330345636.2.3向量的数乘运算-2021-2022学年高一新教材配套学案（人教A版必修2 ）

6.2.3向量的数乘运算学习目标核心素养1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．直观想象2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．数学运算3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．逻辑推理导学·课前自主学习知识梳理知识点1向量的数乘定义实数λ与向量a的积是一个向量记法λa长度|λa|＝|λ||a|方向λ＞0方向与a的方向相同λ＜0方向与a的方向相反【名师点睛】1.向量数乘的定义中要注意的问题(1)向量数乘仍是一个向量.中的实数叫做向量的系数；(2)不要忽略特殊情况：当＝0时，＝.当≠0时，若＝，也有＝；(3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算.2.数乘的几何意义向量的数乘的几何意义就是把向量沿着的方向或的反方向扩大或缩小.当＞0时，沿着的方向扩大（＞1）或缩小倍；当＜0时，沿着的反方向扩大（｜｜＞1）或缩小｜｜倍.知识点2向量的数乘运算的运算律设λ，μ为任意实数①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.【名师点睛】对向量数乘运算律的理解1.向量数乘运算律与实数乘法运算律很相似，只是向量数乘分配律由于因子的不同，可分为（λ＋μ）＝λ＋μ和λ（＋）＝λ＋λ.2.向量数乘运算律的理论依据是两个向量相等的定义.所以证明此运算律的关键，是证明等式两边向量的模相等且方向相同.并对各种可能的情况，做全面的讨论.知识点3向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．【名师点睛】对向量线性运算的理解向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加减法与乘法满足的运算法则，但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用.知识点4共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ，使b＝λa.【名师点睛】对共线向量定理的理解1.由＝λ中，若＝0，则＝，零向量与任一向量都平行.若＞0，则与同向；若＜0，则与反向.2.由＝λ中，由的唯一性，得.3.该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一非零向量线性表示，可以用来求参数，它是轴上向量坐标化的依据.【思考交流】【思考交流】(1)何时有λa＝0?(2)从几何角度考虑，向量2a和－a与向量a分别有什么关系？【提示】(1)若λ＝0或a＝0则λa＝0.(2)2a与a方向相同，2a的长度是a的长度的2倍，－a与a方向相反，－a的长度是a的长度的.自主测评1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于任意的向量a，总有0·a＝0.()(2)当λ＞0时，|λa|＝λa.()(3)若a≠0，λ≠0，则a与－λa的方向相反．()【解析】(1)错误.0·a＝0；(2)错误．|λa|＝λ|a|(λ＞0)．(3)错误．当λ＜0时，－λ＞0，a与－λa的方向相同．【答案】(1)×(2)×(3)×2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是()A.＝3 B.＝2C.＝ D.＝2【解析】由题意可知：＝－3；＝－2＝2.故只有D正确．【答案】D3．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.【解析】由向量加法的平行四边形法则知＋＝,又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴＝2，∴＋＝＝2，∴λ＝2.【答案】2探究·课堂互动研讨考点1向量的线性运算【方法总结】向量数乘运算的方法1向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.2向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.【例1】化简下列各式：①3(6a+b)-9(a+b)；②[(3a+2b)-(a+b)]-2(a+b);③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.【思路点拨】根据向量的运算律求解即可。【解析】①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.②原式＝(2a+b)-a-b=a+b-a-b=0.③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.【变式训练1】已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.【解析】3x－2y＝a,①－4x＋3y＝b,②由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.考点2用已知向量表示未知向量【规律方法】用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法．(2)方程法．当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．【例2】(1)如图所示，▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝()A．a－b B．a＋bC．a＋b D．a－b(2)如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.【思路点拨】先用向量加减法的几何意义设计好总体思路，然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示．【解析】(1)＝＋＝＋(-)＝－＝a－b.(2)由三角形中位线定理，知DEBC，故＝，即＝a.＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b.【互动探究】本例(1)中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，如何用a，b表示？【解析】因为DG∥AB，所以△DFG∽△BFA，又因为DF＝OD＝×BD＝BD，所以＝＝，所以＝＋＝＋＝a＋b.考点3向量共线问题【规律方法】1.证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→))(或eq\o(BC,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))等)即可．(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使eq\o(OA,\s\up8(→))＝xeq\o(OB,\s\up8(→))＋yeq\o(OC,\s\up8(→))且x＋y＝1.2．