广西壮族自治区玉林市2025~2026学年高一下册期末教学质量监测数学试卷【附解析】

数学总分150分，考试时间120分钟）一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.2.已知向量，，若，则实数的值为（）A. B. C. D.3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则与的关系为（）A.互斥 B.相互独立 C.互为对立 D.相等4.在中，，则是（）A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形5.已知样本数据：5，6，6，7，8，9，9，10，12，则样本数据的70%分位数为（）A.7 B.8 C.9 D.106.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，，则7.从长度为1，3，5，7的4条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（）A. B. C. D.8.如图，已知正三角形ABC的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.5，失球个数的标准差为1.1；乙班每场比赛平均失球数是2.1，失球个数的标准差为0.4，则下列说法正确的是（）A.平均来说乙班比甲班防守技术好B.甲班在防守中有时表现较差，有时表现又非常好C.乙班很少不失球D.甲班比乙班技术水平更稳定10.已知复数，则下列说法正确的是（）A.B.复平面内表示复数的点位于第二象限C.若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为D.若复数是关于的方程的一个根，则11.如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.平面B.平面平面C.三棱锥的体积不是定值D.若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中至少有1人击中目标的概率是__________．13.已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，则的外接圆的半径为__________．14.“阿基米德多面体”又称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示的多面体，是以正方体各棱的中点为顶点构成的阿基米德多面体，该多面体有八个面为正三角形，六个面为正方形、若此多面体的棱长为4，则它的外接球的表面积为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，向量与的夹角为．（1）求；（2）求与的夹角的余弦值．16.如图，在直三棱柱中，，，点，分别为棱，的中点．（1）求证：直线平面；（2）求异面直线与所成的角的大小．17.某芯片工厂生产芯片，为了解该芯片的某项指标，从这种芯片中抽取100件进行检测，根据所得数据绘制出该项指标的频率分布直方图，如图所示：假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）求频率分布直方图中的值以及估计该芯片指标的平均数；（2）现采用按比例分配的分层随机抽样的方式，从该芯片指标在内取6件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率．18.如图，在矩形中，，为线段的中点，将沿翻折至，使得平面平面．（1）求四棱锥的体积；（2）求证：面；（3）求二面角的余弦值．19.已知分别为三个内角的对边，，．（1）求角的值；（2）如图，若，为线段上（不含端点）的两个动点，，的面积为．（i）求的值；（ii）求的取值范围．

数学总分150分，考试时间120分钟）一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据复数虚部定义判断.解答过程：复数，则虚部为.2.已知向量，，若，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：应用向量平行的坐标公式计算求解.解答过程：向量，，若，则，实数的值为.3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则与的关系为（）A.互斥 B.相互独立 C.互为对立 D.相等答案：B解析：思路：列举全部可能出现的结果，根据对立事件、互斥事件以及相互独立事件的定义逐一判断.解答过程：抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）这4种情况，事件A包括（反正）（反反），事件B包括（正正）（反正），故不相等，故D错误，由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故A，C错误；因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故B正确.4.在中，，则是（）A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形答案：D解析：思路：应用向量加法计算判断三角形形状.解答过程：在中，，则是等边三角形.5.已知样本数据：5，6，6，7，8，9，9，10，12，则样本数据的70%分位数为（）A.7 B.8 C.9 D.10答案：C解析：思路：应用百分位数计算求解.解答过程：样本数据从小到大排列：5，6，6，7，8，9，9，10，12，且，则样本数据的70%分位数为9.6.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，，则答案：C解析：思路：应用线面位置及线面平行判断A，C，应用线面平行判断面面平行判断D，应用面面垂直判断线线关系进而判断B.解答过程：，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，若，，则或，A选项错误；若，设，当，且时，则，B选项错误；若，则没有交点，又因为，所以没有交点，所以，C选项正确；若，，，，当时，则可以相交，D选项错误；7.从长度为1，3，5，7的4条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：从长度为1，3，5，7的4条线段中任取3条，共有以下4种情况，，其中这三条线段能构成一个三角形的情况为，只有1个，所以这三条线段能构成一个三角形的概率为8.如图，已知正三角形ABC的边长为，其中心为，以为圆心作半径为的圆，点M为圆上任意一点，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：连接交于点，连接，建立平面直角坐标系，设，，根据平面向量的数量积的坐标表示及辅助角公式可得，进而结合正弦函数的性质求解即可.解答过程：连接交于点，连接，在正三角形ABC中，由于O为三角形ABC的中心，且三角形ABC的边长为，则为中点，且，，，以为原点，平行于的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，由于，设，，则，，所以，由于，则.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.5，失球个数的标准差为1.1；乙班每场比赛平均失球数是2.1，失球个数的标准差为0.4，则下列说法正确的是（）A.平均来说乙班比甲班防守技术好B.甲班在防守中有时表现较差，有时表现又非常好C.乙班很少不失球D.甲班比乙班技术水平更稳定答案：BC解析：思路：由平均数及方差的大小关系逐一判断各选项.解答过程：对于A：因为，故平均来说乙班比甲班防守技术差，故A错误；对于B：甲班失球个数的标准差大，说明防守中的表现不稳定，故B正确；对于C：乙班失球个数的平均数大，且方差小，说明其失球较为稳定，故乙班很少不失球，故C正确；对于D：甲班失球个数的标准差大于乙班，说明甲班的技术水平不如乙班稳定，故D错误.10.已知复数，则下列说法正确的是（）A.B.复平面内表示复数的点位于第二象限C.若对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为D.若复数是关于的方程的一个根，则答案：ACD解析：解答过程：A选项，，A正确；B选项，复数（i为虚数单位）虚部为，点在第一象限，B错误；C选项，由题意，又，则向量，故向量对应的复数为，C正确；D选项，若复数是关于的方程的一个根，则，且也为方程的根，故，所以，即，D正确.11.如图，棱长为2的正方体中，点为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.平面B.平面平面C.三棱锥的体积不是定值D.若，则过，，三点的平面截正方体所得截面的面积为答案：ABD解析：思路：根据面面平行得出线面平行判断A，对于C：根据平行关系可知点P到平面的距离相等，结合锥体的体积公式分析判断；对于B：可证平面，即可得面面垂直；对于D：作辅助线，分析可知所求截面即为四边形，进而可得结果.解答过程：对于A，连接，，如图，作出符合题意的图形，

