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北师大•九年级《数学(上)》你能证实它们吗第一章证实第1页26五月20242等腰三角形

知识回顾ABC等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高相互重合。等腰三角形两个底角相等.简称:等边对等角.顶角ABC底边腰腰底角底角【定义】【性质定理】【性质定理

推论】有两边相等三角形叫做等腰三角形;D高(简称:“三线合一”)第2页26五月20243如图,在△ABC中,∵AB=AC,∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥BC(三线合一).

左边方框中格式,以后能够直接利用.ACBD12如图,在△ABC中,∵AB=AC,BD=CD(已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC(三线合一).如图,在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC(已知).∴BD=CD,∠1=∠2(三线合一).轮换条件∠1=∠2,BD=CD,AD⊥BC可得三线合一三种不一样形式利用.”三线合一“三种语言及条件轮换【性质定理推论】等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高相互重合。(简称:“三线合一”)图形语言高线？符号语言中线？符号语言角平分线

?符号语言第3页26五月20244本节课学些什么？等腰三角形还含有哪些主要性质?除了用定义来判定三角形是等腰三角形外,还有一些什么简单方法来判定三角形是等腰三角形?这就是本节课学习主要内容。第4页26五月20245实践观察猜测证实画一画先画一个等腰三角形,ACB然后在等腰三角形中作出一些线段

(如角平分线、中线、高线)，你能发觉其中一些相等线段吗？你能证实你结论吗？小结顶角平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；底角两条平分线相等；两条腰上中线相等；两条腰上高线相等。ACBD●●E●●●●ACBMNACBPQ第5页26五月20246“等腰三角形两底角平分线相等”证实【例1】证实:等腰三角形两底角平分线相等.∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).ACBDE图形语言已知:求证:BD=CE.如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分线.证实:12

∠2=(已知),又∵∠1=，∴∠1=∠2(等式性质).在△BDC与△CEB中∵∠DCB=∠EBC（已知）,

BC=CB（公共边）,∠1=∠2（已证）,∴△BDC≌△CEB（ASA）.∴BD=CE(全等三角形对应边相等)第6页26五月20247“等腰三角形两腰上中线相等”证实证实:等腰三角形两腰上中线相等.BM=CN.ACBMN已知:求证:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上中线.证实:(全等三角形对应边相等)∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).又∵CM=,BN=

(已知),∴CM=BN(等式性质).在△BMC与△CNB中∵BC=CB（公共边）,∠MCB=∠NBC（已知）,

CM=BN（已证）,∴△BMC≌△CNB（SAS）.∴BM=CN第7页26五月20248“等腰三角形两腰上高相等”证实证实:

等腰三角形两腰上高相等.证实:∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).

又∵BP,CQ是△ABC两腰上高(已知),∴∠BPC=∠CQB=90o(高意义).

在△BPC与△CQB中∵∠BPC=∠CQB（已证）,∠PCB=∠QBC（已证）,BC=CB（公共边）,∴△BPC≌△CQB（SAS）.∴BP=CQ(全等三角形对应边相等)已知:

如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上高.求证:BP=CQ.ACBPQ第8页26五月20249等腰三角形中相等线段(2)这里是一个由特殊结论归纳出普通结论一个数学思想方法.′议一议ACBDE1.已知:如图,在△ABC中,

(1)假如∠ABD=,∠ACE=,

那么BD=CE吗?

假如∠ABD=,∠ACE=呢?

由此你能得到一个什么结论?

(2)假如AD=,AE=,那么BD=CE吗?

(3)你能证实得到结论吗？假如AD=,AE=呢?

由此你能得到一个什么结论?过底边端点且与底边夹角相等两线段相等.两腰上距顶点等距两点与底边顶点连线段相等.第9页26五月202410等腰三角形判定定理你是怎样思索?请与同伴交流你做法.′2.前面已经证实了“等边对等角”，反过来，“等角对等边”吗?即有两个角相等三角形是等腰三角形吗?ACB已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C.求证:AB=AC.要证实AB=AC,只要能结构出AB，AC所在两个三角形全等就能够了.如：作BC边上中线；作∠A平分线或作BC边上高.议一议分析:有两个角相等三角形是等腰三角形（等角对等边）.在△ABC中∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）.这又是一个判定两条线段相等依据之一.结论第10页26五月202411论证命题新思维与新方法小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,那么这两个角所对边也不相等.即CAB在△ABC中,假如∠B≠∠C,那么AB≠AC.想一想

你认为这个结论成立吗?

假如成立,你能证实它吗?小明是这么想:

如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时,AB与AC要么相等,要么不相等.

假设AB=AC,那么依据“等角对等边”定理可得∠B=∠C,但已知条件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，所以，AB≠AC.你能了解他证实过程吗?第11页26五月202412论证新方法----反证法

小明在证实时，先假设命题结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾结果，从而证实便是结论一定成立.这种证实方法称为反证法(reductiontoabsurdity)你可要认识“反证法”这个新朋友噢!

假设AB=AC,那么依据“等角对等边”定理可得∠B=∠C.但已知条件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾,所以,AB≠AC.反证法是一个主要数学证实方法.在处理一些问题时经常会有出人意料作用.CAB第12页26五月202413反证法证题范例求证:假如a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,

那么,这五个数中最少有一个大于或等于1/5.假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,即都不得小于1/5,那么这五个数和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.所以,这五个数中最少有一个大于或等于1/5.(用反证法来证)证实:第13页26五月202414用反证法证题普通步骤1.假设:先假设命题结论不成立;2.归谬:从这个假设出发,应用正确推论方法,

得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾结果;3.结论:由矛盾结果判定假设不正确,

从而必定命题结论正确.第14页26五月202415牛利刃不费磨刀功1.用反证法证实：一个三角形中不能有两个角是直角．已知：△ABC．求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．分析：按反证法证实命题步骤，首先要假定结论“∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它反面“∠A、∠B、∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．证实：假设∠A、∠B