2024年中考数学第一次模拟试卷（山西卷）（全解全析）

2024年中考第一次模拟考试(山西卷)

数学•全解全析

第I卷

一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)

1.-2的相反数是()

O

11

A.8B.-8C.——D.-

88

【答案】D

【解析】解：的相反数是

OO

故选：D.

2.观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

【答案】B

【解析】解：第一个图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此图案不符合题意;

第二个图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故此图案符合题意；

第三个图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此图案不符合题意；

第四个图案不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此图案不符合题意.

故选：B.

3.下列运算正确的是()

A.a3«a2=a6B.(af)2~a2b6

C.(a-b)2=°2-b2D.(a+b)(-a-b)=a~-b2

【答案】B

【解析】解：a3-a2=a5,故选项N错误，不符合题意；

(aa)2=a2b6,故选项8正确，符合题意；

(a-Z>)2=a2-lab+b1,故选项C错误，不符合题意;

(a+6)(-a-Z>)=-a2-lab-b1,故选项。错误，不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用.

4.“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启

示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值.苔花也被称为“坚韧之

花”.袁枚所写的“苔花”很可能是苔类抱子体的苞荫，某抱子体的苞荫直径约为0。000()84相，将数据0.0

000084用科学记数法表示为8.4x10。则”的值是()

A.6B.-7C.-5D.-6

【答案】D

【解析】解:0.0000084=8.4x106,

则〃=-6,故选：D.

5.如图，是一个底部呈球形的蒸储瓶，球的半径为6c%,瓶内液体的最大深度CD=3c%,则截面圆中弦/

C-6^3cirD.8cm

【答案】C

【解析】解：由题意得：0CJ_48,

:.AC=BC=LB,ZOCA=90°,

2

OA=OD=6cm,CD=3cm,

：.OC=OD-CD=6-3=3(cm),

在Rt^CMC中，由勾股定理得：^C=7OA2-OC2=V62-32=3^3(CW),

：.AB^2AC=643(cm).

...截面圆中弦N2的长为6y/3cm,

故选：C.

6.如图，将质量为10饭的铁球放在不计重力的木板。8上的/处，木板左端。处可自由转动，在8处用

力尸竖直向上抬着木板，使其保持水平，己知。/的长为加，03的长为g取10N/kg,则尸关于

x的函数解析式为()

AAB

A.B.C.F=^D.

XXXX

【答案】A

【解析】解：取10M修，铁球质量为10馆，

；.G=%g=lOxio=ioo(N),

OA=Im,OB=xm,

.•.由杠杆平衡原理可得：FxOB=GxOA,即尸-x=100x1,

：.F关于x的函数解析式为

X

故选：A.

7.某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图

②是其示意图，其中CD都与地面/平行,ZBCD=60°,ZBAC=54°.当/M4c为()

4W■与C3平行.

E

长。)

驼「

F

图①图②

A.16B.60C.66D.114

【答案】C

【解析】解：：/bCD都与地面/平行，

：.AB//CD,

，ZBAC+ZACD=1SO0,

ZBAC+ZACB+ZBCD=lSO°f

VZBCD=60°,/BAC=54。,

：.ZACB=66°,

・••当NM4C=N4C5=66。时，AM//CB,

故选：C.

8.已知反比例函数y=-L,下列结论不正确的是（）

X

A.图象经过点（-1,1）

B.图象在第二、四象限

C.当x<0时，y随着x的增大而增大

D.当x>l时，-1

【答案】D

【解析】解：/、（-1,1）代入y=」，得：左边=右边，故本选项正确；

X

8、图象在第二、四象限内，故本选项正确；

C、在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项正确；

。、当x>l时，-l<y<0,故本选项不正确；

不正确的只有选项。.

故选：D.

9.如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），/为入口，F,G为出口，其中直行道为AB,CG,

EF,且AB=CG=ER弯道为以点。为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为90。，甲、乙两车由/口同

时驶入立交桥，均以12加/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）

的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列说法错误的是（）

A

图1图2

A.甲车从G口出，乙车从歹口出

B.立交桥总长为252加

C.从厂口出比从G口出多行驶72加

D.乙车在立交桥上共行驶16s

【答案】D

【解析】解：根据两车运行时间，可知甲车从G口出，乙车从尸口出，故/正确；

由图象可知，两车通过前、而、危弧时每段所用时间均为3s,

通过直行道/B,CG,£尸时，每段用时为4s.

所以立交桥总长为（3x3+4x3）xl2=252m,故3正确；

根据两车运行路线，从月口驶出比从G口多走而，赢弧长之和，

用时为6s,则多走72%,故C正确；

根据题意乙车行驶时间为：4x2+3x3=17秒，故。错误；

故选：D.

