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？

（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件（a230）,设销售

完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最

小值.

24.（10分）概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形

（1）性质探究：如图1,四边形A3C。是垂美四边形，直接写出4小、CD1,AD2,BC2

的数量关系:

（2）解决问题:如图2,分别以RtAACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG

和正方形连接CE、BG、GE.若AC=4,AB=5,求GE的长（可直接利用（1）

中性质）

25.（12分）在RtZkABC与中，ZABC=ZBAD=9Q°，AC=BD,AC、8。相交

于点G,过点A作AE//DB交CB的延长线于点E,过点B作BFHCN交DA的延长线于

点、F,AE,相交于点”.

(1)证明：AABD0ABAC.

(2)证明：四边形AH8G是菱形.

(3)若A8=8C,证明四边形AH8G是正方形.

26.(14分)综合与探究：

如图，直线/1：y=*c与直线/2交于点A(4,m),直线/2与x轴交于点B(8,0),点C

从点。出发沿02向终点2运动，速度为每秒1个单位，同时点。从点B出发以同样的

速度沿2。向终点。运动，作CM,无轴，交折线OA-AB于点作。轴，交折

线B4-AO于点M设运动时间为f.

(1)求直线/2的表达式；

(2)在点C,点。运动过程中.

①当点M,N分别在04AB上时，求证四边形CMND是矩形.

②在点C,点D的整个运动过程中，当四边形CMND是正方形时，请你直接写出t的值.

(3)点尸是平面内一点，在点C的运动过程中，问是否存在以点尸，0,A,C为顶点

的四边形是菱形，若存在，请直接写出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.

2023-2024学年八年级下期末考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.式子一■有意义，则实数。的取值范围是（）

a-2

A.-1B.C.。2-1且〃彳2D.a>2

解：式子有意义，则〃+120,且〃-2W0,

a-2

解得：-1且a#2.故选：C.

2.已知三角形的三边长为〃、Ac,如果（〃-5）2+收-12|+Vc-13=0,则△人5。是（）

A.以〃为斜边的直角三角形B.以人为斜边的直角三角形

C.以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形

解：（«-5）12+\b-12|+Vc-13=0,・・・〃-5=0,b-12=0,c-13=0,

.•.〃=5,/?=12,c=13,

,・・52+122=132,・・.〃2+廿=02,...△A3。是以。为斜边的直角三角形.故选：c

3.已知实数〃在数轴上的位置如图，则化简|1-〃|+笳的结果为（）

a

1・1।〉

-101

A.1B.-1C.1-2aD.2a-1

解：由数轴可得：-IVQVO,则|1-=1-Q-Q=1-2I.故选：C.

4.有甲、乙两班，甲班有机个人，乙班有〃个人.在一次考试中甲班平均分是〃分，乙班

平均分是6分.则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（）

a+bm+nam+bnam+bn

A.------B.-------C.----------D.----------

22a+bm+n

解：・・,甲班有机个人，乙班有〃个人.在一次考试中甲班平均分是〃分，乙班平均分是

b分，

二・甲乙两班在这次考试中的总分为：（根4+泌）分，

am+bn

・,•甲乙两班在这次考试中的总平均分是------.

m+n

故选：D.

5.有下面的判断：①△ABC中，/+庐#02,则不是直角三角形.②△ABC是直角

三角形，NC=90°,则/+必=°2.③若△ABC中，a2-序=J,则△ABC是直角三角

形.④若△4BC是直角三角形，则（a+b）（a-b）=c2.以上判断正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

解：①c不一定是斜边，故错误；

②正确；

③正确；

④若△ABC是直角三角形，c不是斜边，则（a+6）（a-b）#0,故错误.

共2个正确.

故选：C.

6.如图所示，在RtZkABC中，ZB=90°,NA=30°,OE垂直平分斜边AC,交AB于D,

E是垂足，连接CD若BD=2,则AC的长是（）

C

A.4V3B.2V3C.4D.8

解：•.•在Rt^ABC中，ZB=90°,ZA=30°,

ZACB=60°,

：DE垂直平分斜边AC,

：.AD=CD,

：.ZACD=ZA=30°,

：.ZDCB=60°-30°=30°,

在RtZXDBC中，N2=90°,/DCB=30°,BD=2,

：.CD=2BD=4,

由勾股定理得：BC=V42-22=2V3,

在RtZXABC中，ZB=90°,NA=30°,BC=2同

：.AC=2BC=4V3,

故选：A.