，，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，同理四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面平面，平面，平面，故A正确；对于选项B：因为为正方形，则，又因为平面，平面，则，且，平面，可得平面，且平面，所以平面平面，故B正确；对于选项C：因为平面平面，且平面，则点P到平面的距离相等，即三棱锥的高为定值，又因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故C错误；对于选项D：连接并延长交BC于点M，因为，则，可知M为BC的中点，取的中点，连接，因为分别为的中点，则，，且，，可得，，可知四边形为平行四边形，则，同理可得，所以，可知所求截面即为四边形，可得，即四边形为菱形，且，所以所求截面面积为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中至少有1人击中目标的概率是__________．答案：0.88解析：思路：求出两人均没有击中目标的概率，再根据对立事件的概率即可求出答案.解答过程：因为甲乙两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，所以两人均没有击中目标的概率为，所以至少有1人击中目标的概率是.13.已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，则的外接圆的半径为__________．答案：2解析：思路：应用正弦定理计算求解.解答过程：因为，且，所以，设的外接圆的半径为，由正弦定理得，所以．14.“阿基米德多面体”又称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示的多面体，是以正方体各棱的中点为顶点构成的阿基米德多面体，该多面体有八个面为正三角形，六个面为正方形、若此多面体的棱长为4，则它的外接球的表面积为__________．答案：解析：思路：根据给定条件，把多面体放在棱长为的正方体中，结合正方体的结构特征确定球心，求出球半径作答.解答过程：将该多面体放入正方体中，如图所示.

由于多面体的棱长为4，所以正方体的棱长为，因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得，所以该多面体外接球的球心为正方体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，即，所以，所以经过该多面体的各个顶点的球的表面积四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，向量与的夹角为．（1）求；（2）求与的夹角的余弦值．答案：（1）15（2）解析：思路：（1）应用平面向量数量积公式计算求解；（2）应用平面向量夹角余弦公式结合数量积运算律及模长公式计算求解.（1）；（2）．由题意知，，所以．16.如图，在直三棱柱中，，，点，分别为棱，的中点．（1）求证：直线平面；（2）求异面直线与所成的角的大小．答案：（1）连接，由已知条件，点，分别为棱，的中点，故有，又平面，平面，所以直线平面；（2）．解析：思路：（1）应用中位线得出，再应用线面平行证明即可；（2）应用平行得出或其补角为异面直线与所成的角，再计算边长得出异面直线所成角.（1）略（2）由（1）可知，，故或其补角为异面直线与所成的角．根据直三棱柱性质可知，，，因为，，所以，所以，所以，即异面直线与所成的角的大小为．17.某芯片工厂生产芯片，为了解该芯片的某项指标，从这种芯片中抽取100件进行检测，根据所得数据绘制出该项指标的频率分布直方图，如图所示：假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）求频率分布直方图中的值以及估计该芯片指标的平均数；（2）现采用按比例分配的分层随机抽样的方式，从该芯片指标在内取6件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率．答案：（1），平均数为77.6（2）解析：思路：（1）应用频率和为1，得出，再应用平均数公式计算求解；（2）应用列举法结合古典概型计算求解.（1）由题意得，解得．由频率分布直方图可得各组频率依次为：，，，，，．因为各组的组中值依次为：45，55，65，75，85，95，所以估计该芯片指标的平均数为；（2）根据频率分布直方图及按比例分配的分层随机抽样可得：指标在内取3件，分别编号为，，；指标在取3件，分别编号为，，．从芯片指标在内取6件，再从这6件中任取2件，样本空间可记为，则．记事件“指标在和内各1件”，则，．所以根据古典概型的概率公式可得：指标在和内各1件的概率为．18.如图，在矩