10.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形。48cDE绕点。顺时针旋转"个45。，得到正六

【答案】B

【解析】解：由题意可知：正六边形绕点。顺时针旋转一圈，旋转了8个45。,

,当〃=2030时，2030+8=253……6,...02030的坐标与的坐标相同,

如图所示：过点。WLOE于点过点。作Lc轴于点尸,

FE^HO/

VZDEO=120°fDE=EO=\,

：.ZEDO=NDOE=30。,

,：NO/0=90。，

・・・NFDE=30。,

・••在Rt△。在中，3Q0二器，

C0SDE

,V3

•*,DF=DEcos30°一^-，

...在RMOD尸中，sin60°=->

诋，

006=00=73,NEOD6=60。,

又：/D6Ho=90°,在RtzXO/TO6中,

cos60°=-,，sin60°=而

A/Q2

,#0H=0Dgcos600HD6=ODgXsin600方，

又・・•点。6在第三象限，

...点。6的坐标为（二巨，-3），

22

故选：B.

第II卷

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.计算：(73W2)(V3-V2)2=---------

【解析】解：原式=（V3+V2）x（V3-V2）X（V3-&）

=（3-2）X（73-近）

=加一匹

故答案为：Vs-V2-

12.化学中直链烷妙的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1〜10时，依次用天干——甲、乙、丙、

丁、戊、己、庚、辛、壬、癸一表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结

构式中的个数是.

HHHHH

H

—

II—I

CcI

CH-Cc

—

—

I—I—C—H

I

HHHHH

①②③H

【解析】解：由图可得，

甲烷分子结构式中的个数是2+2x1=4；

乙烷分子结构式中“厅'的个数是2+2X2=6；

丙烷分子结构式中“b’的个数是2+2x3=8；

第7个庚烷分子结构式中的个数是：2+2x7=16；

故答案为：16.

13.如图，在△A8C中，按以下步骤作图：①以点/为圆心，适当长为半径作弧，分别交48,NC于点

N；②分别以点N为圆心，大于/MN的长为半径作弧，两弧交于点尸；③作射线4P交2C于点。，

若N8：AC=2：3,A4BD的面积为2,则△48。的面积为.

【解析】解：过点。作于点E,作于点尸,

A

由作图可知，射线4尸为NA4C的平分线，

:・DE=DF,

■:小4c=2：3,SAABD-|AB-DE-SAACD-|AC-DF-

•'•SAABD：SAACD—2：3,

；AABD的面积为2,

.•.△NCD的面积为3,

,△ABC的面积为SZUBO+%4CD=2+3=5.

故答案为：5.

14.有甲、乙两把不同的锁和/、B,C三把不同的钥匙.其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙

不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是.

【解析】解：因为三把钥匙中只有1把能打开甲锁，

所以随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是工.

3

故答案为：1.

3

15.如图，在正方形/BCD中，AB=3版,M为对角线AD上任意一点（不与2、。重合），连接CM,过

点M作ACV_LCA/,交线段于点N.连接NC交8。于点G.若BG：MB=3：8,贝1JNG・CG=

【解析】解：如图，把绕点C逆时针旋转90。得到△8HC,连接GH,

：.MC=HC,DM=BH,ZCDM=ZCBH=45°,ZDCM=ABCH,

；・/MBH=90。,/MCH=90。,

ZCMN=ZCBN=90°,

：.M,N、B、。四点共圆，

・•・ZMCN=45°,

：./NCH=45。,

在AVCG和△HCG中，

'MC二HC

<ZMCN=ZNCH，

CG=CG

AMCG^AHCG(SAS),

：.MG=HG,

,:BG：MB=3：8,

：.BG：MG=3：5,

设6G=3a,则MG=GH=5a,

在RtZkBGH中，BH=4a,则“。=4a,

•・•正方形ABCD的边长为3加，

:,BD=6,

：.DM+MG+BG=12〃=6,

,_1

••a——,

2

:.BG=3,MG=^-,

22

,/ZMGC=ZNGB,ZMNG=/GBC=45°,

：.AMGN^/\CGB,

•.•GC--M-G,

GBNG

/.CG-NG=BG，MG=".

4

故答案为：生.

4

三、解答题(本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(10分)⑴计算：卜1|一(万-2022)°+&]-2tan45°

(2)下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务.

因式分解：(30+6/-(a+36f

解：原式=(9/+6a6+62)-(a2+6a6+96，第——步

=8/一8/第二步

=8(/_〃)第三步

任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是公式；

②第三步进行因式分解用到的方法是法.

