2024年教研联盟高三3月联考数学试题及答案

绝密★启用前（新高考卷）

数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2_

1.已知复数2="^,则2=

1+1

A.1—iB.-1+iC.2—2iD.2+2i

-y

2.已知集合/={x|-l<x+1<2},xj—।+p----1=0>,则/口8=

、用\x~2\,

A.|-1<x<01B.{x\-2<x<0j

C.{x[0<x<l}D.{x[0<x<2}

3.已知点48,C,。为平面内不同的四点，若茄=2夕-3反，且就=（-2,1）,则布=

A.（4,-2）B.（-4,2）C.（6,-3）D.（-6,3）

4.函数/（x）=（2x+a）2-bg2（23、川+2）是偶函数，则a的值为

1333

A.-B.-C.-D.-

8248

5.知名数学教育家单博曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的最密的将

球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为

—的球，则这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为

2

.4A/2D2A/2_V2c6

-----兀D.----7C

3336

2

6.已知点。为坐标原点，点/为直线歹=丘小。0）与椭圆C：1+V=l(a>l)的一个交点，点8在C上,

114

OA1OB,若—+」==，则。的长轴长为

\OA[\OB[3

A.V3B.3C.2A/3D.6

7.已知〃=~^-+,，b=\n-,c=（log67-l）ln5,则

10115v667

数学试卷（新高考卷）第1页（共4页）

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b

8.已知第一象限内的点P在双曲线C：』-与=15>0*>0）上，点2关于原点的对称点为。，耳，鸟是

ab’

C的左、右住点，点M是△尸片修的内心（内切圆圆心），M在牙轴上的射影为AT,记直线尸AT,W的

FM'

斜率分别为左，右，且左•内•右7=9，则。的离心率为

A.2B.8C.2亚D.2M

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.近几年随着AI技术的发展，虚拟人的智能化水平得到极大的提升，虚

2014—2022年中国虚拟主播企业注册增加数

拟主播逐步走向商用，如图为2014〜2022年中国虚拟主播企业注册年增948

加数（较上一年增加的数量）条形图，根据该图，下列说法正确的是564

A.2014〜2022年中国虚拟主播企业注册数量逐年增加410

256

B.2014-2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为410

四咎各普II/「UI

201420152016201720182019202()20212022

C.2014-2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为915

D.从图中9年企业注册增加数字中任取2个数字，这两个数字的平均数大于110的概率为三

10.过点尸（应6）作直线/与函数/。）=-21的图象相切，则

A.若尸与原点重合，则/方程为y=0

B.若Z与宜线x-6y=0垂直，V-W6a+b=4

C.若点P在/、（%）的图象上，则符合条件的/只有1条

D.若符合条件的/有3条，贝

b2

11./（x）=|sinx|cosx+sin2x,则

A.7（x）的图象关于点管,0）对称

B./（X）的值域为

C.在区间（0,50）上有33个零点

3

D.若方程/(x)=-在(0/)(/>0)有4个不同的解x,.(t=l,2,3,4),其中x,.<^+1(/=1,2,3)，则

55兀85兀

x+x+x+x+t的取值范围是

1234'129~12

数学试卷（新高考卷）第2页（共4页）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（2x+l）［；x-l）的展开式中x的系数为.

13.平面几何中有•一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心（一:角形三条高的交点）的距离等于

外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.若点儿仇C都在圆E上，直线BC方程为x+>-2=0,且

忸C|=2而，Zi/BC的垂心G（2,2）在△/8C内，点E在线段/G上，则圆E的标准方程为.

1A

14.四边形/BCD中，BD=2,smZABD=-ADtan-,CD=2BC,设△48。与△BCD的面积分别为号，S,,

42-

则$同的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

已知等差数列｛%｝满足+6=。，a4+a6=a3+\.

（1）求;

（2）若仇=旦二，数列也“｝的前”项和为S,，求S"最小时对应的〃的值.

44+2

16.（15分）

如图，在三棱锥Z-BC0中，4B=9,其余各棱的长均为6,点E在棱NC上，AE=2EC,过点E的平

面与宜线8垂直，且与BC,CD分别交于点RG.

（I）确定尸,G的位置，并证明你的结论；

（2）求直线。/与平面。E厂所成角的正弦值.

数学试卷（新高考卷）第3页（共4页）

17.(15分)

某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y(cm)与身高

x(cm)之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据：

X159165170176180

y6771737678

(1)根据上表数据，可用线性回归模型拟合》与x的关系，请用相关系数加以说明;

(2)建立夕关于x的M归方程(系数精确到0.01);

(3)从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X,求研X).

参考数据：，XA=62194,）£（乂-了）=8.6,J282a16.8

?=iV1=1

£1,7)(凹-力

参考公式：相关系数r1=\回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小一乘估计公式

分另U为6二—~~-----------,a=y-bx.

中」丫

i=l

18.(17分)

已知倾斜角为a(0<a<：］的直线/与抛物线C：V=2px(p>0)只有1个公共点N,C的焦点为P，直

线/F的倾斜角为小.

(1)求证：；

(2)若0=1,直线/与直线x=-L交于点尸，直线4F与。的另一个交点为3,求证：PA1PB.

