专题09用单摆测量重力加速度的大小（原卷版）

专题九用单摆测重力加速度的大小重难点01实验技能储备一、基础知识1．实验原理当摆角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2πeq\r(\f(l,g))，由此得到g＝eq\f(4π2l,T2)，因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值．2．实验器材单摆，游标卡尺，毫米刻度尺，停表．3．实验过程(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆．(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图1所示．(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l′＋r.(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T.(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度．(6)改变摆长，重做几次实验．4．数据处理(1)公式法：利用T＝eq\f(t,N)求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝eq\f(4π2l,T2)求重力加速度．(2)图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝eq\f(g,4π2)T2，图像应是一条通过原点的直线，如图2所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度．5．注意事项(1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定．(2)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°.(3)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数．(4)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l′＋r.(5)一般选用一米左右的细线．例1.在“用单摆测量重力加速度”的实验中：(1)摆动时偏角满足的条件是偏角小于5°，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最________(填“高”或“低”)点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。图甲中停表示数为一单摆全振动50次所用的时间，则单摆振动周期为________。(2)用最小刻度为1mm的刻度尺测摆长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆长为_______m。(3)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________。(4)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大。”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中________。A．甲的说法正确B．乙的说法正确C．两学生的说法都是错误的类型一不变装置变目的(求摆长比)变式1.某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验时：(1)如果他测得的g值偏小，可能的原因是__________。A．测摆线长时测了悬线的总长度B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，使周期变大了C．开始计时时，停表过迟按下D．实验中误将49次全振动次数记为50次(2)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出一组对应的l与T2的数据，再以l为横坐标，T2为纵坐标，将所得数据连成直线，如图1所示，并求得该直线的斜率为k，则重力加速度g＝__________。(用k表示)(3)该同学还利用计算机绘制了a、b两个摆球的振动图象(如图2)，由图2可知，两单摆摆长之比＝________。在t＝1s时，b球振动的方向是________________________________________________________________________。变式2.某探究小组探究单摆的装置如图甲所示，细线端拴一个球，另一端连接拉力传感器，固定在天花板上，将球拉开一个很小的角度静止释放，传感器可绘制出球在摆动过程中细线拉力周期性变化的图象，如图乙所示。(1)用游标卡尺测出小球直径d如图丙所示，读数为__________mm；(2)现求得该单摆的摆长为l，则当地的重力加速度为__________(用题中的字母表示，包括图乙中)；(3)若科学探险队员在珠穆朗玛峰山脚与山顶利用该装置分别作了实验。