7.如图，在菱形ABC。中，ZA=60°,A£>=4,点尸是A8边上的一个动点，点E,F分

别是DP,BP的中点，则线段EF的长为（）

B

解：如图连结8D,

：.AD=AB=4f

VZA=60°,

.*•乙ABD是等边三角形，

：.BD=AD=4,

•・,点E,尸分别是。尸，5尸的中点，

・・・EF为△尸8。的中位线，

1

：.EF=沏=2,

故选：A.

8.如果直线丁=丘-4与两坐标轴围成的三角形面积等于4,则女的值是（

A.2B.±4C.4D.±2

解：当x=0时，y=kXQ-4=4,

，直线丁=丘-4与y轴的交点坐标为（0,-4）；

,，，4

当y=0时，kx-4=0,解得：1=工，

K

、4

，直线丁=丘-4与％轴的交点坐标为（工，0）.

K.

_14

工直线y=kx-4与两坐标轴围成的三角形面积=ox|-4|X|-|=4,

4K.

解得：k—i2,

经检验，左=±2是解题的关键，且符合题意.

故选：D.

9.函数y=ox+6与y=6x+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（

①当a>0,6>0时，的图象经过第一、二、三象限，y=bx+a的图象经过第一、

二、三象限，无选项符合；

②当。>0,6<0时，y=ox+b的图象经过第一、三、四象限；y=6x+a的图象经过第一、

二、四象限，C选项符合；

③当a<0,6>0时，y=ax+b的图象经过第一、二、四象限；y=bx+a的图象经过第一、

三、四象限，C选项符合；

④当a<0,6co时，y=ox+b的图象经过第二、三、四象限；y=b尤+a的图象经过第二、

三、四象限，无选项符合.

故选：C.

10.如图所示，四边形OA8C是正方形，边长为6,点AC分别在X轴、y轴的正半轴上,

点。在。4上，且。点的坐标为（2,0）,尸是OB上一动点，则PA+PD的最小值为（）

解：如图，作点。关于的对称点T,连接PT,AT.

.,.OB^ZCOA,

,:D(2,0),

：.OD=OT=2,

\'OA=6,

：.AT=V22+62=2V10,

,:PT=PD,

：.PD+PA=PT+PA^AT=2V10,

C.PD+PA的最小值为2回.

故选：B.

二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)

11.(4分)二次根式VI二^在实数范围内有意义，则x的取值范围是xW3.

解：由题意得，3-x20,

解得，龙W3,

故答案为：x<3.

12.(4分)若函数y=-2)如心1是一次函数，则一的值是-2.

解：,函数y=(机-2)x心1是一次函数，

|m|-1=1,且7M-2W0,

加=±2,目.mW2,

.,.m=-2.

故答案为：-2.

13.(4分)一名学生军训时连续射靶10次，命中的环数分别为4,7,8,6,8,6,5,9,

10,7.则这名学生射击环数的方差是1.6.

解：：这组数据的平均数是(4+7+8+6+8+6+5+9+10+7)+10=7,

.•.这名学生射击环数的方差=告［(4-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)

2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2]=1.6.

故答案为：1.6.

14.（4分）如图，剪两张对边平行的纸条，纸条宽度相等，随意交叉叠放在一起，转动其

中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是菱形.

解：过点。分别作DM，于点M,DNLAB^HN,

'：AB//CD,AD//BC,

...四边形ABCD是平行四边形，

:"DAN=NDCM,

:纸条宽度相等，

：.DN=DM,

：.在MADN和△CDM中，

NDAN=乙DCM

LAND=ZCMD,

DN=DM

：./\ADN^/\CDM（AAS）,

：.AD=DC,

平行四边形ABC。是菱形.

故答案为：菱形.

15.（4分）如图，△ABC中，ZABC=90°,分别以△ABC的三边为边向外作正方形，Si,

S2,S3分别表示这三个正方形的面积，已知Si=81,53=225,则S2=144.

解：•・•三个四边形均是正方形，

222

.,.Si=BC,S2=ABfS3=ACf

9：AABC是直角三角形，

：.CB1+BA1=AC2,即Si+S2=S3,

VSi=81,53=225,

/.52=225-81=144.

故答案为：144.