2

19.(17分)

已知函数f(x)=-x3+3x2+tz(x>0)，g(x)=xlnx+4zx2-lx.

(1)若/'(x),g(x)的导数分别为广⑶笈⑴，且卜，(x)<0}端中求Q的取值范围；

(2)用min{a/}表示见人中的最小值，设〃(x)=min{/(%),g(x)},若同>1,判断力(工)的零点个数.

数学试卷(新高考卷)第4页(共4页)

绝密★启用前（新高考卷）

数学参考答案

1.【答案】B

22

【解析】因为z1i,所以三1i,故选B.

n

2.【答案】C

xx2

【解析】因为Ax1x12x2x1B

X2|o

xOx2

,所以

AB|x0x1,^C.

3.【答案】D

【解析】由BD2DA3DC得BDDA3DA3DC即BA3CA,XAC21,所以AB=3AC=63,

故选D.

4【答案】D

3X13

O22

【解析】因为fx是偶函数，所以fxfX8axlog2.3x12出3x=0,所以a故选D

oo

5.【答案】D

【解析】以8个顶点为球心的球各有:在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有］在正方体内，所以这些

oZ

球在正方体的体积之和为4个半径为1g的球的体积之和,

所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积

4士口CL3

之比为3下

故选D.

86

6.【答案】C

ykx

a2a2a2k2小

,由OAOB可得x22

【解析】设AXi,%,BX,丫2,由X?I得娟c所以

2y2a2

T1

记

2

a21a2a2k211821k11

IOAI21k2xl2|0B|21x22所以1

222212

a2k21'ak2|0A|pB|a%a'

2

i4

所以i43,C的长轴长为2aM，故选c.

a3

7.【答案】A

数学参考答案（新高考卷）第1页（共8页）

【解析】设fXInx1xx0,则fx工1o,fx在o

x1上单调递减，

所以fXf00,所以XInX1,——In—In—=ln-,In-5

1011

I。1155I/nn5）

222

_2lg5lg711

sg唾区—峨：—产产

lg5lg6Ig51g6Ig51g6Ig51g6

所以abc,故选A.

&【答案】A

【解析】设圆M与PF「PF?分别切于点AB,则|F网卜"，且|£A|RM||^?||AP||M•

,月|F2Pl,厚=2@2c,所以,加|ac,点Ma,。，设Px1,力，Qxp%,则，1,所以

cae12

y『1kk=^______Ly"hb?2-所以Mei

122

了是，mq…nkkjmq9

e2,故选A.

9.【答案】ACD

【解析】由每年增加数均为正数，可得A正确；2014〜2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为121,

B错误；2014〜2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为948-33=915,C正确；当且仅当从33,48,76,

84,121中任取两个数字，其平均数均不大于110,所以所求概率为1\2，D正确，故选ACD.

Cg18

10.【答案】AD

2x3的图象切于点Qt,2t3,则切线斜率kft/宏b，整理得

【解析】设1与fxbtta

4t36atzb0,对于A,若P与原点重合，则ab0,所以t0,k0,1即x轴，方程为y0,A正确；

对于B,若1与直线x6y0垂直，则k6(76,t1,当t1时46ab0,6ab4,当t1

时46ab0,6ab4,B错误；对于C,当点P在fx的图象上时b2a3,4t36at22a30,

所以(ta)2(%a)0,解得ta,或t1,当a0时，1有2条，C错误；对于D,设

gt4t36at2b0,gt12t212at0,由gt0得t0或ta,符合条件的1有3条，gt有3个

零点，则gogab2a3b0,所以b2a3b0,210,。:，D正确，故选AD.

bb2

11.【答案】AB

【解析】由fnxfx,可得A正确；由-jsinxjcosx-,1sinx1得-fx-,当

数学参考答案（新高考卷）第2页（共8页）

f—=—,f———,B正确；fxcosxIsnxl2sinx,令fx0得sinx0或cosx0,

424211

x|Z,"5QW50,所以fx在Q50上有31个零点，C错误；fx是以2n为周期的周

，k2/

期函数，当XU几时fxgsin2x,fx|■在Qm上有2个实根均，与，且看a2;当x口,2口

135冗

5彳在％2n上没有实根，fx1在2%3m上有2个实根X31A,且X3x4—,

时fx乙sin2x,fx4乙

c兀C5兀所以普49兀

x32兀——,型2兀——t,X]々%x45n,所以X]x,X3x4t的取值范围是

1212

—,D错误，故选AB.

1212

12.【答案】1

【解析】2x1lxJ的展开式中x的系数为2611I5L

22

13.【答案】x32y32

18

【解析】由4ABC的垂心G2,2到直线BC距离d”，设圆E半径为r,由塞尔瓦定理可得r|EG|

2|EG|用，由圆的几何性质可得|EG|近一Wr2,联立解得|EG|&、r3,/2,因为直线BC

方程为xy20,所以直线EG方程为yx,设Ea,a,则E到直线BC距离dgg2&,解得

J2

a1（舍去）或a3,所以圆E的标准方程为x32y3218.

