2024年高考数学终极押题密卷1（天津卷）含答案

2024年高考数学终极押题密卷1（天津卷）一．选择题（共9小题）1．设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{x∈N|x＜3}，B＝{0，3，4，5}，则（∁UA）∪B＝（）A．{4，5} B．{0，4，5} C．{3，4，5} D．{0，3，4，5}2．设x1，x2∈R，则“x1+x2＞6且x1x2＞9”是“x1＞3且x2＞3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数f（x）＝ln|x|，其图象大致为（）A． B． C． D．4．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（）A．90 B．100 C．900 D．10005．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）是增函数，则a＝f（20.8），，的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a6．已知抛物线y2＝8x的准线经过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（）A．﹣y2＝1 B．x2＝1 C．＝1 D．＝17．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，四面体ABCD的体积为，BD经过该鞠的中心，且AB＝BC＝1，AB⊥BC，则该鞠的表面积为（）A．2π B．16π C．8π D．4π8．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0），若|f（x1）﹣f（x2）|＝2时，|x1﹣x2|的最小值为，则（）A．函数f（x）的周期为 B．将函数f（x）的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数 C．当x∈（，），f（x）的值域为 D．函数f（x）在区间[﹣π，π]上的零点个数共有6个9．设f（x）是定义在R上的函数，若f（x）+x2是奇函数，f（x）﹣x是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有（）（1）当x∈[2，3]时，g（x）＝﹣2（x﹣2）（x﹣3）；（2）；（3）若g（m）≥2，则实数m的最小值为（4）若h（x）＝g（x）﹣k（x﹣2）有三个零点，则实数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共6小题）10．若z是复数，z＝，则z•＝．11．（x﹣2y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为．12．在5的展开式中，的系数为.（用数字作答）13．设a、b是正实数，且a+b＝2，则的最小值是．14．在△ABC中，，，若O为其重心，试用，表示为；若O为其外心，满足，且，则m的最大值为．15．设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{ex﹣2，e2x﹣aex+a+24}．若f（x）有三个零点，则实数a的取值范围是．三．解答题（共5小题）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（2a﹣c）cosB＝bcosC．（1）求角B的大小；（2）设a＝4，．（ⅰ）求c的值；（ⅱ）求sin（2C+B）的值．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝2，AB＝1．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求点N到直线ME的距离；（3）在线段PA上是否存在一点H，使得直线NH与平面MNE所成角的正弦值为，若存在，求出线段AH的值，若不存在，说明理由．18．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P的坐标为（a，b），且线段OP的长是长轴长的．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）若直线PF2交椭圆于M，N两点（M在N的上方），过F2作PN的垂线l交y轴于点D，若线段DF2延长线上的一个点H满足△DPH的面积为．（ⅰ）证明四边形DPHN是菱形；（ⅱ）若|DF2|＝，求椭圆的方程．19．已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列．a1＝1，且a3﹣b1＝1，a4﹣b1＝b3﹣a6．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）若（ⅰ）当k为奇数，求ck+c2n+1﹣k；（ⅱ）求．20．已知函数f（x）＝x+a（lnx+1），a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若f（p）＝f（q）＝0（p≠q），求证：pq＞1；（3）已知点P（m，m），是否存在过点P的两条直线与曲线g（x）＝ex﹣1+1，（﹣1＜x＜3）相切？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

2024年菁优高考数学终极押题密卷1（天津卷）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{x∈N|x＜3}，B＝{0，3，4，5}，则（∁UA）∪B＝（）A．{4，5} B．{0，4，5} C．{3，4，5} D．{0，3，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】D【分析】先确定集合A，再根据补集，交集的运算法则计算即可．【解答】解：由题意得A＝{0，1，2}，∁UA＝{3，4，5}，则（∁UA）∪B＝{0，3，4，5}故选：D．【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．2．设x1，x2∈R，则“x1+x2＞6且x1x2＞9”是“x1＞3且x2＞3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】等式与不等式的性质；充分条件与必要条件．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】B【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解．