吉林省长春市经开区2023年中考数学模拟试卷【含答案】

吉林省长春市经开区2023年中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分。）

1.在数51，—3,。中，最大的数是（）

2

A.1B.1C.-3D.0

2.如图，一个由6个相同小正方体组成的几何体的俯视图是（）

黏

9B.S

3.在数轴上，与表示，新的点最接近的整数是（）

A.5B.6C.35D.1225

4,若式子皿―在实数范围内有意义，贝b的取值范围是（）

A.x<-2B.x>-2C.x<2D.x>2

5.如图是一台起重机的侧面示意图，起重臂2C的最底部到墙的水平距离

CD=4m,起重臂与水平线形成的夹角为a,起重臂底座的高度MN=1.5m.

下列式子中，能够表示起重臂顶部4处与地面的距离（单位：机）的是（）

.4tana.-4

A~；--1Lb

-氤B.4C氤+13D.4tana+1.5

6.如图，。。的直径上有一个动点M,4C为。。的弦，若。4=5,AC=6,则线段CM的

长度不可能是（）

A.4.5

B.4.8

C.6.2

D.7.7

7.在我国古典数学著作例'子算经》中有这样一道题:

“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”翻译成现代汉

语就是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长

木多少尺？如果设长木长x尺、绳长y尺，则可以列出方程组（）

（x—y—4.5（y—x—4.5（x—y—4.5ry—x—4.5

A.jiB.pC.{1D.]1

[-y-x=1[-y-x=1（x--y=l[x--y=1

8,若点4（X1，—3）,8。2，-2）,C（%3，1）均在函数丫=一岭竺的图象上，则》1、K2、％3的大小关系是（）

xx

A.V%2<3B.%3V<2C.X2<xr<X3D.X3<X2<%1

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.分解因式：x2y-4y=.

10.一种细胞的直径为2x10-3厘米，将2xIO-写成小数为.

11.如图，在平面直角坐标系中，若口力BCD的三个顶点的坐标分别是力（-1,0）、

B（-2,-3）、£>（3,2）,则顶点C的坐标是.

12.如图，将一副三角尺摆放在一起，含45。角的三角尺的斜边与含3。。角的三角尺A

的较长直角边恰好重合，作4E1CD于点E,连结BE,贝此ABE的大小为.

CED

13.如图是以点。为圆心的两个半圆，AB,CD分别为两个半圆的直径，点F___

在大半圆上，4尸切小半圆于点E,若=8,CD=4,则图中阴影部分图形的面

积为.（结果保留\\

ACOD8

兀）

14.已知二次函数的表达式为y=-/+2hx-八，当一lWxWl时，函数有最大值n,贝1JTI的最小值

是.

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题6.0分）

先化简，再求值：（x+3）2+（久+2）。-2）-x（x+6）,其中X=

16.（本小题6.0分）

一个袋中装有1个红球和2个黄球，它们除了颜色以外完全相同，随机取出一个小球后放回，再随机

取出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求两次取出的小球颜色相同的概率.

17.（本小题6.0分）

为了锻炼身体，榕榕每周日骑自行车去图书馆，图书馆距榕榕家15千米，在相同的路线上，乘车的速

度是骑自行车速度的4倍，所以榕榕要比乘车时提前出发45分钟，才能和乘车到达图书馆的时间相同,

求榕榕骑自行车的速度.

18.（本小题7.0分）

如图，图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,其顶点称为格点，

点力、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中，分别画一个等腰三角形ABC,要求

点C在格点上，三个图形中的等腰三角形48c位置不相同，但均为锐角三角形.

19.（本小题7.0分）

如图，点4、B、C都在。。上，NC4B=NCBA求证：AOAC=AOBC.

20.（本小题7.0分）

一队运动员在等电梯，他们的体重如下：（单位：kg）

82.7,78.7,78.8,77.3,83.6,85.4,73,80.6,83.2,71.3,74.4.

（1）这队运动员共有人，他们体重的平均数是kg,中位数是kg.

（2）在等电梯时，又来了4位女士，她们的平均体重是52.3kg,若这部电梯的定员为18人，安全载重

为1100刖，请通过计算说明：这队运动员和这4位女士能否一起安全地搭乘这部电梯？

21.（本小题8.0分）

李老师驾车从甲地去乙地取一个重要文件，到达乙地后立刻返回到甲地（取文件时间忽略不计）.设李老

师的车与乙地的路程为y（千米），离开甲地的时间为道时），y与久的函数关系如图象所示.