16.(4分)在平面直角坐标系xOy中，正方形AiBiCiO、A2B2C2B1,A333c3比，…，按图

所示的方式放置.点4、42、A3,…和点81、比、B3,…分别在直线和x轴上.已

解：连接4Q,A2C2,A3C3,分别交x轴于点E、F、G,

•・,正方形A151。。、A252c2囱、A333c3比，

与Cl关于％轴对称，A2与。2关于X轴对称，A3与。3关于X轴对称,

73

VCi(1,-1),C2(-,一力，

22

73

.*.Ai(1,1),A2(一，一)，

22

7

：.OBi=2OE=2,082=031+23芹=2+2X(--2)=5,

2

f+b1

c-

73

将Ai与A2的坐标代入y=kx+b中得:cf+b-

2-2-

r1

f-

jc=5

解

)=4

lh-

5

14

较

式

A卮-+-

5-X5

设32G=A3G=/,则有A3坐标为(5+6r),

代入直线解析式得：t=l(5+力+1,

解得：

一一，299

1.A3坐标为(一，一).

三、解答题(本大题共10小题，共96分)

17.(6分)计算：4V2(V6)-V484-V3+(V3+2)2.

解：4V2(J|-V6)-V48-V3+(V3+2)2

=V32(J|-V6)-V16+(7+4V3)

=2-8V3-4+7+4V3

=5-4V3.

18.(8分)阅读下面的文字后，回答问题：

甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：a+"-6a+9a2,其中。=5.”甲、乙两人

的解答不同；

甲的解答是：ci+A/1—6a+9a2=。+J(1_3a/=a+1-3a=1—2a=-9；

乙的解答是：a+N\—6a+9a2=。+J(1_3a/=a+3a—1=4a—1=19.

(1)甲的解答是错误的.

(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质:—简=|〃|,当〃V0时，必=_q_.

(3)模仿上题解答：化简并求值：|l-a|+Vl-8a+16a2,其中a=2.

解：（1）当〃=5时，甲没有判断1-3〃的符号，错误的是：甲;

(2)=\a\,当〃<0时，二—ci.

(3)|1-fl|+Vl-8a+16a2=|1-a|+J(l-4a产

\"a=2,

1-a<0,1-4a<0,

.,.原式=a-l+4a-1=5。-2=8.

19.(9分)某商场统计了每个营业员在某月的销售额，统计图如下:

A^f(n)

6

131415J617181920212223242528销售额（x）

（单位：万元）

解答下列问题：

（1）设营业员的月销售额为x（单位：万元），商场规定：当x<15时为不称职，当15

Wx<20时，为基本称职，当20Wx<25为称职，当x225时为优秀.试求出不称职、基

本称职、称职、优秀四个层次营业员人数所占百分比（精确到。1％），并用扇形图统计

出来.

（2）根据（1）中规定，所有称职和优秀这两个层次的营业员月销售额的中位数、众数

和平均数分别是多少？

（3）为了调动营业员的工作积极性，决定制定月销售额奖励标准，凡到达或超过这个标

准的营业员将受到奖励.如果要使得称职和优秀这两个层次的所有营业员的半数左右能

获奖，你认为这个奖励标准应定为多少元合适？并简述其理由.

解：（1）由图可知营业员总人数为1+1+1+1+1+2+2+5+4+3+3+3+2+1=30人；

2

不称职的有2人，所占百分比为77x100%q6.67%；

7

基本称职的有7人，所占百分比为一X1OO%^23.33%；

30

18

称职的有18人，所占百分比为一xl00%=60%；

30

一3

优秀的有3人，所占百分比为一xl00%=10%；

30

（2）所有称职和优秀的营业员月销售额从小到大排列第11个数为22万元，所以22万

元为中位数；

20万元出现了五次，次数最多，为众数.

平均数为：（5X20+4X21+3X22+3X23+3X24+2X25+1X28）+21222万元.

（3）如果要使得称职和优秀这两个层次的所有营业员的半数左右能获奖，这个奖励标准

应定为22万元合适

因为称职和优秀的共有21人，月销售额在22万元以上（含22万元）的有12人，超过

总数的一半.

\60%'至旅

20.（9分）已知一次函数y=fcc+6.当尤=-4时，y=0；当无=4时，y=4.

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）求这个一次函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积.

解：（1）由题意得，-4Z+b=0且4k+b=4.

；.b=2,k=g.

这个一次函数的表达式为y=+2.

（2）由（1）得，这个一次函数的解析式为y=：x+2,其函数图象如图所示:

.1.A（0,2）、8（-4,0）.

...这个一次函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积为S-OB=^OA-OB=1X

2X4=4.