利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．【例3】(1)已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________．(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．【思路点拨】(1)将三点共线问题转化为向量共线问题，例如∥可推出A，B，D三点共线．(2)先用共线向量定理引入参数λ得＝λ，再用向量减法的几何意义向＝x＋y变形，最后对比求x＋y.【解析】(1)∵＝e1＋2e2，＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2.∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)由于A，B，P三点共线，则，在同一直线上，由共线向量定理可知，必存在实数λ使得＝λ，即－＝λ(－)，∴＝(1－λ)＋λ.∴x＝1－λ，y＝λ，则x＋y＝1.【变式训练2】素养提升判断（或证明）图形形状【典例】在四边形ABCD中，=＋2，＝－4－，＝－5－3.求证：四边形ABCD是梯形.【规范解答】∵=＋2，＝－4－，＝－5－3，∴＝＋＋＝＋2－4－－5－3＝－8－2，∴＝2∴AD∥BC且AD＝2BC∴四边形ABCD是梯形.【名师点评】要证明四边形为梯形，即证明一组对边平行但不相等.转化为向量问题就是证明一组对边向量共线而不相等.用向量法证明几何问题，首先要用向量表示几何元素，然后进行向量线性运算，最后用线性运算结果的几何解释即可.反馈·课末达标练习1．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝()A．－4B．－8C．4D．8【解析】因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0)．【答案】A2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝()A.－ B.－C.+ D.+【解析】由题可得＝＋＝－(＋)＋＝－.【答案】A3．对于向量a，b有下列表示：①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.其中，向量a，b一定共线的有()A．①②③ B．②③④C．①③④ D．①②③④【解析】对于①，b＝－a，有a∥b；对于②，b＝－2a，有a∥b；对于③，a＝4b，有a∥b；对于④，a与b不共线．【答案】A4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.【解析】由题意知a＝－b.【答案】－5．如图所示，已知＝，用，表示.【解析】＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.课时评价作业(一)【基础巩固】1．下面四种说法：①对于实数和向量，，恒有；②对于实数，和向量，恒有；③对于实数和向量，，若，则；④对于实数，n和向量，若，则．其中正确说法的个数是()A．B．3C．2D．1【解析】由向量的数乘运算律，得①②均正确．对于③，若，由，未必一定有，错误．对于④，若，由，未必一定有，错误．【答案】C2．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于()A.B．－C．D.－【解析】∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.【答案】D3．在△中，，，是的中点，则等于（）A.B.C.D.【解析】，故选D.【答案】D4．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则()A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线【解析】＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，∴A，B，D三点共线．【答案】A5．已知正方形ABCD的边长为1，＝，＝，＝，则｜＋＋｜为.【解析】｜＋＋｜＝｜＋＋｜＝｜2｜＝2.【答案】26．如图所示，已知＝，用，表示.【解析】＝＋＝＋＝＋(－)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(4,3).8．已知M、A、B三点不共线，且存在实数使得，若A、B、C三点共线，求证：.【证明】若A、B、C三点共线，则存在实数λ，使得，而.又，所以.则有即.【能力提升】1．如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，DC与OA交点为E，设＝a，＝b，用a，b表示向量，.【解析】∵AC＝BA，∴A是BC的中点，∴＝(＋)，∴＝2－＝2a－b.∴＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.2．设两个非零向量e1，e2不共线，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【解析】设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，∵＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2.又∵A，B，D三点共线，∴＝λ，∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，∴k＝－8，∴存在k＝－8，使得A，B，D三点共线．3．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)=eq\f(b,|b|)成立的条件是()A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|【解析】eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)分别表示a，b的单位向量．对于A，当a＝－b时，eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|)；对于B，当a∥b时，可能有a＝－b，此时eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|)；对于C，当a＝2b时，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)；对于D，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|).综上所述，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的条件是a＝2b，选C.【答案】C4．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P