（1）从甲地前往乙地时，李老师的车速为千米/时.

（2）求李老师从乙地返回甲地过程中y与x的函数关系式.

（3）在甲、乙两地之间有一座收费站，老师从去时通过收费站，到返回时通过收费站，间隔时间为1小

时45分，直接写出甲地与收费站之间的路程为千米.

22.(本小题9.0分)

【问题背景】如图①，在AABC中，/.ACB=90°,48>NC4B,点。为4B的中点，DE_LCD交直线4C

于点F,连结力E,AE_LHB.求证：AE=EF.

【分析解决】••・N4CB=90。，点。为力B的中点，

...CD=AD^D8直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

.­.Z.DAC=Z.DCA....

在此基础上，结合题目中的多个垂直条件，可得到一些互余关系.…

请你延续以上思路，完成本题结论的证明.

【变式探究】如图②，将【问题背景】中的NB>NC4B改为48<NC48,其余条件不变.判断HE=EF

是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请简述理由.

【结论应用】在图①中，若48=68。，则=°.

在图②中，若NB=34。，则乙4DE=°.

如图，在AABC中，AB=AC=10,BC=475,AD_LBC于点。，点P从点2出发，沿折线AC-CD向

终点。运动，点P在4C上以每秒5个单位长度的速度匀速运动，在CD上以每秒门个单位长度的速度匀

速运动，当点P不与点4。重合时，作PQ〃4B,PQ与射线4D交于点Q,以PQ为一边向左侧作正方形

PQMM设点P的运动时间为t(s).

(1)直接写出4D=.

(2)求sinNBAC的值.

(3)当正方形PQMN与AABC重叠部分图形是四边形时，直接写出t的取值范围.

(4)连结BM,直接写出BM1A8时t的值.

A

24.(本小题12.0分)

如图，直线y=gx-2与y轴交于点4,与%轴交于点B.抛物线y=：久2+。久+c经过点4,点B,并与工

轴有另一交点C.

(1)依题，点力的坐标是.，点B的坐标是

(2)求抛物线的解析式.

(3)在直线力B下方的抛物线上有一点D,求四边形力DBC面积的最大值.

(4)在x轴上有一个动点将线段04绕点P逆时针旋转90。得到线段MN.直接写出线段MN与抛物

线只有一个公共点时a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：正数＞。＞负数，几个正数比较大小时，绝对值越大的正数越大.

可得1＞|＞0＞-3,

所以在,，1,-3,0中，最大的数是1.

故选：B.

根据正数＞0＞负数，几个正数比较大小时，绝对值越大的正数越大解答即可.

此题主要考查了正、负数、0及正数之间的大小比较.正数＞0＞负数，几个正数比较大小时，绝对值越大

的正数越大.

2.【答案】A

【解析】解：如图所示的立体图形的俯视图如下：

开

故选：A.

根据从上面看得到俯视图即可.

本题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到

的图形是关键.

3.【答案】B

【解析】解：•.•■＜，^＜尊，

5＜V35＜6，

V5.52=30.25＜35,

・•・表示，京的点最接近的整数是6.

故选：B.

先估算出/费的取值范围，进而可得出结论.

本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：式子归V在实数范围内有意义，

则2-乂20,

解得：x＜2.

故选：c.

二次根式的概念.形如，石(a20)的式子叫做二次根式，进而得出答案.

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键.

5.【答案】D

【解析】解：由题意可知MN=D8,乙WC=90。，

CD-4m,

在Rt△ACD中，AD=tana-CD=4tana(m),

起重臂顶部4处与地面的距离为：AD+DB=AD+MN=(4tana+1.5)m.

故选：D.

在Rt△力CD中，AD=tana-CD,则起重臂顶部4处与地面的距离为4D+MN,计算即可.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：如图，连接BC,过点C作CD,4B于D,

・••48是。。的直径，

•••Z.ACB=90°,

•••。力=5,

•••AB=2。4=10,

在Rt△力BC中，AB=10,AC=6,

BC=7AB2-AC2=8，

11

■■SAABC=^ACBC=^AB-CD,

•••6x8=10-CD,

CD=4.8,

即点C到AB的距离为4.8,此时CM最小，

当M移动到点B时，CM最大，即CM=CB=8,

即4.8<CM<8,

故选：A.

