云南省昆明市2023届高三“三诊一模”高考模拟考试数学试题（解析版）

昆明市2023届“三诊一模”高考模拟考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡

上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形

码.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知全集°={一1，°』，2},集合A={T0},则自A=()

A,{1,2}B.{-1,0}C.{-1,2}D.{-1,0,1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】根据补集的定义，即可求解.

【详解】全集。={—1,0,1,2},集合4={-1,0},则gA={1,2}.

故选：A

2.复数2i(l+i)在复平面内对应点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】计算出2i(l+i)=—2+2i,得到其对应点所在象限.

【详解】2i(l+i)=2i+2i2=—2+2i,故对应的点坐标为(—2,2),位于第二象限.

故选：B

3.仓縻实，天下安.粮食安全是国家安全的重要基础.某实验农场为研究甲、乙两品种土豆苗的生长状

态，从种植的甲、乙两品种土豆苗中各随机抽取10株，分别测量它们的株高(单位：cm)数据如下表所

示，则下列结论中表述不正确的是（）

样本号12345678910

甲品种82838182769183888993

乙品种68808872898895749071

A.甲品种土豆苗样本株高的极差小于乙品种土豆苗样本株高的极差

B.甲品种土豆苗样本株高的方差大于乙品种土豆苗样本株高的方差

C.甲品种土豆苗样本株高的中位数小于乙品种土豆苗样本株高的中位数

D.甲品种土豆苗样本株高的平均值大于乙品种土豆苗样本株高的平均值

【答案】B

【解析】

【分析】将甲乙两组样本数据从小到大排序，分别计算极差、中位数、平均数、方差，比较结果即可得答案.

【详解】甲品种土豆样本从小到大排序为76,81,82,82,83,83,88,89,91,93,

所以极差为93-76=17,中位数为"W=83,平均值为

2

76+81+82+82+83+83+88+89+91+93…

---------------------------------------------------------------=84.8,

『+(83-84.8)2+(83-84.8)2+(88-84.8)2+(89-84.8)2+(91-84.8)2+(93-84.8)2_2476乙品

10

种土豆样本从小到大排序为68,71,72,74,80,88,88,89,90,95,

on!oo

所以极差为95—68=27,中位数为竺上=84,平均值为

2

68+71+72+74+80+88+88+89+90+95

—oO11.5c,

甲品种土豆苗样本株高的极差小于乙品种土豆苗样本株高的极差，故A正确;

甲品种土豆苗样本株高的方差小于乙品种土豆苗样本株高的方差，故B不正确；

甲品种土豆苗样本株高的中位数小于乙品种土豆苗样本株高的中位数，故C正确;

甲品种土豆苗样本株高的平均值大于乙品种土豆苗样本株高的平均值，故D正确.

故选：B

4.在平行四边形ABCD中，点T为C。的中点，则（）

A.AT=-AB+ADB.AT=AB+-AD

22

【答案】D

【解析】

【分析】设E,£G,H,MN分别为AB,"。,C£，GR，4，，AA的中点，证明6点共面，为六边形，再

证明此平面满足条件即可得解.

【详解】如图，

设E,F,G,H,M,N分别为AB,BC,CQ,CQ,A29的中点，

连接EF,FG,GH,HM,MN,NE,^B,CDX,AD1,,

FG//BC],MN//ADl,FG=^BCl,MN=^ADl,BCl//ADeBQ=AR,

FG//MN-FG=MN,

同理可得，EF//MH,EF=MH,GH//NE,GH=NE,

：.瓦尤G,H,Af,N共面,

AC//EF,ACa平面EFGHMN,即u平面EFGHMN,

:.AC//平面EFGHMN,

同理可得BCJI平面EFGHMN,

E为AB的中点，

A到平面EFGHMN的距离与3到平面EFGHMN的距离相等，

即平面EPGHMN为所求的平面1,故与正方体交线为正六边形EFGHMN.

故选：D

7.已知a=cosl,b=log43,c=2~I,则()

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】根据余弦函数、指数函数、对数函数的单调性，利用“桥梁”比较大小.