【解答】解：令x1＝1，x2＝9，满足x1+x2＞6且x1x2＞9，但x1＜3，故充分性不成立，当x1＞3且x2＞3时，根据不等式的性质可得，x1+x2＞6且x1x2＞9，故必要性成立，故“x1+x2＞6且x1x2＞9”是“x1＞3且x2＞3”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．3．已知函数f（x）＝ln|x|，其图象大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可判断．【解答】解：函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），函数f（﹣x）＝ln|﹣x|＝﹣ln|x|＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，故排除BD，因为f（1）＝0，f（）＝﹣ln＝ln2＞0，故排除C，故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题．4．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为（）A．90 B．100 C．900 D．1000【考点】频率分布直方图．【专题】计算题．【答案】B【分析】根据频率直方图的意义，由前三个小组的频率可得样本在[50，60）元的频率，计算可得样本容量．【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和＝（0.01+0.024+0.036）×10＝0.7，∴支出在[50，60）元的频率为1﹣0.7＝0.3，∴n＝＝100故选：B．【点评】本题考查频率直方图的意义，对频率、频数灵活运用的综合考查，属于基础题．5．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）是增函数，则a＝f（20.8），，的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质进行转化比较即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴＝f（log24.1），＝﹣f（﹣log25）＝f（log25），∵log25＞log24.1＞log24＝2，1＜20.8＜2，则log25＞log24.1＞20.8，∵当x≥0时，f（x）是增函数，∴f（log25）＞f（log24.1）＞f（20.8），即c＞b＞a，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．6．已知抛物线y2＝8x的准线经过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（）A．﹣y2＝1 B．x2＝1 C．＝1 D．＝1【考点】双曲线的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】D【分析】求出抛物线的准线方程，推出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的两条渐近线相互垂直，求解a的值，即可得到选项．【解答】解：抛物线y2＝8x的准线x＝﹣2经过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点（﹣2，0），双曲线的两条渐近线相互垂直，可知a＝b，所以c＝a，所以a＝，所以双曲线的方程为＝1．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．7．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，四面体ABCD的体积为，BD经过该鞠的中心，且AB＝BC＝1，AB⊥BC，则该鞠的表面积为（）A．2π B．16π C．8π D．4π【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算．【答案】D【分析】取AC中点M，连接BM、OM，DN，易得AC为圆面ABC的直径，OM⊥平面ABC，进而得到DN⊥平面ABC，然后根据四面体ABCD的体积为，可求外接球半径并求表面积．【解答】解：如图，取AC的中点M，连接BM与球O交于另一点N，连接OM，DN，易知AC为圆面ABC的直径，OM⊥平面ABC，因为O，M分别为BD，BN的中点，所以OM∥DN，所以DN⊥平面ABC，∵，∴，即，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，∴，∴BO＝R＝1，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π．故选：D．【点评】本题考查球的表面积的求解，线面垂直的判定定理，化归转化思想，属中档题．8．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0），若|f（x1）﹣f（x2）|＝2时，|x1﹣x2|的最小值为，则（）A．函数f（x）的周期为 B．将函数f（x）的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数 C．当x∈（，），f（x）的值域为 D．函数f（x）在区间[﹣π，π]上的零点个数共有6个【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】对应思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学抽象．【答案】D【分析】由条件求出f（x）的最小正周期，由此判断A，根据正弦函数的图象及性质判断B，C，D．【解答】解：对于A，由题意，得＝，所以T＝，则ω＝3，所以f（x）＝sin（3x﹣），故A错误；对于B，将函数f（x）的图像向左平移个单位，得到的函数是f（x）＝sin[3（x+）﹣]＝sin（3x+）＝cos3x为偶函数，故B错误；对于C，当x∈（，）时，则＜3x﹣＜，所以f（x）的值域为，故C错误；对于D，令f（x）＝0，得到x＝+，k∈Z，所以当k＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2时，x∈[﹣π，π]，所以函数f（x）在区间[﹣π，π]上的零点个数共有6个，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9．