浙江省中考数学总复习第五章基本图形(二)第27讲图形与变换第1课时图形轴对称与中心对称讲解篇

第27讲图形与变换第1课时图形轴对称与中心对称1．轴对称与轴对称图形考试内容考试要求轴对称轴对称图形a定义把一个图形沿某一条直线折叠，如果能够与另一个图形，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是，两个图形的对应点叫做对称点．如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分能够完全，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的．区别轴对称是指两个全等图形之间的相互位置关系．轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形．轴对称的性质1.对称点的连线被对称轴____________________；2．对应线段____________________；3．对应线段或延长线段的交点在____________________上；4．成轴对称的两个图形．c2.中心对称与中心对称图形考试内容考试要求中心对称中心对称图形a定义把一个图形绕着一点旋转后，如果与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，这个点叫做其对称中心，旋转前后重合的点叫做对称点．把一个图形绕着某点旋转后，能与其自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做．区别中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系．中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形．中心对称的性质1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过____________________，而且被对称中心____________________；2．成中心对称的两个图形．c考试内容考试要求基本思想转化思想：有关几条线段之和最短的问题，都是把它们转化到同一条直线上，然后利用“两点之间线段最短”来解决．c(2016·绍兴)我国传统建筑中，窗框(如图1)的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图2，它是一个轴对称图形，其对称轴有()A．1条B．2条C．3条D．4条2．(2016·湖州)为了迎接杭州G20峰会，某校开展了设计“YJG20”图标的活动，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()(2017·衢州)如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于()A.eq\f(3,5)B.eq\f(5,3)C.eq\f(7,3)D.eq\f(5,4)4．(2017·丽水)如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是____________________．【问题】给出下列图形．(1)这些图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是________；(2)画出平行四边形ABCD关于DC所在直线对称的平行四边形A1B1C1D1；(3)通过(1)、(2)解题体验，你想到哪些知识和方法？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理轴对称图形和中心对称图形；轴对称和中心对称以及画图．类型一轴对称与轴对称图形、中心对称与中心对称图形eq\a\vs4\al(例1)(1)(2015·无锡)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．圆(2)(2017·山东模拟)如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________．【解后感悟】(1)轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图形折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合；(2)解答的关键是菱形是中心对称图形，并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半．(1)如图，△ABC中，AB＝AC，△ABC与△FEC关于点C成中心对称，连结AE，BF，当∠ACB为________度时，四边形ABFE为矩形()A．90°B．30°C．60°D．45°(2015·阳谷模拟)若∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1，P2，连结OP1，OP2，则下列结论最准确的是()A．OP1⊥OP2B．OP1＝OP2C．OP1≠OP2D．OP1⊥OP2且OP1＝OP2(2017·温州模拟)如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有种．类型二网格、平面直角坐标系中的图形变换eq\a\vs4\al(例2)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2，4)，请解答下列问题：(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；(2)画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．【解后感悟】本题运用图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连结即可．2．(1)(2015·杭州模拟)如下图均为2×2的正方形网格，每个小正形的边长均为1，请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．(2)(2017·宁波)在4×4的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上．①在图1中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形(画出一个即可)；②将图2中的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形．(3)(2015·南昌)如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．(1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．类型三轴对称变换解决折叠问题eq\a\vs4\al(例3)(1)(2016·齐齐哈尔)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，连结MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为.【解后感悟】此题运用菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形．(2)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连结DG，B′G.求证：①∠1＝∠2；②DG＝B′G.【解后感悟】本题运用轴对称的性质、平行四边形的性质、全等三角形的证明等知识，首先折叠问题是一种常见题型，折叠前后的两个图形对应边、对应角相等，也就是说折叠变换就是全等变换．另外本题考查了一种常见的解题思路，证明两条线段相等或两个角相等，可以证明它们所在的两个三角形全等．(1)(2015·莆田)数学兴趣小组开展以下折纸活动：①对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察，探究可以得到∠ABM的度数是()A．25°B．30°C．36°D．45°(2016·河南)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3.点E为射线BC上一个动点，连结AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为.类型四轴对称变换解决最小值问题eq\a\vs4\al(例4)(2015·内江)如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．2eq\r(6)D.eq\r(6)【解后感悟】此题主要运用了轴对称求最短路线以及正方形、等边三角形的性质，把线段PD与PE长度之和转化为两点之间线段最短是解题关键．4．(2016·百色)如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是()A．4B．3eq\r(2)C．2eq\r(3)D．2＋eq\r(3)【探索研究题】(2017·台州)如图，矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的eq\f(1,16)时，则eq\f(AE,EB)为()A.eq\f(5,3)B．2C.eq\f(5,2)D．4【方法与对策】利用菱形的翻折变换(折叠问题)为背景给出问题的信息，借助基本图形，即阴影部分是菱形，揭示数量关系，设AB＝4y，BE＝x，从而得出阴影部分边长为4y－2x，再由重叠部分面积是菱形ABCD面积的eq\f(1,16)，可得阴影部分边长为eq\f(AB,4)＝y，根据4y－2x＝y，求出x，从而得出答案．【对称图形的概念理解不透】以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A．等边三角形B．矩形C．等腰梯形D．平行四边形参考答案第27讲图形与变换第1课时图形轴对称与中心对称【考点概要】1．重合对称轴重合对称轴垂直平分相等对称轴全等2.180°180°对称中心对称中心平分全等【考题体验】1．B2.D3.B4.eq\f(1,3)【知识引擎】【解析】(1)①(2)(3)轴对称和轴对称图形、中心对称和中心对称图形以及对称变换画图．【例题精析】例1(1)A(2)12例2(1)如图所示：点A1的坐标(2，－4)；(2)如图所示，点A2的坐标(－2，4)．例3(1)如图，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，∴∠FMD＝30°，∴FD＝eq\f(1,2)MD＝eq\f(1,2)，∴FM＝DM×cos30°＝eq\f(\r(3),2)，∴MC＝eq\r(FM2＋CF2)＝eq\r(7)，∴EC＝MC－ME＝eq\r(7)－1.故答案为：eq\r(7)－1.(2)证明：①由折叠知，∠1＝∠CEF，又由平行四边形的性质知，CD∥AB，∴∠2＝∠CEF，∴∠1＝∠2.②由折叠知，BF＝B′F，又∵DE＝BF，∴DE＝B′F，由①知∠1＝∠2，∴GE＝GF，又由平行四边形的性质知，CD∥AB，∴∠DEF＝∠EFB，由折叠知，∠EFB＝∠EFB′，∴∠DEF＝∠EFB′，即∠DEG＋∠1＝∠GFB′＋∠2，∴∠DEG＝∠GFB′，∴△DEG≌△B′FG(SAS)，∴DG＝B′G.例4由题意，可得BE与AC交于点P.∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝2eq\r(3).又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2eq\r(3).故所求最小值为2eq\r(3).故选B.【变式拓展】1．(1)C(2)D(3)32．(1)(2)①画出下列其中一个即可．②①根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，∵D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)，∴对称中心的坐标是(0，2.5)．②∵A，D的坐标分别是(0，4)，(0，2)，∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4－2＝2，∴B，C的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)，∵A1D1＝2，D1的坐标是(0，3)，A1的坐标是(0，1)，∴B1，C1的坐标分别是(2，1)，(2，3)，综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3)．(1)B(2)eq\f(3\r(2),2)或eq