【详解】y=cosx在上单调递减，且巴<1（生，

I2J43

V271，兀1

—=cos—>a=cosl>cos—=—，

2432

b=log43>log42应=-|>[,c=2，<27=g,

:.c<a<b,

故选：B

8.随机化回答技术是为调查敏感性问题特别设计的问卷调查技术，其基本特征是被调查者对所调查的问题

采取随机回答的方式，避免在没有任何保护的情况下直接回答敏感性问题，从而既对被调查者的隐私和秘

密加以保护，又能获得所需要的真实信息.某公司为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考

勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：所

有员工每人抛掷一枚质地均匀的硬币两次，约定“若结果为一次正面朝上一次反面朝上，则按①回答问卷,

否则按②回答问卷

①：若第一次抛掷硬币出现正面朝上，则在问卷中画“卡，否则画“x”；

②：若你对新考勤管理方案满意，则在问卷中画“小,否则画“x”.

当所有员工完成问卷调查后，统计画4画x的比例为3：2,用频率估计概率，则该公司员工对考勤管理方

案的满意率为（）

A.50%B.60%C.70%D.80%

【答案】C

【解析】

【分析】计算出回答①对于画Y号的贡献率，进而得到回答②对于画Y号的贡献率，由贝叶斯概率公式进行

求解.

【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币两次，共出现以下情况，（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

共4种情况，

其中结果为一次正面朝上一次反面朝上为事件A,则共有2种情况满足要求，

则尸（A）=；=；,P（A）=l-1=y,

设回答①且画4号为事件8,则P（3|A）=g,则P（A>P（@A）=gxg=（,

设回答②且画Y号为事件C,

--P（A）.P（B|A）31

则"，―,547

110

2

所以该公司员工对考勤管理方案的满意率为70%.

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是

符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.已知a,b,c为非零实数，则下列说法一定正确的是（）

A.若a,6,c成等比数列，则！，工成等比数列

abc

B.若a,b,c成等差数列，则!，工成等差数列

abc

C.若。2,b2,c2成等比数列，则a,b,c成等比数列

D.若a,Dc成等差数列,则2"，2b>2c成等比数列

【答案】AD

【解析】

【分析】根据等差数列和等比数列的中项公式，即可判断.

【详解】A.若a,b,c成等比数列，则尸=如，贝U［工］=---，所以工，」成等比数列，故A正

\b）acabc

确；

B.数列1,2,3是等差数列，但数列1,」不是等差数列，故B错误；

123

C.若心抉，Q成等比数列，则64=储02,/=ac或/=一“c，若我=—ac，则a，b,c不成等比数

列，故C错误；

D.若a,6,c成等差数列，则2b=a+c,则（2〃『=22&=2"•2'=2"。成立，所以2。，28，2「成等比

数列，故D正确.

故选：AD

22

10.己知椭圆。:上+上=1的左、右焦点分别为耳，居，直线y=根与C交于A,2两点（A在y轴右侧）,

54

。为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A.[4胤+忸娟=26

B.当m=述时，四边形ABFiB为矩形

5

C,若AFX_1_BF[,则租=g

D,存在实数机使得四边形ABHO为平行四边形

【答案】ABD

【解析】

【分析】由椭圆的定义与对称性可判断A；求出A3,耳，鸟的坐标，即可判断B；超

22

A(n,m),B(—n,m),若期，则知=1一1+/=0,又((=1,求得加，即可判断

C；若四边形A3片。为平行四边形，贝口45|=闺0|=。=1，即A的横坐标为;即可,代入椭圆方程可得

由椭圆与>关于y轴对称，可得|明|+忸耳|=|明|+|钙|=2小,故A正确;

则4鸟，大鸟,=〃斗心，则四边形A3丹鸟为矩形，故B正确;

设A(n,m),B(-n,m),则AFJ=(—1—n,—m),BFX-(—1+n,—rri),

22

若4耳，5月，则的・需=1—1+疗=0,又g+?=i,

故c错误;

若四边形人幽。为平行四边形，贝U|AB|=|4O|=c=l,即A的横坐标为3即可，

代入椭圆方程可得根=土返，故当〃2=±返时，四边形耳。为平行四边形，故D正确.

55

故选：ABD.

11.已知球。的半径为R,正四棱台ABC。一AiBiCbDi的两底面边长分别为2和4,高为/?,贝U()

A.对任意/7>0,都存在R>0,使点。到该棱台所有面的距离都等于R

B.对任意//>(),都存在皮>0,使该棱台的所有顶点都在球。的球面上

C.若点。到该棱台所有面的距离都等于R,则氏=拒

D.若该棱台所有顶点都在球。的球面上，且R=2后，则〃=&

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意，画出正四棱台的俯视图与剖面图，结合图形即可得到结果.