21.（9分）在△ABC中/AC8=90°,AC=BC,尸是△ABC内的一点，B4=3,PB=1,

CD=PC=2,CDLCP.

（1）找出图中一对全等三角形，并证明；

（2）求N8PC的度数.

(1)解：AACP咨LBCD.

理由如下：VZACB=90°,

AZACP+ZBCP=90°,

'JCDLCP,

：.ZBCD+ZBCP=90°,

：./ACP=NBCD,

AC=BC

在ZkACP和△BC。中，\AACP=ABCD,

.CD=PC

:.△ACPQXBCD(SAS)；

(2)解：,:CD=PC=2,CD±CP,

，△PC。是等腰直角三角形，

：.PD=V2PC=2V2,ZCPD=45°,

"?AACP出ABCD,

：.AP=BD^3,

,：PD1+PB1=(2V2)2+产=9,

802=32=9,

：.PD2+PB2=BD2,

...△3PD是直角三角形，/BPD=90°,

：.ZBPC=ZBPD+ZCPD=900+45°=135°.

22.(9分)如图，在四边形ABCQ中，AB//CD,AC、8。相交于点O,且。是8。的中点

(1)求证：四边形ABO是平行四边形；

(2)^AC±BD,AB=8,求四边形ABC。的周长.

(1)证明：\'AB//CD,

：.ZABO=ZCDO,

"：OB=OD,ZAOB=ZCOD,

:.△AOB9XCOD(ASA),

：.AB=CD.

...四边形ABCD是平行四边形.

(2):四边形ABC。是平行四边形,

y.'：AC±BD,

四边形ABC。是菱形,

，四边形ABCD的周长=4XAB=32

23.(10分)某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表:

商品甲乙

进价（元/件）x+60X

售价（元/件）200100

若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同.

（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？

（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件Q230）,设销售

完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最

小值.

一,360180

解：（1）依题思、可得方程：----=，

x+60x

解得冗=60,

经检验x=60是方程的根，

・\x+60=120元，

答：甲、乙两种商品的进价分别是120元，60元；

（2）•销售甲种商品为a件（a》30）,

...销售乙种商品为（50-a）件，

根据题意得：w=（200-120）a+（100-60）（50-a）=40a+2000（a230）,

V40>0,

的值随a值的增大而增大，

.•.当a=30时，w最小值=40X30+2000=3200（元）.

24.（10分）概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形

（1）性质探究：如图1,四边形ABCD是垂美四边形，直接写出AB?、CD2,AD2,BC2

的数量关系：AD2+BC2=AB2+CD2.

（2）解决问题:如图2,分别以RtZWCB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形AbG

和正方形ABDE,连接CE、BG、GE.若AC=4,A3=5,求GE的长（可直接利用（1）

中性质）

解：(1)结论：AZ)2+BC2=AB2+CZ)2,

如图1中，设交AC于E.

；./AED=NAEB=/BEC=/CED=90°,

由勾股定理得，AD2+BC2=AE1+DE1+BE1+CE1,

AB2+CD2=A£2+BE2+C£2+£)E2,

:.AD2+BC2=AB2+CD2；

故答案为：AD2+BC2=AB1+CD2.

图2

'：ZCAG=ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC^ZBAE+ZBAC,即ZGAB=ZCAE,

在AGAB和中，

AG=AC

Z.GAB=Z-CAE,

AB=AE

：.AGAB^/\CAE(SAS),

AZABG=ZAEC,又NAEC+NAME=90°,

ZABG+ZAME^90°,即CE_LBG,

四边形CGEB是垂美四边形，

由(2)得，CG2+B£2=CB2+GE2,

VAC=4,AB=5,

：.BC=3,CG=4a,BE=5版

：.GE1=CG2+BE2-CB2=73,

GE=V73.

25.(12分)在Rt^ABC与RtZkAB。中，ZABC=ZBAD=9Q°,AC=BD,AC、8。相交

于点G,过点A作AE//DB交CB的延长线于点E,过点B作BF//CA交DA的延长线于

点、F,AE.相交于点

(1)证明：AABD义ABAC.

(2)证明：四边形AHBG是菱形.

(3)若48=8C,证明四边形AH8G是正方形.

：.RtAABC^RtABAD(HL).

(2)'：AH//GB,BH//GA,

，四边形AHBG是平行四边形.

AABC义ABAD,

：.ZABD=ZBAC,

；.GA=GB,

平行四边形AH8G是菱形.

(3)'：AB=BC,ZABC=90°,

...△ABC