设f（x）是定义在R上的函数，若f（x）+x2是奇函数，f（x）﹣x是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有（）（1）当x∈[2，3]时，g（x）＝﹣2（x﹣2）（x﹣3）；（2）；（3）若g（m）≥2，则实数m的最小值为（4）若h（x）＝g（x）﹣k（x﹣2）有三个零点，则实数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】函数的零点与方程根的关系；命题的真假判断与应用；函数奇偶性的性质与判断．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】由f（x）+x2是奇函数，f（x）﹣x是偶函数，得f（x）＝x﹣x2，再依据作出函数g（x）的图像，再逐项判断即可．【解答】解：因为f（x）+x2是奇函数，f（x）﹣x是偶函数，所以，解得f（x）＝x﹣x2，由，当x∈（1，2）时，g（x）＝2g（x﹣1），则x﹣1∈（0，1），所以g（x）＝2g（x﹣1）＝2f（x﹣1），同理：当x∈（2，3）时，g（x）＝2g（x﹣1）＝4g（x﹣2）＝4f（x﹣2），以此类推，我们可以得到如下g（x）的图象：对于（1）：根据上述规律，当x∈（2，3）时，g（x）＝4f（x﹣2）＝4[x﹣2﹣（x﹣2）2]＝﹣4（x﹣2）（x﹣3），故（1）错误；对于（2）：根据图象，刚好是相邻两个自然数中间的数，则刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得，故（2）正确；对于（3）：根据图象，当x∈（3，4）时g（x）＝8（﹣x2+7x﹣12），由图像可得（3）正确；对于（4）：h（x）＝g（x）﹣k（x﹣2）有三个零点，等价于函数g（x）与函数y＝k（x﹣2）有三个不同的交点，设A（2，0），则函数y＝k（x﹣2）的图象为恒过点A的直线，如图所示．当函数y＝k（x﹣2）与g（x），x∈（0，1）相切的时候，有三个交点，相切时斜率k小于直线AB的斜率，直线AB的斜率为，故h（x）＝g（x）﹣k（x﹣2）有三个零点，，故（4）错误．说法正确的个数为2．故选：B．【点评】本题主要考查了分段函数的性质，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．二．填空题（共6小题）10．若z是复数，z＝，则z•＝．【考点】共轭复数；复数的运算．【专题】对应思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】由商的模等于模的商，结合求解．【解答】解：∵z＝，∴z•＝|z|2＝＝．故答案为：．【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．11．（x﹣2y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为﹣200．【考点】二项式定理．【专题】整体思想；分类法；二项式定理；数学运算．【答案】﹣200．【分析】利用分类加法计数原理与分步乘法计数原理可得答案．【解答】解：（x﹣2y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为：1×（﹣1）3•22﹣2（﹣1）2•23＝﹣40﹣160＝﹣200，故答案为：﹣200．【点评】本题考查二项式定理，考查分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用，属于中档题．12．在5的展开式中，的系数为240.（用数字作答）【考点】二项式定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑推理；数学运算．【答案】240．【分析】直接利用二项展开式和组合数的运算求出结果．【解答】解：根据的二项展开式，＝，当r＝1时，的系数为．故答案为：240．【点评】本题考查的知识要点：二项展开式，组合数的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．13．设a、b是正实数，且a+b＝2，则的最小值是．【考点】基本不等式及其应用．【专题】计算题；对应思想；转化法；不等式．【答案】见试题解答内容【分析】利用乘1法和基本不等式即可求出最小值．【解答】解：设a、b是正实数，且a+b＝2，则＝（）（a+b）＝（1+4++）≥（5+2）＝，当且仅当＝时，即a＝，b＝时取等号，故的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查了乘1法和基本不等式的运用，考查运算能力，属于基础题．14．在△ABC中，，，若O为其重心，试用，表示为+；若O为其外心，满足，且，则m的最大值为1．【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的基本定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】+；1．【分析】利用重心的性质，求出＝+；利用外心的性质，再结合平面向量的数量积运算，求出m的最大值为1．【解答】解：设AC的中点为D，∵在△ABC中，，，O为其重心，∴＝＝×（+）＝+＝+；若O为其外心，则•＝，•＝，∵，∴AB•BC+BC•AB＝2m•，∴AB•BC＝2m•，∴2m＝＝4sinC•sinA，即m＝2sinC•sinA，∵，∴sinC•sinA≤＝，∴m＝2sinC•sinA≤1，当且仅当sinC＝sinA＝时取等号，则m的最大值为1．故答案为：+；1．【点评】本题考查了重心，外心的性质，平面向量的数量积运算，属于中档题．15．设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{ex﹣2，e2x﹣aex+a+24}．若f（x）有三个零点，则实数a的取值范围是（12，28）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】（12，28）．【分析】分析函数g（x）＝ex﹣2，h（x）＝e2x﹣aex+a+24的零点，由条件列不等式求a的取值范围．