由题意，正四棱台的俯视图如图所示，

若点。到棱台所有顶点距离都相同，则点。必位于正方形ABCD对角线交线的垂线上，

由于。可取直线上的任意一点，故B正确；

当R=20时，0A=0A=2曰则=(2&『，解得/z="，故D正确;

对选项A,若成立，则取过。的剖面图如图所示，

由全等关系可得，FB'=B'G,E4'=EA',D'E=D'H,HC'=GC,

所以AB=DC'=3,此时/2=疗二I=2j5,所以R=

故A错误，C正确.

故选:BCD

12.如图是电灯挂在圆形桌面正中央上方的示意图，电灯在点。处，桌面直径为2m,点M是桌面边缘上一

兀

点，电灯与M之间的光线与桌面所成角为e电灯与M之间的距离为/.根据光学原理，/点

处的照度/满足关系式：I=k-J(k为常数,

k>Q).则下列说法正确的是()

7/

JT

=一时的照度为人，则人=凤

3

B./随/的增大而减小

C./先随。的增大而增大，后随。的增大而减小

D.当tan。=交时，/取得最大值

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】。在平面内的投影为圆心〃，连接加，则ZOMH为光线与桌面所成角，确定

/=Z:(sin^-sin30),构造/(无)=x—求导得到函数的单调区间，举反例得到B错误，计算得到

ACD正确，得到答案.

【详解】如图所示：。在平面内的投影为圆心〃，连接则为光线与桌面所成角,

=^sin^cos20=A:sin^(1-sin28)=左卜in，一sin，,

0G0,—,设x=sine£（0,l）,设/（尤）二九一尤③，则/（了）=1-3尤2,

I2J

（由

当工£0,于时，/^x）>0,函数单调递增；

当工。方-」时，r（x）<o,函数单调递减.

I3）

2=2

对选项A：Ix=ksin—cos—=—,I?ksin—cos—=,则/]=J§/2，正确；

6682338

对选项B：取cosG]=。，则sin，i=g，4=手，此时/]=笔七,取名=W，贝1Jcos2=等，

则sin=—,I=2^^,此时I]=—,/[>4,A>12，错误；

22238i-i2

对选项C：尤=5近。在，e[上单调递增，故/先随。的增大而增大，后随。的增大而减小，正确；

对选项D：当工=5：111。=走时，函数有最大值，此时cos，=包，tan^=-1正确；

332

故选：ACD

【点睛】关键点睛：本题考查了函数的性质，利用求导求函数的最值，意在考查学生的计算能力，转化能

力和综合应用能力，其中，构造函数判断单调区间可以简化运算，是解题的关键.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（公+工）5的展开式中，/的系数为.（用数字作答）

x

【答案】10.

【解析】

【详解】解：因为由二项式定理的通项公式可知

C"i°d10—3厂=4/=2的系数为C；=10

14.已知双曲线C：1—与=1（0〉0）〉0）的左，右焦点分别为&,离心率为e,点P在C上，且

ab

归国=2\PF^,则满足条件的一个e的值为.

【答案】2（写出（1,3]中的任意一个实数即可）

【解析】

【分析】利用双曲线的定义及性质计算即可.

【详解】先证双曲线上一点到焦点的距离最小为C—。.

22

设C:♦—/=1（4〉0口〉0）右支上一点尸（%,%）（%>〃），笈（G。），

则尸K_c）+y；=、-^片—2CXQ+4=卜%0—tz|»

由九.24得PF2=exQ-a>c-a.

由题意及双曲线的定义得|P耳|=2|PE|』P娟—忸到=|「囚=2a2c—ane«l,3］,

故写出。,3］中的任意一个实数即可.

故答案为：2（写出（1,3］中的任意一个实数即可）.

6Farey序列是指把在。到1之间的所有分母不超过〃（〃eN*）的最简分数及0（视为；）和1（视为：；）

0111231

按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作尸一小例如尸一4就是则下一7的项数

1432341

为.

【答案】19

【解析】

【分析】根据Farey序列构成的数列｛E-科的性质，利用列举法，即可求解.

【详解】根据题意Farey序列构成的数列但一科,

0111121231432534561

可得但-7｝的各项为:

1765473572753745671

共有19项，所以7的项数为19.

故答案为：19.