在山脚处，他作出了单摆T2l图象为如图丁中直线c。当他成功攀登到山顶后，他又重复了在山脚做的实验。则利用山顶实验数据作出的图线可能是图丁中的直线__________。重难点02实验数据处理例2.在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，测得摆球经过n次全振动的总时间为Δt，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为l，再用游标卡尺测量摆球的直径为D，某次测量游标卡尺的示数如图4甲所示．回答下列问题：(1)由甲图可知，摆球的直径为D＝________mm.(2)该单摆的周期为________．(3)为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L和T的数值，以L为横坐标、T2为纵坐标作出T2－L图线，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的T2－L图像是图乙中的________(选填“①”“②”或“③”)，由图像可得当地重力加速度g＝________，由此得到的g值会________(选填“偏小”“不变”或“偏大”)．重难点03误差分析例3．(2020·浙江7月选考)某同学用单摆测量重力加速度，(1)为了减少测量误差，下列做法正确的是________(多选)；A．摆的振幅越大越好B．摆球质量大些、体积小些C．摆线尽量细些、长些、伸缩性小些D．计时的起、止位置选在摆球达到的最高点处(2)改变摆长，多次测量，得到周期平方与摆长的关系图象如图所示，所得结果与当地重力加速度值相符，但发现其延长线没有过原点，其原因可能是__________。A．测周期时多数了一个周期B．测周期时少数了一个周期C．测摆长时直接将摆线的长度作为摆长D．测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长针对训练3．(2019·南充市期末)在“用单摆测量重力加速度”实验中：(1)除长约1m的细线、带铁夹的铁架台、有小孔的小球、游标卡尺外，下列器材中，还需要________(填正确答案的标号)．A．秒表 B．米尺C．天平 D．弹簧测力计(2)用游标卡尺测小球的直径，如图6所示，则小球的直径是________．-(3)下列做法正确的是________(填正确答案的标号)．A．从摆球达到最高位置时开始计时B．记录摆球完成一次全振动的时间C．要让摆球在竖直平面内摆动的角度小于5°D．选用的细线应细、质量小，且不易伸长(4)从悬点到球心的距离是摆长L，改变摆长L，测得5组L和对应的周期T，画出L－T2图线，在图线上选取A、B两个点，两个点的坐标如图7所示，则重力加速度的表达式是________．【拓展提高】1.学过单摆的周期公式以后，物理兴趣小组的同学们对钟摆产生了兴趣，老师建议他们先研究用厚度和质量分布均匀的长木条(如一把米尺)做成的摆(这种摆被称为复摆)，如右图所示．让其在竖直平面内做小角度摆动，C点为重心，木条长为L，周期用T表示．甲同学猜想：复摆的周期应该与木条的质量有关．乙同学猜想：复摆的摆长应该是悬点到重心的距离L/2.丙同学猜想：复摆的摆长应该大于L/2.理由是：若OC段看成细线，线栓在C处，C点以下部分的重心离O点的距离显然大于L/2.为了研究以上猜想是否正确，同学们进行了下面的实验探索：(1)把两个相同的长木条完全重叠在一起，用透明胶(质量不计)粘好，测量其摆动周期，发现与单个长木条摆动时的周期相同，重做多次仍有这样的特点．则证明了甲同学的猜想是______的(选填“正确”或“错误”)．(2)用T0表示木条长为L的复摆看成摆长为L/2单摆的周期计算值(T0＝2πeq\r(\f(L/2,g)))，用T表示木条长为L复摆的实际周期测量值．计算与测量的数据如下表：板长L(cm)255080100120150周期计算值T0/(s)0.701.001.271.411.551.73周期测量值T/(s)0.811.161.471.641.802.01由上表可知，复摆的等效摆长________L/2(选填“大于”、“小于”或“等于”)．(3)为了进一步定量研究，同学们用描点作图法数据进行处理，所选坐标如上图所示．请在坐标纸上作出T－T0图线，并根据图象中反映出的规律求出eq\r(L等)/eq\r(L/2)＝________(结果保留三位有效数字，其中L等是木条长为L时的等效摆长．T＝2πeq\r(\f(L等,g)))．2．(2020·海南高考节选)滑板运动场地有一种常见的圆弧形轨道，其截面如图，某同学用一辆滑板车和手机估测轨道半径R(滑板车的长度远小于轨道半径)。主要实验过程如下：①用手机查得当地的重力加速度g；②找出轨道的最低点O，把滑板车从O点移开一小段距离至P点，由静止释放，用手机测出它完成n次全振动的时间t，算出滑板车做往复运动的周期T＝________；③将滑板车的运动视为简谐运动，则可将以上测量结果代入公式R＝________(用T、g表示)计算出轨道半径。3．“用单摆测量重力加速度”的实验中：(1)用游标卡尺测量小球的直径，如图甲所示，测出的小球直径为________mm。(2)实验中下列做法正确的是________。A．摆线要选择伸缩性大些的，并且尽可能短一些B．