如果积分区域D为市公开课一等奖百校联赛特等奖课件

假如积分区域D为：其中函数、在区间上连续.§2EvaluationofDoubleIntegral

一、DoubleIntegralinRectangularCoordinates［X－型区域］

X型区域特点：

穿过区域且平行于y轴直线与区域边界相交不多于两个交点.第1页应用计算“平行截面面积为已知立体求体积”方法,得依据二重积分几何意义,当时,D第2页假如积分区域D为：［Y－型区域］

Y型区域特点：穿过区域且平行于x轴直线与区域边界相交不多于两个交点.第3页当被积函数均非负在D上变号时,所以上面讨论二次积分法依然有效.因为第4页说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还能够交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,

则第5页Eg.1注意两种积分次序计算效果！Sol.1

将D看作X–型区域,则Sol.2

将D看作Y–型区域,

则第6页Eg.2

计算其中D是抛物线所围成闭区域.

Sol.

为计算简便,先对x后对y积分,及直线则第7页Eg.3Sol.X-型第8页Eg.4Sol.积不出积分，无法计算。第9页

由以上几例可见，为了使二重积分计算较为简便，终究选取哪一个积分次序主要由积分区域特点来确定，同时还要兼顾被积函数特点，看被积函数对哪一个变量较轻易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数特点。有些二次积分为了积分方便,还需交换积分次序.第10页Eg.5

交换以下积分次序Sol.

积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则第11页Sol.

积分域由两部分组成:D1D2视为Y–型区域,则第12页Eg.7Sol.第13页Sol.第14页Sol.第15页化二重积分为二次积分时选择积分次序重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差异很大，甚至有些题目对一个次序能积出来，而对另一个次序却积不出来.另外交换二次积分次序：先由二次积分找出二重积分积分区域，画出积分区域，再交换积分次序，写出另一个次序下二次积分.以上各例说明第16页性质:

设函数D位于x轴上方部分为D1,

当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,在D上在闭区域上连续,域D关于x轴则则仍有类似结果.在第一象限部分,则有对称,

第17页Eg.10

计算其中D由所围成.Sol.令(如图所表示)显然,第18页Eg.11求两个底圆半径为R直角圆柱面所围体积.Sol.

设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体顶为则所求体积为第19页Sol.曲面围成立体如图.第20页二重积分在直角坐标下计算公式（在积分中要正确选择积分次序）小结［Y－型］［X－型］第21页思索与练习1.设且求解:交换积分次序后,x,y交换第22页2解先去掉绝对值符号，如图第23页将D分为添加辅助线利用对称性,得3.

计算二重积分解:积分域如图,其中

D由直线围成.第24页证实证:左端第25页5.证:左端第26页练习题第27页第28页第29页第30页练习题答案第31页第32页二、DoubleIntegralinPolarCoordinates第33页设D

:则若

f≡1则可求得D面积第34页尤其,若D:则D:深入,若则第35页Sol.第36页Eg.2

计算其中Sol.

在极坐标系下原式原函数不是初等函数,故本题无法用直角因为故坐标计算.第37页注:利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用反常积分公式实际上,当D为R2时,利用例2结果,得①故①式成立.第38页Sol.第39页Sol.第40页Sol.A第41页Eg.6

求球体被圆柱面所截得(含在柱面内)立体体积.

Sol.

设由对称性可知第42页二重积分在极坐标下计算公式（在积分中