利用圆周角定理以及勾股定理可求出BC,再根据三角形面积可求出CD,即CM的最小值为4.8,再求出CM

的最大值BC=8,最后再进行判断即可.

本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

7.【答案】D

【解析】解：・・•用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，

：,y—X—4.5；

・••将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，

1«

•••x--y-1.

(y—x=4.5

・•・根据题意可列方程组1.

(x--y=1

故选：D.

根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出

关于x,y的二元一次方程组，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是

解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：•；—(/+10)<0,

x>0时，y<0,y随着久的增大而增大；x<0时，y>0,y随着x的增大而增大，

—3V—2V1,

•••x2>>0,

V1>0,

・,•第3<0，

即％3<%1<%2»

故选：B.

根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的纵坐标，即可得到答案.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数增减性是解题的关

键.

9.【答案】y(.x+2)(%-2)

【解析】解：x2y-4y,

=y(x2-4),

=y(x+2)(x-2).

故答案为：y(x+2)(x-2).

先提取公因式y,然后再利用平方差公式进行二次分解.

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键.

10.【答案】0.002

【解析】解：2xIO7=0002.

故答案为：0.002.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlOf,与较大数的科学记数法不同的是其

所使用的是负整数指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlOf,其中iw|a|<10,n为由原数左边起第一个

不为零的数字前面的0的个数所决定.

11.【答案】(2,-1)

【解析】解：设C(a,6),

•••四边形力BCD是平行四边形，

•­.AD//BC,5.AD=BC.

Xp一久4=一%D，即一2—(一])=Xc一3.

-yx—y(?-yc>即—3—0=%；—2•

•••xc=2,yc=-1,

・・・C(2,-1).

故答案为：(2,-1).

设C(a,b),根据平行四边形的对边平行且相等得到：

本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，根据平行四边形的性质得到“冲-/=久0-和，

=%?-九>"是解题的突破口―

12.【答案】105°

【解析】解：如图，过点B作BF14E于F,则四边形BCEF是矩形，AABF是等腰直角三角

形，

设ZB=a,贝1」力。=2a,BD=VAD2-AB2=/3a，

在RtABCD中，BC=CD=苧BD=苧a,

在中，AF=BF=^AB=号=CE，

在Rt△BCE中，tanZCBE=段=孕，

DC3

・•・ABE=30°,

Z-ABE=Z-ABC—Z-CBE

=90°+45°-30°

=105°,

故答案为：105。.

根据勾股定理以及直角三角形的边角关系求出NCBE的度数即可.

本题考查的是三角形内角和定理，圆周角定理，直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系以及

三角形内角和等于180。是解题的关键.

13.【答案】。+2门

【解析】解：连接。E,OF,

4尸与小半圆相切于E,

•••OE1AF,

vAB=8,CD=4,

OE=2,OA=4,

“八厂OE21

,-.cosZ/lOE=-=-=->

••・//OE=60°,

。4=OF,OE14F,

••・"OE=(FOE=60°,

・•.Z.BOF=180°-AAOE一乙EOF=60°,

EF=y[3OE=2/3,

.•.AOEF的面积=^EF-OE=^x273x2=2y[3,

•••扇形。8尸的面积=丝察=枭，扇形。ED的面积=留%="，

36033603

二阴影的面积=扇形。8尸的面积+4OEF的面积—扇形。DE的面积=疑+2AA3—^n=^n+2y/~3.

故答案为：|TT+2/3.

连接。E,OF,由4F与小半圆相切于E,得到。E，4F,由锐角的余弦求出NAOE的度数，即可求出EF的长,

求出扇形。BF的面积、△OEF的面积、扇形。DE的面积，即可求出阴影的面积.

本题考查切线的性质，扇形面积的计算，关键是求出扇形。BF的面积、AOEF的面积、扇形。DE的面积，即

可求出阴影的面积.

14.【答案】一。

【解析】解：y=—x2+2hx—h,

抛物线开口向下，对称轴为直线X=-*"=%,

当hW—1时，x=-l时y取最大值，止匕时几=-l-2h-h=-l-3h>2；

当一1<无<1时，x-八时y取最大值，此时ri-h2+2h2—h—h2—h—(^h—^)2—；>—；；

当h21时，x=1时y取最大值，止匕时n=-l+2h-h=h-l>0.

综上所述：n的最小值为-J.

4

故答案为：—P

根据二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，分hW-l、一1<h<1及八21三种情况考虑，利用

二次函数的性质结合力的取值范围即可找出九的取值范围，取其最小值即可得出结论.

