类比专题之圆锥曲线中的类比思想-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习类比专题之圆锥曲线中的类比课堂引入当鲁班的手不慎被一片小草割破后,他通过仔细观察发现小草叶子的边沿布满了密集的小齿。于是便产生联想,根据小草的结构发明了锯子。鲁班在这里就运用了“类比思想”。所谓“类比思想”,就是在两类不同的事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式。类似的故事还有“叩诊法”的发现。18世纪中叶,奥地利医生奥恩布鲁格,从制酒商经常用手指关节敲叩木制酒桶,凭着叩声的不同,就能准确地估计出桶内还有多少酒。由此他联想到,是否可以把人的胸腔类比作酒桶,根据用手指敲叩患者胸部所得的不同音响来作出诊断呢?由此他发明了“叩诊法”,此法至今仍是临床医疗中常用的诊断方法之一。教学目标1、掌握圆和椭圆的类比原则2、掌握椭圆和双曲线的类比原则知识梳理椭圆与双曲线的标准方程和性质（类比）椭圆双曲线定义判断焦点位置标准方程图象a，b，c的关系焦点坐标范围对称性顶点渐近线无草图的画法焦点到渐近线的距离无待定系数法求方程等轴双曲线无典例精讲例1（★★★）已知两个圆：，①与②则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为.分析将题设中所给出的特殊方程①、②推广归纳到一般情况：设圆的方程为，③与④其中或，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程.评注本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。例2（★★★★）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.分析类似的性质为：若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值.证明：设点M、P的坐标为（）、（），则N（）.因为点M（）在已知双曲线上，所以，同理.则（定值）.评注本题以椭圆、双曲线为载体，考查直线的斜率，椭圆、双曲线的概念与方程，考查数学运算能力。例3（★★★★）圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知椭圆C：。(1）过椭圆C的右焦点作一条垂直于轴的垂轴弦，求的长度；(2）若点是椭圆C上不与顶点重合的任意一点，是椭圆C的短轴，直线分别交轴于点和点（如右图），求的值；EPNMxOF(3）在（2）的基础上，把上述椭圆C一般化为，是任意一条垂直于轴的垂轴弦，其它条件不变，试探究是否为定值？（不需要证明）；请你给出双曲线EPNMxOF答案：(1）由条件可知右焦点的坐标为…………….1分代入椭圆C的方程，得…………….3分所以…………….4分(2）设则…………….6分令则…………….7分同理可得：，…………….8分在椭圆C：上，，则…………….10分(3）点是椭圆C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。………12分点是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。…………….14分证明如下：设则令则同理可得：，在双曲线C：上，，则…………….18分巩固练习（★★★★）我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。（1）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，试求d1·d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。（2）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线（m、n不同时为0）的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1·d2的值。（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。解：（1）；联立方程；与椭圆M相交。（2）联立方程组消去（3）设F1、F2是椭圆的两个焦点，点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与椭圆相交的充要条件为：；直线L与椭圆M相切的充要条件为：；直线L与椭圆M相离的充要条件为：证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交命题得证。（4）可以类比到双曲线：设F1、F2是双曲线的两个焦点，点F1、F2到直线距离分别为d1、d2，且F1、F2在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：；直线L与双曲线M相切的充要条件为：；直线L与双曲线M相离的充要条件为：注意：圆锥曲线的