【解答】解：令g（x）＝ex﹣2，h（x）＝e2x﹣aex+a+24，因为函数g（x）有一个零点，函数h（x）至多有两个零点，又f（x）有三个零点，所以h（x）必须有两个零点，且其零点与函数g（x）的零点不相等，且函数h（x）与函数g（x）的零点均为函数f（x）的零点，由g（x）＝0可得，ex﹣2＝0，所以x＝ln2，所以x＝ln2为函数f（x）的零点，即h（ln2）＝e2ln2﹣aeln2+a+24＝4﹣2a+a+24＝28﹣a＞0，所以a＜28，令h（x）＝0，可得e2x﹣aex+a+24＝0，由已知e2x﹣aex+a+24＝0有两个根，设ex＝t，则t2﹣at+a+24＝0有两个正根，所以a2﹣4（a+24）＞0，a＞0，a+24＞0，所以a＞12，故12＜a＜28，当12＜a＜28时，t2﹣at+a+24＝0有两个根，设其根为t1，t2，t1＜t2，则，设F（t）＝t2﹣at+a+24，则F（2）＝4﹣2a+a+24＝28﹣a＞0，，所以t1＞2，令，则x1＝lnt1，x2＝lnt2，则h（x1）＝0，h（x2）＝0，且，，所以当12＜a＜28时，f（x1）＝f（x2）＝0，所以当12＜a＜28时，x1，x2为函数f（x）的零点，又x＝ln2也为函数f（x）的零点，且x1，x2与ln2互不相等，所以当12＜a＜28时，函数f（x）有三个零点．故答案为：（12，28）．【点评】本题考查函数的零点问题的求解，化归转化思想，属中档题．三．解答题（共5小题）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（2a﹣c）cosB＝bcosC．（1）求角B的大小；（2）设a＝4，．（ⅰ）求c的值；（ⅱ）求sin（2C+B）的值．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可．（2）（ⅰ）利用余弦定理求解即可；（ⅱ）利用二倍角公式，两角和的正弦定理结合即可求解．【解答】解：（1）由（2a﹣c）cosB＝bcosC，根据正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，可得2sinAcosB＝sin（B+C）＝sinA，因为0＜A＜π，故sinA≠0，则，又0＜B＜π，所以．（2）由（1）知，，且a＝4，，（ⅰ）则，即，解得c＝﹣2（舍），c＝6．故c＝6．（ⅱ）由（2a﹣c）cosB＝bcosC，得，解得，则，则，，则sin（2C+B）＝sin2CcosB+cos2CsinB＝．【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，余弦定理的应用，属中档题．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝2，AB＝1．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求点N到直线ME的距离；（3）在线段PA上是否存在一点H，使得直线NH与平面MNE所成角的正弦值为，若存在，求出线段AH的值，若不存在，说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行；直线与平面所成的角．【专题】对应思想；向量法；空间位置关系与距离；数学运算．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可．【解答】证明：（1）因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，以点A为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），D（0，0，1），E（0，1，1），M（0，0，），N（，1，0），P（0，0，2），所以，设为平面BDE的法向量，则，即，取z＝1，解得，∴，又，可得＝＝0，又因为MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE；解：（2）因为，所以点N到直线ME的距离；（3）设H（0，0，t），t∈[0，2]，则，设平面MNE的法向量为，则令b＝1，则，所以，即20t2﹣28t﹣3＝0，解得或（舍去），所以．【点评】本题考查利用空间向量法解决线面平行，点到直线的距离以及线面角，属于中档题．18．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P的坐标为（a，b），且线段OP的长是长轴长的．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）若直线PF2交椭圆于M，N两点（M在N的上方），过F2作PN的垂线l交y轴于点D，若线段DF2延长线上的一个点H满足△DPH的面积为．（ⅰ）证明四边形DPHN是菱形；（ⅱ）若|DF2|＝，求椭圆的方程．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的性质．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）证明过程见解析；（ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由题意，结合a，b，c之间的关系以及离心率公式进行求解即可；（Ⅱ）（ⅰ）结合（Ⅰ）中所得信息设出椭圆的方程，推出直线DH的方程，结合三角形面积公式得到|DF2|＝|F2H|，将直线PN的方程以及椭圆方程联立，得到点N的坐标，推出|NF2|＝|PF2|，根据四边形DPHN的对角线互相平分即可得证；（ⅱ）结合（Ⅰ）中所得信息求出a和b的值，进而可得椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为线段OP的长是长轴长的，所以，整理得3a2＝4b2，又a2＝b2+c2，所以a2＝4c2，则椭圆的离心率e＝＝；（Ⅱ）（ⅰ）证明：由（Ⅰ）知a2＝4c2，所以b2＝3c2，此时椭圆方程为，易知，所以，则直线DH的方程为，令x＝0，解得，即，所以，则，解得|DF2|＝|F2H|，①直线PN的方程为，联立，消去y并整理得15x2﹣24cx＝0，解得，因为M在N的上方，所以，|NF2|＝2c，又|PF2|＝2c，即|NF2|＝|PF2|，②由①②得，四边形DPHN的对角线互相平分，因为四边形DPHN的对角线互相垂直，则四边形DPHN是菱形；（ⅱ）因为，解得，又3a2＝4b2，a2＝4c2，解得，故椭圆的方程为．【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．19．已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列．a1＝1，且a3﹣b1＝1，a4﹣b1＝b3﹣a6．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）若（ⅰ）当k为奇数，求ck+c2n+1﹣k；（ⅱ）求．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】（Ⅰ）an＝n，bn＝2n；（Ⅱ）（ⅰ）ck+c2n+1﹣k＝2k•2k；（ⅱ）+×22n+1．