第一章1.11.1.2空间向量的数量积运算知识点讲练高中数学人教A版选择性

1.1.2空间向量的数量积运算学习目标1.了解空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离．导语在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义．一、空间向量的夹角知识梳理定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉范围0≤〈a，b〉≤π向量垂直如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b例1(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量eq\o(AC,\s\up6(→))分别与向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，eq\o(B′A′,\s\up6(→))，eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(CD′,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))的夹角．解连接BD(图略)，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，所以〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(A′B′,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(B′A′,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝135°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD′,\s\up6(→))〉＝∠D′AC＝60°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CD′,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CD′,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝90°.反思感悟(1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π.(2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．跟踪训练1在正四面体ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的夹角等于()A．30°B．60°C．150°D．120°答案D解析〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.二、空间向量的数量积运算知识梳理1．(1)空间向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．注意点：(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．例2如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))；(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→)).解(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1·cos60°＝eq\f(1,4)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1·cos0°＝eq\f(1,2)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2).(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(DC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1·cos120°＝－eq\f(1,4)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4).(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)[eq\o(BD,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))]＝eq\f(1,4)[－eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))]＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)))＝－eq\f(1,8).反思感悟由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．跟踪训练2已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．答案－13解析∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.三、利用空间向量数量积的性质求模长问题类比平面向量数量积的性质，给出空间向量数量积的性质．提示(1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0；(2)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)；(4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)．例3如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．解∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°.∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，且eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2|eq\o(CA,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝62＋42＋82＋2×6×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝68，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝2eq\r(17)，故CD的长为2eq\r(17).反思感悟用数量积求两点间距离的步骤(1)将两点间的连线用向量表示；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|.跟踪训练3已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为()A．6B.eq\r(6)C．3D.eq\r(3)答案B解析设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).由eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，得|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6).1．知识清单：(1)空间向量的夹角、投影．(2)空间向量数量积、性质及运算律．2．方法归纳：化归转化．3．常见误区：(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0．1．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(C1A1,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(C1B,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(AD1,\s\up6(→))答案AD2．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(1,2)D．0答案D解析eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|cos∠AOC－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|cos∠AOB＝eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|－eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|＝0，所以eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).所以cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝0.3．若a，b为空间夹角是60°的两个单位向量，则|a－b|＝________.答案1解析|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝1.∴|a－b|＝1.4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(A1P,\s\up6(→))所成角的大小为________，eq\o(B1C,\s\up6(→))·eq\o(A1P,\s\up6(→))＝________.答案60°1解析方法一连接A1D(图略)，则∠PA1D就是eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(A1P,\s\up6(→))所成的角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝eq\r(2)，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(A1P,\s\up6(→))所成角的大小为60°，因此eq\o(B1C,\s\up6(→))·eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\r(2)×eq\r(2)×cos60°＝1.方法二根据向量的线性运算可得eq\o(B1C,\s\up6(→))·eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2＝1.由题意可得PA1＝B1C＝eq\r(2)，则eq\r(2)×eq\r(2)×cos〈eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(A1P,\s\up6(→))〉＝1，从而〈eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(A1P,\s\up6(→))〉＝60°.课时对点练1．在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(EF,\s\up6(→))的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案C解析由题意，可得eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于()A．12 B．8＋eq\r(13)C．4 D．13答案D解析(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos120°＝2×4－2×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝13.3．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，则两直线的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案B解析设向量a，b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2)，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.4．(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A．2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))B．2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))C．2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))D．2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))答案BC解析2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a2cos120°＝－a2，2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝2a2cos60°＝a2，2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝a2，2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a2.5．平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于()A.eq\r(3)－1 B.eq\r(2)－1C.eq\r(3－\r(2)) D.eq\r(3)－eq\r(2)答案C解析如图，因为eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以|eq\o(BD1,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AA1,\s\up6(→))|2－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝1＋1＋1－2×1×cos45°－2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°＝3－eq\r(2)，所以|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(3－\r(2)).6．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是()A．(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2B.eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0C.eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为60°D．正方体的体积为|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|答案AB解析如图所示，(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→)))2＝eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2，故A为真命题；eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝0，故B为真命题；eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角是eq\o(D1C,\s\up6(→))与eq\o(D1A,\s\up6(→))夹角的补角，而eq\o(D1C,\s\up6(→))与eq\o(D1A,\s\up6(→))eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为120°，故C是假命题；正方体的体积为|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AA1,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|，故D为假命题．7．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.答案22解析|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.8．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.答案60°解析由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝eq\f(1,2)|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)|b|2,|b|2)＝eq\f(1,2)，所以〈a，b〉＝60°.9．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED1,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FC1,\s\up6(→)).解如图所示，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AA1,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝b·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－a＋b))＝|b|2＝42＝16.(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(eq\o(BA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1F,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FC1,\s\up6(→))＝(eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1F,\s\up6(→)))·(eq\o(FD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AA1,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－a＋\f(1,2)b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b＋a))＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,4)|b|2＝2.10.如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．解eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)[(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))]＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＋2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝2.所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，即E，F间的距离为eq\r(2).11.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.eq\r(3) B.eq\r(2)C．1 D.eq\r(3－\r(2))答案D解析∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(ED,\s\up6(→))，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BF,\s\up6(→))|2＋|eq\o(FE,\s\up6(→))|2＋|eq\o(ED,\s\up6(→))|2＋2eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＋2eq\o(FE,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＋2eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝1＋1＋1－eq\r(2)＝3－eq\r(2).故|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(3－\r(2)).12．如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝________.答案7解析|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))2＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝62＋42＋32＋2|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(DC,\s\up6(→))|cos120°＝49，所以|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝7.13．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则eq\o(OG,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝________.答案eq\f(14,3)解析∵OA，OB，OC两两垂直，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，且eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→)),3)，故eq\o(OG,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))2＝eq\f(1,3)(|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OC,\s\up6(→))|2)＝eq\f(1,3)×(1＋4＋9)＝eq\f(14,3).14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))的取值范围是______．答案[0,1]解析依题意，设eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BD1,\s\up6(→))，其中λ∈[0,1]，eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(