摆球要选择质量大些、体积小些的C．拉开摆球，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔作为单摆周期T的测量值D．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置小于5°，释放摆球，从平衡位置开始计时，记下摆球做30次全振动所用的时间t，则单摆周期T＝eq\f(t,30)(3)实验中改变摆长L获得多组实验数据，正确操作后作出的T2L图像为图乙中图线②。某同学误将悬点到小球上端的距离记为摆长L，其他实验步骤均正确，作出的图线应当是图乙中________(选填“①”“③”或“④”)；利用该图线求得的重力加速度________(选填“大于”“等于”或“小于”)利用图线②求得的重力加速度。专题九用单摆测重力加速度的大小重难点01实验技能储备一、基础知识1．实验原理当摆角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2πeq\r(\f(l,g))，由此得到g＝eq\f(4π2l,T2)，因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值．2．实验器材单摆，游标卡尺，毫米刻度尺，停表．3．实验过程(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆．(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图1所示．(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l′＋r.(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T.(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度．(6)改变摆长，重做几次实验．4．数据处理(1)公式法：利用T＝eq\f(t,N)求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝eq\f(4π2l,T2)求重力加速度．(2)图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝eq\f(g,4π2)T2，图像应是一条通过原点的直线，如图2所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度．5．注意事项(1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定．(2)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°.(3)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数．(4)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l′＋r.(5)一般选用一米左右的细线．例1.在“用单摆测量重力加速度”的实验中：(1)摆动时偏角满足的条件是偏角小于5°，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最________(填“高”或“低”)点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。图甲中停表示数为一单摆全振动50次所用的时间，则单摆振动周期为________。(2)用最小刻度为1mm的刻度尺测摆长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆长为_______m。(3)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________。(4)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大。”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中________。A．甲的说法正确B．乙的说法正确C．两学生的说法都是错误的【答案】(1)低2.05s(2)0.9980(3)4π【解析】(1)摆球经过最低点时小球速度最大，容易观察和计时；图甲中停表的示数为1.5min＋12.5s＝102.5s，则周期T＝eq\f(102.5,50)s＝2.05s。(2)从悬点到球心的距离即为摆长，可得L＝0.9980m。(3)由单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))可得g＝eq\f(4π2L,T2)。(4)由于受到空气浮力的影响，小球的质量没变而相当于小球所受重力减小，即等效重力加速度减小，因而振动周期变大，A正确。类型一不变装置变目的(求摆长比)变式1.某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验时：(1)如果他测得的g值偏小，可能的原因是__________。