任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是.

任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确

的解答过程.

【解析】(1)解:原式=1一1+2-2x1=0.

(2)任务一：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式；

②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法；

任务二：小明因式分解的结果不彻底，还可以进行因式分解；

任务三：原式=[(3a+6)+(a+3划[(3a+b)-(a+3b)]

=(4a+46)(2〃-2b)

=8(a+bXa-6)

故答案为：任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解不彻底(或还可以进行因式分解);

任务三：8(a+6)(a-b).

17.(7分)解分式方程：士3.

x-44-x

【解析】解：1」一

x-44-x

去分母得：x-4-3=3-%,

解得：x=5,

经检验：x=5是分式方程的解.

18.（9分）某校在课后服务中，成立了以下社团：A.计算机，B.围棋，C.篮球，D.书法每人只能加入

一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查

结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中。所占扇形的圆心角为150°.

请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有360人:

（2）请你将条形统计图补充完整；

（3）若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；

（4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学,

两名是女同学.现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率.

【解析】解：（1）丫。所占扇形的圆心角为150。，

,这次被调查的学生共有：150+典=360（人）；

360

故答案为：360.

（2）C组人数为：360-120-30-150=60（人）,

故补充条形统计图如下图：

人数/人

120

00

80

60

40n为

20B

一

目

项

图2

（3）1800x^-=300（人），

360

答：这1800名学生中有300人参加了篮球社团，

（4）设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：

开始

甲乙

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

•.•一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种，

•口一8_2

-P（一里一女）一12~3-

19.（8分）为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个N品牌的

足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个/品牌的足球和2个2品牌的足球共需360元.

（1）求/,8两种品牌的足球的单价.

（2）2023年学校购买足球的预算为6400元，总共购买100个球且购买N品牌足球的数量不多于3品牌

足球数量的2倍，有几种购买方案.

【解析】解：（1）设/品牌的足球的单价为x元/个，5品牌的足球的单价为y元/个，

根据题意得：（2x+3y=38°,

14x+2y=360

解得：卜=40.

ly=100

答：A品牌的足球的单价为40元/个，B品牌的足球的单价为100元/个.

（2）设购买/品牌足球。个，则购买8品牌足球（100”）个.则fa<2（100-a）,

l40a+100（100-a）<6400

.•・604a4粤，

可取60,61,62,63,64,65,66共7种购买方案.

答：有7种购买方案.

20.（8分）学科综合

我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1）,我们把“=色哈称为折射率

sinP

（其中a代表入射角，0代表折射角）.

观察实验

为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块。，但不在细

管儿W所在直线上，图3是实验的示意图，四边形N8FE为矩形，点/,C,8在同一直线上，测得3尸

=12cm,DF=16cm.

<1）求入射角a的度数.

（2）若BC=】cm,求光线从空气射入水中的折射率〃.（参考数据：sin53°^―>cos53"〜旦，

55

tan53°〜争

由题意得：四边形。G8F是矩形，

.\DG=BF=12cm,BG=DF=16cm,

在RtADGB中，tanNBDG=毁=也=性

DG123

ZBDG=53。,

：./PDH=/BDG=53°,

，入射角a的度数为53°；

(2)'：BG=16cm,BC=7cm,

:.CG=BG-BC=9(cm),

在RtACDG中，DG=12cm,

DC=VCG2+DG2=V92+122=15(加,

...sin|3=sinNGDC=%=且=2,

CD155

由(1)得：ZPDH=53°,

sinZPDH=sina»—,

5

/.折射率n_sinCL__5__4

sinB33

5

...光线从空气射入水中的折射率〃约为里.

3

21.（8分）阅读与思考

下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务：

由一道习题引发的思考一“十字架模型”的拓展研究

在我们教材上，有这样一道习题：如图1,四边形N8CD是一个正方形花园，E,尸是它的两个门，要修

建两条路BE和NR且使得凡那么这两条路等长吗？为什么？

对于上面问题，我是这样思考的：

:四边形/BCD是正方形，：.AB=AD,ZBAE=ZADF=90°.

又\'BE±AF,：.NBEA+/DAF=ZDAF+ZAFD=90°

：.ZBEA=ZAFD,（依据*）

2RtACMF,:.BE=AF.

