小题压轴题专练37-抛物线1-2022届高三数学一轮复习

小题压轴题专练37—抛物线1一．单选题1．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点．以为圆心的圆经过原点，且与抛物线的准线相切，切点为．线段交抛物线于点，则A． B． C． D．2．已知抛物线：，为坐标原点，过其焦点的直线交抛物线于，两点，满足，则的面积为A． B． C． D．3．已知抛物线的焦点为，准线为，一圆以为圆心且与相切，若该圆与抛物线交于点，，则的值为A．或 B．或2 C． D．4．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，，为抛物线上两点，且，则直线的斜率不可能为A． B． C． D．5．已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，且，，则A．2 B．3 C．4 D．56．已知点为抛物线上一动点，，，则的最大值为A． B． C． D．7．已知抛物线的焦点为，过作一条直线与抛物线及抛物线的准线相交，交点从上到下依次为，，，若，则A．3 B．4 C．5 D．68．已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，且，，成等差数列，则直线的斜率A． B． C． D．二．多选题9．已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，交圆于，两点，其中、位于第一象限，则的值可能为A．2 B．3 C．4 D．510．在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点，，，在该抛物线上且位于轴的两侧，，则A． B．直线过点 C．的面积最小值是 D．与面积之和的最小值是311．已知直线与抛物线交于，两点，若线段的中点是，则A． B． C． D．点在以为直径的圆内12．抛物线的焦点为，准线交轴于点，过焦点的直线与抛物线交于，两点，则A． B． C．直线与的斜率之和为0 D．准线上存在点，若为等边三角形，可得直线的斜率为三．填空题13．已知抛物线上三点，，，直线，是圆的两条切线，若直线与直线垂直，则点的纵坐标值为．14．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点，若线段，的中点在轴上的射影分别为，，且，则直线的方程为．15．抛物线的焦点为，准线为，过点作直线与抛物线交于点，，，在第四象限，连为的顶点）并延长交于点，过作垂直于轴，垂足为，若，则．16．在直角坐标系中，点为抛物线上一点，点为该抛物线的焦点，若，则的面积为．

小题压轴题专练37—抛物线1答案1．解：根据题意，，又，解得，．则抛物线的方程为．，，，设，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知，，，．故选：．2．解：，，即，若直线的斜率不存在，则方程为，，故，此时，不符合题意，若直线的斜率存在，设直线为，，，，，联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，△，，直线过焦点，由抛物线定义可得，，，解得，直线为，原点到的距离，．故选：．3．解：由，得焦点，准线的方程为，圆．联立，消去得．解得：，（不合题意，舍去）．，可得点的坐标为或，即可解得或2．故选：．4．解：因为为抛物线的焦点，所以，又，即为等腰三角形，所以，又点在抛物线上，所以，则，即，所以由抛物线的焦半径公式可得：，又，所以，即，所以，则，即，所以；当，时，的斜率为；当，时，的斜率为；当，时，的斜率为；当，时，的斜率为；故都能取到，不能取到．故选：．5．解：点为抛物线的焦点，，设，，，，，，当斜率不存在时，即，，不符合题意，设直线的斜率为，则直线的抛物线为，联立直线与抛物线方程，化简整理，可得①，由韦达定理，可得，，，解得②，将②代入①可得，，解得或，，，又，，．故选：．6．解：设抛物线上点的坐标为，，由于点为抛物线的焦点，由抛物线的定义可知：，由两点之间距离公式可得：，在中，由余弦定理可得：，考查函数：，则，很明显导函数单调递增，且，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数的最小值为，从而可知．故选：．7．解：由抛物线的方程可得焦点为，准线方程为，由题意显然直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，，，令，可得，即，联立，整理可得：，则，，分别过，向准线作垂线交于，，显然可得△，由抛物线的性质可得：所以，所以可得，若，所以，解得：，由抛物线的性质可得：则，故选：．8．解：当，点在轴上方，，点在轴下方，设直线的倾斜角为，，抛物线，，由抛物线的性质可得，，，解得，同理可得，，故，，，成等差数列，，即，，解得，，，当，点在轴下方，，点在轴上方，同理可得，故直线的斜率为．故选：．9．解：抛物线焦点，准线方程为，设，，，，设的方程为，由，可得，，，则，则，可得，当且仅当时，上式取得等号，的最小值为4，结合选项可得，的值可能为4或5．故选：．10．解：设直线的方程为：，点，，，，直线与轴的交点为，代入，可得，根据韦达定理有，，，从而，点，位于轴的两侧，，故．对于，因为，所以，故错；对于，由，可得直线过点，故正确；对于，不妨令点在轴上方，则，又，，，当且仅当，即时，取“”号，故正确；对于，不妨令点在轴上方，则，又，，当且仅当，即时，取“”号，与面积之和的最小值是3，故正确．故选：．11．解：直线与抛物线，可得，设，，，，由题意可得，，可得，，所以，正确；即有，，．所以不正确；点与的距离为：，点在以为直径的圆上，所以不正确；故选：．12．解：对于，准线交轴于点，，即，故错误，对于，抛物线过焦点的弦通径最短，即垂直于轴时，令，可得，，故，故正确，对于，设直线的方程为，代入抛物线方程可得，，设，，，，由韦达定理可得，，，故，故正确．对于，若为等边三角形，设，的中点为，则，，设，则，即，则点到直线的距离，，又，，解得，故此时的斜率为，故正确．故选：．13．解：抛物线上三点，，，设，，，，，，其中，因为直线与直线垂直，所以，所以①，又圆的圆心，半径为，由题意可知，直线，的斜率均存在，所以，所以直线的方程为，整理可得，故②，同理可得，直线的方程为，整理可得，所以③，由②③可得，，由①可得，，解得，故点的纵坐标为．故答案为：．14．解：抛物线，抛物线焦点，设，，，，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，由韦达定理可得，，，线段，的中点在轴上的射影分别为，，，，，解得，故直线的方程为或．故答案为：或．15．解：过点作直线与抛物线交于点，，，，所以，