A．测摆线长时测了悬线的总长度B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，使周期变大了C．开始计时时，停表过迟按下D．实验中误将49次全振动次数记为50次(2)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期T，从而得出一组对应的l与T2的数据，再以l为横坐标，T2为纵坐标，将所得数据连成直线，如图1所示，并求得该直线的斜率为k，则重力加速度g＝__________。(用k表示)(3)该同学还利用计算机绘制了a、b两个摆球的振动图象(如图2)，由图2可知，两单摆摆长之比＝________。在t＝1s时，b球振动的方向是________________________________________________________________________。答案：(1)B(2)4π2k(3)eq\f(4,9)y轴负方向【解析】(1)由单摆周期公式T＝2π可知，重力加速度g＝；测摆线长时测了悬线的总长度，测得摆长偏大，由g＝可知，测得的g值偏大，故A错误；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，使周期变大了，由g＝可知，所测得的g值偏小，故B正确；开始计时时，停表过迟按下，测得的时间t偏小，所测周期T偏小，由g＝可知，所测g值偏大，故C错误；实验中误将49次全振动次数记为50次，由T＝eq\f(t,n)可知所测周期T偏小，由g＝可知，所示g值偏大，故D错误。(2)由单摆周期公式T＝2π可得：T2＝eq\f(4π2,g)l，T2l图线的斜率k＝eq\f(4π2,g)，则重力加速度g＝eq\f(4π2,k)；(3)由单摆周期公式T＝2π可知，摆长l＝eq\f(gT2,4π2)，由题图2所示可知，单摆周期Ta＝eq\f(4,3)s，Tb＝2s，两单摆摆长之比＝eq\f(Teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(a)),Teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(b)))＝(eq\f(\f(4,3),2))2＝eq\f(4,9)；由题图2所示图象可知，在t＝1s时，b球振动的方向沿着y轴向下运动，故方向为沿y轴负方向。变式2.某探究小组探究单摆的装置如图甲所示，细线端拴一个球，另一端连接拉力传感器，固定在天花板上，将球拉开一个很小的角度静止释放，传感器可绘制出球在摆动过程中细线拉力周期性变化的图象，如图乙所示。(1)用游标卡尺测出小球直径d如图丙所示，读数为__________mm；(2)现求得该单摆的摆长为l，则当地的重力加速度为__________(用题中的字母表示，包括图乙中)；(3)若科学探险队员在珠穆朗玛峰山脚与山顶利用该装置分别作了实验。在山脚处，他作出了单摆T2l图象为如图丁中直线c。当他成功攀登到山顶后，他又重复了在山脚做的实验。则利用山顶实验数据作出的图线可能是图丁中的直线__________。【答案】(1)18.50(2)(3)a【解析】(1)由题图丙所示游标卡尺可知，游标尺是20分度的，游标尺的精度是0.05mm，游标卡尺示数为：18mm＋10×0.05mm＝18.50mm。(2)摆球经过平衡位置时细线的拉力最大，在一个周期内摆球两次经过平衡位置，由题图乙所示图象求出单摆的周期T＝t2，由单摆周期公式T＝2π可知，重力加速度g＝；(3)由单摆周期公式T＝2π可得：T2＝eq\f(4π2,g)l，T2l图象的斜率k＝eq\f(4π2,g)，重力加速度g＝eq\f(4π2,k)，珠穆朗玛峰山顶的重力加速度小于山脚的重力加速度，因此在峰顶做实验时图象斜率较大，在峰顶做实验作出的图线可能是直线a。重难点02实验数据处理例2.在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某实验小组在测量单摆的周期时，测得摆球经过n次全振动的总时间为Δt，在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为l，再用游标卡尺测量摆球的直径为D，某次测量游标卡尺的示数如图4甲所示．回答下列问题：(1)由甲图可知，摆球的直径为D＝________mm.(2)该单摆的周期为________．(3)为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L和T的数值，以L为横坐标、T2为纵坐标作出T2－L图线，但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的T2－L图像是图乙中的________(选填“①”“②”或“③”)，由图像可得当地重力加速度g＝________，由此得到的g值会________(选填“偏小”“不变”或“偏大”)．【答案】(1)16.4(2)eq\f(Δt,n)(3)①4π2ab【解析】(1)由题图甲所示游标卡尺可知，主尺示数是16mm，游标尺示数是4×0.1mm＝0.4mm，则金属球的直径为16mm＋0.4mm＝16.4mm.