有趣的是对于两个端点分别在正方形/BCD一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，是否这两

条线段仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究：

如图2,在正方形48。中，若点M、N、尸、。分别是48、CD、BC、/£＞上的任意四点，MMNLPQ,

垂足为。，则〃N仍然与尸。相等.理由如下：

过点M作〃E_LCD,垂足为£,过点尸作P7U4D,垂足为尸.则容易证明四边形/"ED和48PF均为

矩形，

：.ME=AD,PF=AB.,：AB=AD,：.ME=PF

在四边形。0A©中，VZNOQ=ZD=90°,

任务：根据上面小论文的分析过程，解答下列问题：

(1)画横线部分的“依据*”是在等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，等式仍成立

(2)在小论文的分析过程，主要运用的数学思想有：AC.(从下面选项中填出两项).

A.转化思想

B.方程思想

C.由特殊到一般的思想

D.函数思想

(3)请根据小论文提供的思路，补全图2剩余的证明过程.

【解析】解：(1)在等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，等式仍成立；

(2)由正方形中的顶点/和顶点8转变成为点/和点N,所以是由特殊到一般的转化思想,

所以/C正确.

故选为：AC.

(3)证明：过点“作ME_LCD,垂足为E,过点P作尸/_L/D,垂足为尸.

则容易证明四边形AMED和ABPF均为矩形，

；.ME=AD,PF=AB,

'：AB=AD,

：.ME=PF

在四边形QOND中，

•?ZNOQ=ZD=90°,ANOQ+AD+AOQD+ZOND=360°,

ZOQD+ZOND=180°,

ZFQP+ZOQD=180°,

NFQP=ZOND=ZMNE,

VZFQP+ZQPF=90°,/MNE+NNME=90。,

：.ZQPF=ZNME,

,：ZQPF=ZNME,ME=PF,ZPFQ=ZMEN=90°,

：./\MNE^/\PQF(SAS),

:.MN=PQ.

22.(12分)综合与实践：

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学

知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.

(1)发现问题：如图1,在A48C和A4E尸中，AB=AC,AE=AF,/BAC=/EAF=30。,连接BE,C

F,延长BE交CF于点、D.则BE与C/的数量关系：BE=CF,ZBDC=30°：

(2)类比探究：如图2,在△NBC和中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=]20°,连接BE,

CF,延长BE,尸C交于点。.请猜想BE与CF的数量关系及。的度数，并说明理由；

(3)拓展延伸：如图3,A42c和△/斯均为等腰直角三角形，NBAC=/EAF=9Q。,连接BE,CF,

且点8,E,尸在一条直线上，过点/作凡垂足为点贝ijB尸，CF,之间的数量关系：B

F=CF+2AM:

(4)实践应用：正方形4BCD中，AB=2,若平面内存在点P满足/APD=90。，PD=1,贝”AXBP=_

7+V7瑞7-V7

厂〜4-,

理由如下：如图1所示:

•/AABC和都是等腰三角形,

：.AB=AC,AE=AF,

又•/NBAC=ZEAF=30°,

:.AABE冬dACF(SAS),

：.BE=CF,

・•・/ABE=/ACD,

「ZAOE=NABE+NBAC,

ZAOE=ZACD+ZBDC,

：.ZBDC=ZBAC=30°；

图1

(2)BE=CF,/BDC=60。,

理由如下：如图2所示：

证明：VZBAC=ZEAF=nO°f

：.ABAC-NEAC=ZEAF-ZEAC,

即/BAE=NCAF,

又・・・AABC和A4E尸都是等腰三角形，

；・AB=AC,AE=AFf

：.ABAE^/XCAF(SAS)

:,BE=CF,

：.NAEB=/AFC,

VZEAF=nO°fAE=AF,

：.NAEF=N4FE=30。,

・•・ZBDC=NBEF-ZEFD=ZAEB+300-(ZAFC-30°)=60°；

理由如下：如图3所示:

,/AABC和都是等腰三角形，

；.NCAB=NEAF=90。,4B=AC,AE=AF,

：.ACAB-ZCAE=NE4E-ZCAE,

即：NBAE=NCAF,

.,.△BAE沿MAE(S/S),

：.BE=CF,

"CAMLBF,AE=AF,/E4F=90°,

：.EF=2AM,

'：BF=BE+EF,

(4))如图4所示：

连接AD,以为直径作圆，

由题意，取满足条件的点尸，P,则PZ)=PZ)=1./BPD=NBPD90°,

:.BD=2近,

5P=VBD2-PD2=V(2V2)2-12=V7，

连接R4，作/凡LP2于点尸，在2P上截取2E=PZ),

VZPDA=ABE,AD=AB,

：./XADP^AABE(S/S),

：.AP=AE,ZBAE=ZDAP,

：.ZPAE=90°,

由(3)可得：PB-PD=2AF,

出也=互工，

22

/.S^PAB=—PB-AF=