16.已知函数“X）的定义域为R,对于任意实数须丁均满足了［三苴〃x)+2〃y)

"2)=1,/⑸=10,则/(50)=

【答案】145

【解析】

【分析】令x=5,y=2即可求出/(3)=4,令％=2,y=5即可求出/(4)=7,观察猜想

/(八)=3(〃—1)—2=3"—5,再用数学归纳法证明即可.

【详解】令x=5,y=2即可求出/'(3)=4,

令x=2,y=5即可求出"4)=7,

=—〃6)=3/^±1^,2〃3)=3/(4)—2/(3)=13

结合"2)=1,/(3)=4,〃4)=7,"5)=10,"6)=13可猜想”")=3(〃—1)—2=3n—5.

下面用数学归纳法证明：

当时，由上述知/(〃)=3/-5成立.

假设当〃三左(“，左eN*)时有f(n)=3n-5,

则当〃=左+1时，不妨设左26,

+1+25

/(^+1)=3/^^^3^-^-2/(^-5)=3/(^-3)-2/(^-5)

=3(3(3—3)—5)—2(3(左一5)—5)=3(3+1)—5.

所以/(〃)=3〃一5成立，所以f(50)=3x50—5=145.

故答案为：145.

四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图1,在梯形ABCQ中，ABCD,AB=AD=-CD,/A£>C=120°,E为。中点，将VADE

2

(1)证明：PBLAE-,

(2)当二面角尸-AE-3等于90°时，求以与平面PEC所成角正弦值.

【答案】(1)证明见解析

VfT

(2)

7

【解析】

【分析】(1)根据题意，取AE中点为。，连接尸。，BO,BE,由线面垂直的判定定理可得AE,平面PO8,

从而证明PBLAE-,

(2)根据题意，以。为原点，04OB,。尸所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，结合空

间向量的坐标运算即可得到结果.

【小问1详解】

证明：取AE中点为。，连接尸。，BO,BE,

由题可知，DA^DE=AB=BE,又PE=DE,所以已4=尸石，

所以POLAE,BOLAE,

又POcBO=O,PO,30u平面POB,

所以平面尸。8,

又因为PBu平面尸。2，所以

【小问2详解】

因为二面角尸-AE-3等于90°,所以平面朋平面ABCE,

平面PAE、平面A8CE=AE,因为P0_LAE,所以P0_L平面42CE,

所以04,OB,0P两两垂直.

以。为原点，。4OB,。尸所在直线分别为无轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，

不妨设AB=2,由已知得NAPE=120°,所以OP=Ofi=l,OA=OE=0

则P(0,0,l),A(G,0,0),5(0,1,0),C(-273,l,0),E(-A0,0),PA=(Ao,-1),=(73,0,1),

EC=(-73,1,0),

.,、\Gx+z=0

设平面PEC的法向量"=(x,y,z),则《广，

[-氐+y=0

取平面PEC的一个法向量n=。，出，-塔,

设刚与平面PEC所成角为氏贝！Jsin9=COS(PA,72)=——厂=—

即PA与平面PEC所成角的正弦值为叵.

7

18.记A5C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知」RC的面积为43r.

12

-、.4_兀esin8

6sinC

22

(2)求巴上。的最大值.

ac

【答案】(1)也

(2)4

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理及三角形面积公式计算即可；

(2)利用三角形面积公式结合余弦定理化问题式为-------=4sinB+-\,结合三角函数的性质计算最

acI6J

值即可.

【小问1详解】

由于IS^ABC=g'匕csinA=■匕*,所以。=J^c,

由正弦定理可得辿曰=2=6.

sinCc

【小问2详解】

由于S^BC=；acsin3=普。2,所以y=2JjacsinB；

由余弦定理可得4+°2=2accos5+〃，

22(2y/3sinB+2cosB^ac

所以厂+矿=2氐inB+2cosB=4sin[5+£),

acac

2,2

则当8=9时，取得最大值4.

19.已知某排球特色学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为7人、6人、2人.

(1)若从该校队随机抽取3人拍宣传海报，求抽取的3人中恰有1人来自高三年级的概率.

(2)现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这3个动作技术进行训练，且在训练阶段进行了多轮测

试，规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在

某一轮测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为3，乙同学每个动作达到“优秀”的

2

概率均为且每位同学的每个动作互不影响，甲、乙两人的测试结果互不影响.记X为甲、乙二人在该

轮测试结果为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)—

35

(2)分布列见解析；期望为生

54

【解析】

【分析】(1)根据抽取的3人中的人数分配情况，结合古典概型，即可求解；

(2)由题意可知，甲和乙都分别服从二项分布，并分别计算甲和乙优秀的概率，再根据随机变量X的取值,

并计算概率，即可求分布列和数学期望.