【分析】（Ⅰ）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求；（Ⅱ）（ⅰ）由k为奇数，2n+1﹣k为偶数，结合ck的表达式，可得所求和；（ⅱ）由数列的倒序相加和等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则q＝2，由a1＝1，且a3﹣b1＝1，a4﹣b1＝b3﹣a6，可得1+2d﹣b1＝1，1+3d﹣b1＝4b1﹣（1+5d），得b1＝2，d＝1，∴．（Ⅱ）（ⅰ）∵k为奇数，∴2n+1﹣k为偶数，∴ck+c2n+1﹣k＝＝＝．（ⅱ）令．∵S2n＝c1+c2+⋯+c2n﹣1+c2n，即S2n＝c2n+c2n﹣1+⋯+c2+c1，∴2S2n＝（c1+c2n）+（c2+c2n﹣1）+⋯+（c2n﹣1+c2）+（c2n+c1），即S2n＝（c1+c2n）+（c3+c2n﹣2）+⋯+（c2n﹣1+c2），故，，所以，即，整理得．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的倒序相加，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）＝x+a（lnx+1），a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若f（p）＝f（q）＝0（p≠q），求证：pq＞1；（3）已知点P（m，m），是否存在过点P的两条直线与曲线g（x）＝ex﹣1+1，（﹣1＜x＜3）相切？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】证明题；分类讨论；转化思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）当a≥0时，函数f（x）在定义域上单调递增，无极值；当a＜0时，函数f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，函数极小值为aln（﹣a），无极大值；（2）证明过程见解析；（3）存在，实数m的取值范围为（，）．【分析】（1）由题意，对函数f（x）进行求导，分a≥0和a＜0两种情况讨论函数的单调性，进而求解极值；（2）根据f（p）＝f（q）＝0（p≠q），讨论函数的单调性，得到a＜0时，p+a（lnp+1）＝0，q+a（lnq+1）＝0，两式相减得，两式相加得，要证pq＞1，即证，利用换元法，令，t∈（0，1），构造函数，对函数h（t）进行求导，利用导数得到函数h（t）的单调性和最大值即可得证；（3）设切点为Q（x1，y1），根据导数的几何意义可得切线方程为，再根据切线过点P（m，m），可得，根据过点P（m，m）可以作两条直线与曲线g（x）＝ex﹣1+1（﹣1＜x＜3）相切，得到关于x的方程在（﹣1，1）和（1，3）上至少有两个不同的解，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，作出函数图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：（1）已知f（x）＝x+a（lnx+1），a∈R，函数定义域为（0，+∞），可得f′（x）＝1+＝，当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，无极值；当a＜0时，当0＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞﹣a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝﹣a时，函数f（x）取得极小值f（﹣a）＝aln（﹣a），无极大值，综上，当a≥0时，函数f（x）在定义域上单调递增，无极值；当a＜0时，函数f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，函数极小值为aln（﹣a），无极大值；（2）证明：由（1）知f′（x）＝1+＝，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）最多一个零点，不满足题意；当a＜0时，函数f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，因为f（p）＝f（q）＝0（p≠q），不妨设0＜p＜﹣a＜q，要证pq＞1，即证lnp+lnq＞0，需证，要证，即证，令，不妨设，函数定义域为（0，1），可得h′（t）＝﹣＝＞0，所以函数h（t）在定义域上单调递增，因为h（1）＝0，所以，故pq＞1；（3）假设存在过点P的两条直线与曲线g（x）＝ex﹣1+1，（﹣1＜x＜3）相切，设切点为Q（x1，y1），因为y'＝ex﹣1，所以切线的斜率为，则切线方程为，因为切线过点P（m，m），所以，即m（1﹣）＝（1﹣x1）+1，（﹣1＜x1＜3），此时关于x1的方程至少有两个不同的解，易知x1＝1不是该方程的解，所以关于x的方程m＝在（﹣1，1）和（1，3）上至少有两个不同的解，不妨设，函数定义域为（﹣1，1）∪（1，3），可得，不妨设F（x）＝ex﹣1+1﹣x，函数定义域为（﹣1，1）∪（1，3），可得F'（x）＝ex﹣1﹣1，当﹣1＜x＜1时，F'（x）＜0，F（x）单调递减；当1＜x＜3时，F'（x）＞0，F（x）单调递增，所以F（x）＞F（1）＝0，则当x∈（﹣1，1）∪（1，3）时，k（x）＞0，函数k（x）在（﹣1，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，又，，所以k（﹣1）＜k（3），作出函数k（x）图象如下所示：结合图象可知：当＜m＜时，关于x的方程m＝在（﹣1，1）和（1，3）上有两个不同的解，此时过点P可以作两条直线与曲线F（x）相切，故实数m的取值范围为（，）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力．

