类比专题之等差数列与等比数列-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习类比专题之类比与转化①------等差数列和等比数列课前引入类比不仅在数学领域发挥着重要作用——例如瑞士数学家哈德·欧拉通过类比成功地解决了另一个瑞士数学家雅克·伯努利所没有解决的“求所有自然数平方的倒数之和,即的和”的问题,并用同样的方法发现了莱布尼兹级数的和,即，再如柯尔莫戈洛夫将概率和测度作类比,解决了长久以来存在的概率含义缺乏坚实数学基础的困扰,得到公理化概率论;它在其他科学发挥着巨大的作用——物理学家卢瑟福曾将原子内部的情况和太阳系类比m最后得出原子结构的行星模型说,原子极小,而宇宙博大,二者竟如此相像,类比思想确具创造性.教学目标1、掌握等差数列和等比数列的类比原则；2、利用类比原则解题。知识梳理等差数列与等比数列的类比关系1．类比关系项目等差数列等比数列定义式1an-an-1=d(n2，n∈N)=q(n2，n∈N)2an+1-an=an-an-1(n2，n∈N)=(n2，n∈N)32an=an+1+an-1(n2，n∈N)an2=an+1·an-1(n2，n∈N)等差中项a、b的等差中项A，即A=a、b的等比中项G，即G=±通项公式(1)an=a1+（n-1）d（n∈N）(1)an=a1qn-1（n∈N）(2)an=am+（n-m）d（m,n∈N）(2)an=amq（n-m）（m,n∈N）性质若m+n=s+t，则am+an=as+at若m+n=s+t，则am·an=as·at2．类比规则：序号等差数列等比数列1加法乘法2减法除法3乘法乘方4除法开方5公差d公比q601典例精讲（★）在等差数列{an}中，前n项和类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，________________________________________。答案：分析：由类比得到的结论将“加、减、乘、除”依次变成“乘、除、乘方、开方”可以得出证明：设等比数列的公比为，则，所以类比的结果正确。注意提醒学生在等比数列求积问题是，可以使用上题结论变式练习（★）、已知等差数列有一性质：若{an}是等差数列，则通项为的数列{bn}也是等差数列。类比上述性质，相应地等比数列有性质：若{an}是等比数列（an>0），则通项为bn=_____________________的数列{bn}也是等比数列。答案分析：由类比得到的结论将“加、减、乘、除”依次变成“乘、除、乘方、开方”可以得出。证明：设等比数列的公比为，则当时（常数），所以数列也是等比数列。提醒学生注意类比原则例2（★★）：在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地等比数列中，若，则有等式___________________成立.答案：分析：分析：根据我们的类比的结论将“加、减、乘、除”依次变成“乘、除、乘方、开方”和题目运算的规律，可以类比得到答案应该是：证明：由即由等比数列的性质可得故类比得到的性质正确。此题是2000年上海高考题，很经典变式练习（★★）：在共有2009项的等比数列中，有等式成立；类比上述性质，在共有2013项的等差数列中，相应的有等式成立．答案：例3（★★）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．在等差数列中，公差为，前项和为．在等比数列中，公比为，前项和为（）．(1）在等差数列中，已知，，求．(2）在等差数列中，根据要求完成下列表格，并对①、②式加以证明（其中、、、）．用表示用、表示①用表示②（3）（★★★★）在下列各题中，任选一题进行解答，不必证明，解答正确得到相应的分数（若选做二题或更多题，则只批阅其中分值最高的一题，其余各题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：(ⅰ)(解答本题，最多得4分）类比（2）中①式，在等比数列中，写出相应的结论．(ⅱ)(解答本题，最多得5分）类比（2）中②式，在等比数列中，写出相应的结论．(ⅲ)(解答本题，最多得6分）在等差数列中，将（2）中的①推广到一般情况．(ⅳ)(解答本题，最多得6分）在等比数列中，将（2）中的①推广到一般情况．提醒学生可以先根据对应原则写出结论，然后证明，对于本题的第三问，可以不进行讲解，不要求学生运算。答案：（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．(1）由，，得，，解得，，…2分故．…4分(2）①．…6分可知，．…8分②（或写成，）．…10分可知，．…12分(3）(ⅰ)．…16分(ⅱ)…17分(ⅲ)，（）．(或写成，（））．…18分(ⅳ)，（）．…18分巩固练习：（★★）已知数列为等差数列，且，则；若数列为等比数列，且，（1）类比等差数列的结果，你认为可能是什么值？（2）证明你的推测是否正确。答案分析：根据等比数列是等差数列的升级，以及由等差数列定义到等比数列定义差变成商，由等差数列的通项公式到等比数列的通项公式和变成积（积变成幂）等差和等比的性质来猜想。