14【答案】y

【解析】因为BD2,由正弦定理得sinBADA^nA1A1

—ADsinA-ADtan—,所以sinA=-tanA,即

DD2422

.A

sin

9.AA7AA1A1A巴，所以cosA—,sinA

zsin—cos-1,因为S叱0,所以c*-cos——

22A22322

29cos一

2

4

由余弦定理得BD2AB2AD2ABAD3ABAD,所以ABADy,当ABAD时取等号,

114f=£,设BCt,则CD2t,

Si-ABADsinA上-在4BCD中由余弦定理得

223

225t241当t乎时,

cosC___Z,所以S2-t2tsinC1COS2

2t2t

C

S2取得最大值;.所以&S2的最大值为手.

数学参考答案（新高考卷）第3页（共8页）

15•【解析】⑴设等差数列an的公差为d,

由a5a80,a4441得

2alid0,、

”l.........................................................................（2分）

2318d312dI'

解得alHd2,...........................................................................（4分）

11n122n13....................................................（6分）

所以analn1d

⑵由⑴得an2n13,

,ani2n11

anan22n132n9

当n4时bn0,.............................................................................（10分）

n7时bn0,...............................................................................（12分）

所以Sn最小时n的值为4或6...................................................................（13分）

16.【解析】⑴取CD中点0,连接AO,BO,

由已知可得ACADBCBD,

所以AOCD,BOCD,

因为AOBO0,所以CD平面AOB,......................................................（2分）

因为CD平面EFG,

所以平面EFG〃平面AOB,....................................................................（4分）

过E作AB的平行线与BC的交点即为F,过E作A0的平行线与CD的交点即为G,

因为AE2EC,

所以BF2FC,CGIcO1-CD,

36

所以当BF2FC,CG』CD时，平面EFG与直线CD垂直.......（7分）

6

⑵由题意可得0A0B3也，因为AB9,所以AOB120,

以。为原点，直线0B,0C分别为x轴，y轴，过点。与平面BCD垂直的直线

为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

D0,30,A孚,吟d*27

乙乙乙z320

.................（8分）

数学参考答案（新高考卷）第4页（共8页）

所以DA52,3],DF点5,0,DE'，场•

（10分）

_0x5y—z0

设平面DEF的一个法向量为n=x,y,z,则有nDE，得22

n阱0信Kn

73x5y0

取x5,得n=5,国5寿,（12分）

设直线DA与平面DEF所成角为，

|n叫2^09

则sin

RM

I^2^2

15邪5邪

2

所以直线DA与平面DEF所成角的正弦值为解?

（15分）

17.【解析】⑴由表中的数据和附注中的参考数据得

850,x170,yi365,ya分）

i

ll2520262Itf282,...........................................................（2分）

_5

86,X

xyx11yi=62194170735=144,.....................（3分）

ii

144

・・r=Q997.....................................................（5分）

16.886

xix

因为y与x的相关系数近似为0.997,说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x

的关系........................................................................................（6分）

⑵由亍73及⑴得「_最….（7分）

U.乙。乙TtI

X1X

i1

--24

aybx73万170~1381,（9分）

所以y关于x的回归方程为y1381Q51x.......................................................（10分）

（说明：根据aybx730.511701370,得出y13.70Q51x

也正确，）

⑶X的取值依次为2,345,07,911,.............................................（12分）

数学参考答案（新高考卷）第5页（共8页）

2i3-111i

pX2PXpx4

c2ioio

U551U5

216-1i1i

PXPXPX

5r2

铲U551U5Ioc~io

72

11i15

P（14分）

912

Uc"ioCio

5,,P115

1111I11I27

所以EX23—4569（15分）

510105A7ioT

xttan

18•【解析】⑴方法1：设A—,t,则1的方程为yt

2p2p

与y22Px联立得y23y干0,

（1分）

tantan

因为直线1与抛物线C只有1个公共点，

所以当，42P£t20,整理得t」

tantantan

PP

所以A2，（3分）

2tan侬1

P

tan2tan

又F上,0,所以tantan2（5分）

2PP_1tan2

2tan22

JIJI

因为0-,02

所以tantan20,0

所以2..................................................................................（7分）

方法2:易知点A（%y0）在第一象限，且直线1与C相切于点A,由y再,得y£（1分）

所以1的方程为VX）"，......................................................（3分）

设1与x交于点D,则口（般0）,..............................................................（4分）

所以由抛物线的几何性质可知|AF|xO||DF|,.............................................（5分）

故ADFDAF,AFxADFDAF2........................................（7分）

⑵p1时，C的方程为y22x,

1Fxt

把p1,tan-代入yt—tan得1的方程为y-

tx2pt2

数学参考答案（新高考卷）第6页（共8页）

把X得y

t?y2

由⑴知，A,t，设B—y-,y,

2zo

设直线AB方程为xmy1,与y?2x联立得y?2my10,

是该方程的两个根，所以y°t1,所以y。]...........................................（13分）

1t

所以kPAkPB11,\2t1,..........................................................（16分）

t11

2t22

所以PAPB................................................................................（17分）

19.【解析】⑴因为fx