(2)由于测得摆球经过n次全振动的总时间为Δt，所以该单摆的周期为T＝eq\f(Δt,n).(3)由单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))可知T2＝4π2gL，则T2－L图像的斜率k＝4π2g，则重力加速度g＝但同学们不小心每次都把小球直径当作半径来计算摆长，则有T2＝4π2g(L－eq\f(d,2))，由此得到的T2－L图像是图乙中的①，由于图线的斜率不变，计算得到的g值不变，由图像可得k＝eq\f(b,a)，当地重力加速度g＝4π2ab重难点03误差分析例3．(2020·浙江7月选考)某同学用单摆测量重力加速度，(1)为了减少测量误差，下列做法正确的是________(多选)；A．摆的振幅越大越好B．摆球质量大些、体积小些C．摆线尽量细些、长些、伸缩性小些D．计时的起、止位置选在摆球达到的最高点处(2)改变摆长，多次测量，得到周期平方与摆长的关系图象如图所示，所得结果与当地重力加速度值相符，但发现其延长线没有过原点，其原因可能是__________。A．测周期时多数了一个周期B．测周期时少数了一个周期C．测摆长时直接将摆线的长度作为摆长D．测摆长时将摆线的长度加上摆球的直径作为摆长【答案】(1)B、C(2)C【解析】(1)单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，单摆的摆角不能太大，一般不能超过5°，否则单摆将不做简谐运动，故A做法错误；实验尽量选择质量大的、体积小的小球，减小空气阻力，减小实验误差，故B做法正确；为了减小实验误差，摆线应选轻且不易伸长的细线，实验选择细一些的、长度适当、伸缩性小的绳子，故C做法正确；物体在平衡位置(最低点)速度最大，计时更准确，故D做法错误。(2)单摆的周期T＝2π，即T2＝4π2g·l，但是实验所得T2-l图线延长线没过原点，测得重力加速度与当地结果相符，则斜率仍为eq\f(4π2,g)；则T2＝4π2g·(l＋针对训练3．(2019·南充市期末)在“用单摆测量重力加速度”实验中：(1)除长约1m的细线、带铁夹的铁架台、有小孔的小球、游标卡尺外，下列器材中，还需要________(填正确答案的标号)．A．秒表 B．米尺C．天平 D．弹簧测力计(2)用游标卡尺测小球的直径，如图6所示，则小球的直径是________．-(3)下列做法正确的是________(填正确答案的标号)．A．从摆球达到最高位置时开始计时B．记录摆球完成一次全振动的时间C．要让摆球在竖直平面内摆动的角度小于5°D．选用的细线应细、质量小，且不易伸长(4)从悬点到球心的距离是摆长L，改变摆长L，测得5组L和对应的周期T，画出L－T2图线，在图线上选取A、B两个点，两个点的坐标如图7所示，则重力加速度的表达式是________．【答案】(1)AB(2)12.5mm(3)CD(4)4π【解析】(1)在实验中，需要测量单摆的周期，所以需要秒表，需要测量摆线的长度，所以需要米尺，摆球的质量不需要测量，所以不需要天平或弹簧测力计，所以选A、B.(2)游标卡尺的主尺读数为12mm，游标尺读数为0.1×5mm＝0.5mm，所以最终读数为12mm＋0.5mm＝12.5mm.(3)摆球经过平衡位置时速度最大，从该处计时测量误差较小，故A错误；通过测量n次全振动的时间t，通过T＝eq\f(t,n)求解周期，测量一次全振动时间误差较大，故B错误；摆球在同一竖直面内摆动，当摆角不超过5°时其摆动可视为简谐运动，所以C正确；选用的细线应细、质量小，且不易伸长，所以D正确．(4)根据T＝2πeq\r(\f(L,g))，得出L＝gT24π可知图线的斜率k＝g4又由图像知，k＝(LB−【拓展提高】1.学过单摆的周期公式以后，物理兴趣小组的同学们对钟摆产生了兴趣，老师建议他们先研究用厚度和质量分布均匀的长木条(如一把米尺)做成的摆(这种摆被称为复摆)，如右图所示．让其在竖直平面内做小角度摆动，C点为重心，木条长为L，周期用T表示．甲同学猜想：复摆的周期应该与木条的质量有关．乙同学猜想：复摆的摆长应该是悬点到重心的距离L/2.丙同学猜想：复摆的摆长应该大于L/2.理由是：若OC段看成细线，线栓在C处，C点以下部分的重心离O点的距离显然大于L/2.为了研究以上猜想是否正确，同学们进行了下面的实验探索：(1)把两个相同的长木条完全重叠在一起，用透明胶(质量不计)粘好，测量其摆动周期，发现与单个长木条摆动时的周期相同，重做多次仍有这样的特点．则证明了甲同学的猜想是______的(选填“正确”或“错误”)．(2)用T0表示木条长为L的复摆看成摆长为L/2单摆的周期计算值(T0＝2πeq\r(\f(L/2,g)))，用T表示木条长为L复摆的实际周期测量值．计算与测量的数据如下表：板长L(cm)255080100120150周期计算值T0/(s)0.701.001.271.411.551.73周期测量值T/(s)0.811.161.471.641.802.01由上表可知，复摆的等效摆长________L/2(选填“大于”、“小于”或“等于”)．(3)为了进一步定量研究，同学们用描点作图法数据进行处理，所选坐标如上图所示．请在坐标纸上作出T－T0图线，并根据图象中反映出的规律求出eq\r(L等)/eq\r(L/2)＝________(结果保留三位有效数字，其中L等是木条长为L时的等效