考点卡片1．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．2．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．3．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．4．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒（n∈N，且n＞1）．5．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，＝，用基本不等式若x＞0时，0＜y≤，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣与．这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y＝的值域．解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y＝＝＝（x+1）++5，当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．6．函数的图象与图象的变换【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．图象的变换1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换：y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．（2）伸缩变换：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．（3）对称变换：y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折变换：y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．【解题方法点拨】1、画函数图象的一般方法（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法（1）知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．（2）知式选图：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．3、（1）利有函数的图象研究函数的性质从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．（2）利用函数的图象研究方程根的个数有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．【命题方向】（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：①正确求出函数的定义域；②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．（3）3种方法﹣﹣识图的方法对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．7．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．8．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝．解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．9．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的认识】函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．2．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．10．函数的零点与方程根的关系【知识点的认识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．【命题方向】直接考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．11．数列的求和【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【解题方法点拨】典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即数列{bn}的前n项和Tn＝．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【命题方向】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．12．等差数列与等比数列的综合【知识点的认识】1、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．2、等比数列的性质．（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．13．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴14．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．15．利用导数研究曲线上某点切线方程【知识点的认识】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【解题方法点拨】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．16．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：（1）＝＝||cosθ；（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；（3）分配律：（）•≠•（）平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“”，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴”不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．17．平面向量的基本定理【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．18．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．19．余弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C变形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．20．解三角形【知识点的认识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、