【小问1详解】

02cl

设事件A为“抽取的3人中恰有1人来自高三年级”，则有。(4)=患2=获

【小问2详解】

设甲同学在一轮测试中3个动作“优秀”的个数为匕则有y〜33,g；

设乙同学在一轮测试中3个动作“优秀”的个数为Z,则有Z~B3,：

所以甲同学在一轮测试结果为优秀的概率

I3

P(y.2)=P(y.2)+P(y=3)=cIgJxg+c^ljxQj4

乙同学在一轮测试结果为优秀的概率

P（Z,2）=P（Z=2）+P（Z=3）=C^|JX[0+C（|JX[1J=|2

由题意，得X可取0,1,2；

则有P(x=0)=1—扑1一卦》P(x=i)=lxi-|2+1-1x|2=l;

P(X=2)」x""

'/22727

所以X的分布列为:

因此X的数学期望E(X)=0X(+1X5+2X^=^.

20.雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的,

如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：

将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到

图②；

将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；

按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线(Kochsnowflake).

现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为《、鸟、…、己、….小明为了研究图形匕的面积，把图

形4的面积记为4,假设。1=1,并作了如下探究：

—・・・

P1P2尸3尸4Pn

n-1

前一个图形多出的每一个三角形的面积是[I]

・・・

P1Pl尸3尸4Pn

_

.・・

边数312481923X4"T

・・・

从尸2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数\,312483x4""

j_11r

从尸2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积・・・

\J991

=一+邛『（

所以%=a_+3x4"一2neN\n>2）.

nx74

【小问2详解】

当刀之2时,

a

n=（a“—）+（a”T一q.2）+（。”-2—。“—3）+…+（。1一。2）+（。2一

n

44

n—1n-2.

344+1=，9

I++•••+§

44IT

又因为囚=1,符合上式,

所以七小电（

〃£N*

小问3详解】

797383,4丫一|7971

由>TT7T，得-----X—>-----，则<---,

50055（9）500100

/、41

所以（〃-1）35＜一2,故"〉环也+1,

由lg3a0.477,1g2«0.301,故〃>6.682,又因〃eN*，所以〃之7,

797

所以从第7个图形开始雪花曲线所围成的面积大于——

500

21.已知动点T为平面内一点，。为坐标原点，T到点b（1,0）的距离比点T到y轴的距离大1.设点T的轨

迹为c.

(1)求c的方程；

(2)设直线/：x=-l,过尸的直线与C交于A,8两点，线段的中点为过M且与y轴垂直的直

线依次交直线04,0B,/于点N,P,Q,直线。2与/交于点E.记的面积为△EPQ的面

积为邑，判断SrS2的大小关系，并证明你的结论.

【答案】(1)V=4%

(2)S,=S2,证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用两点距离公式及点线距离求轨迹方程；

(2)设直线AB:x="y+l,A"，乂,B，联立轨迹C,应用韦达定理依次求出M,N,P,Q

I4JI4J

坐标，进而确定|MN|=|PQ|,再求出E坐标，即可证结论.

【小问1详解】

设T(x,y),由题意得J(x—I)?+/二二x+1，化简得y2=4x,

故所求动点T的轨迹方程CV=4x

【小问2详解】

SrS?的大小相同，证明如下：

(2\

B小，

设直线AB：x="y+l,A—，^,

14)L7

x=my+l。

由《？得：y-4mx-4=0,A=16m2+16>0,则%+%=4m，y^=-4.

y=4x2

(22

线段AB的中点为M,则取"%,

I8

又直线。4:y=&x,令y=%+为，则x=23=.，故N下，『，

X-288I82J

同理,21二4,则|MN|=才+£_y”4=£+4ip1=

(82)888118v78

\MN\=\PQ\.

4—4yy

又直线03:y=-x,令》=—1,则丁=一=即E（—1,%）,

为为为7

综上，S1=S>

【点睛】关键点点睛：由M,N,P,Q共线，求出它们的点坐标证明|MN|=|PQ|,再证A、E纵坐标相等.

22.己知函数/'(x)=(x-e)lnx.

(1)若直线y=(l—e)x+b与曲线y=/(x)相切，求6的值；

⑵若