本题考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，分/iW-1、-1<无<1及八21三种情况考虑是解题的

关键.

15.【答案】解：(%+3)2+(%+2)(久-2)—x(x+6)

=x2+6x+9+x2—4—x2—6%

-x2+5,

当x=时，原式=(V-2)2+5=2+5=7.

【解析】先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答

案即可.

本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键.

16.【答案】解：画树状图如下：

开始

共有9种等可能的结果，其中两次取出的小球颜色相同的结果有5种，

•••两次取出的小球颜色相同的概率为今

【解析】画树状图得出所有等可能的结果数以及两次取出的小球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得

出答案.

本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键.

17.【答案】解：设榕榕骑自行车的速度为尤千米/小时，则榕榕乘车的速度为4支千米/小时，

根据题意得：竺-孕=票

x4%60

解得：%=15,

经检验，久=15是原方程的解，且符合题意.

答：榕榕骑自行车的速度为15千米/小时.

【解析】设榕榕骑自行车的速度为%千米/小时，则榕榕乘车的速度为4x千米/小时，利用时间=路程+速度,

可得出关于％的分式方程，解之经检验后，即可得出结论.

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

【解析】根据等腰三角形的定义以及题目要求画出图形即可.

本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问

题，属于中考常考题型.

19.【答案】证明：/-CAB=^CBA,/.CAB=jzBOC,^CBA^AOC,

•••Z-AOC=Z-BOC,

•••AC=BC,

又•・•OA=OB,OC=OC.

••仙OAC"OBC(SSS).

【解析】根据圆周角定理可得NAOC=乙BOC,进而得到AC=BC,再有同圆的半径相等得出。4=OB,0C=

0C,进而得出两个三角形全等.

本题考查圆周角定理，全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法以及圆周角定理是正确解答的前提.

20.【答案】117978.8

【解析】解：(1)这队运动员共有11人，

体重的平均数为：(82.7+78.7+78.8+77.3+83.6+85.4+73+80.6+83.2+71.3+74.4)+11=79(千

克)，

把数据按从小到大的顺序排序：

71.3,73,74.4,77.3,78.7,78.8,80.6,82.7,83.2,83.6,85.4,

.••中位数为78.8.

故答案为：11,79,78.8；

(2)11+4=15,

­.­15<18,

•••人数不超；

•••79X11+52.3X4=1078.2<1100,总重不超.

・•・可以安全搭乘这部电梯.

(1)根据平均数和中位数的定义分析计算即可；

(2)根据人数和体重的千克数进行判断即可.

本题考查了平均数以及中位数，解题的关键是掌握算术平均数和中位数的计算方法.

21.【答案】75225

【解析】解：(1)由图象可得，

从甲地前往乙地时，李老师的车速为：300+4=75(千米/小时)，

故答案为：75；

(2)设李老师从乙地返回甲地过程中y与x的函数关系式为y=kx+b,

•.•点(4,0),(7,300)在该函数图象上，

(4k+b—0

"hk+b=300'

解得仁=

[b=-400

即李老师从乙地返回甲地过程中y与x的函数关系式为y=100尤-400；

(3)设甲地与收费站之间的路程为a千米，

由题意可得：(300—Tn)+75+(300—Tn)+[300+(7-4)]=1—,

解得m=225,

即甲地与收费站之间的路程为225千米，

故答案为：225.

(1)根据函数图象中的数据，可以计算出从甲地前往乙地时，李老师的车速；

(2)先设出李老师从乙地返回甲地过程中y与x的函数关系式，然后根据点(4,0),(7,300)在该函数图象上，即

可求得该函数的解析式；

(3)先设出甲地与收费站之间的路程，然后根据函数图象中的数据，即可计算出甲地与收费站之间的路程.

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

22.【答案】4622

【解析】【分析解决】证明：；N4CB=90。，点。为力B的中点，

・•.CD=AD=DB=(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，

/-DAC—Z-DCA,

AE1AB,

•••乙EAB=90°,

^EAF+"AC=90°

DE1CD,

乙EDC=90°,

・・・〃FC+"C4=90。，

••・^EFA+ADCA=90°,

:.Z.EAF=Z-EFAj

・•・AE=EF；

【变式探究】解：仍然成立.

乙4cB=90。，点。为4B的中点，

1

/.DA=DC=DB=±AB,

・•・Z-DAC=Z-DCA,

•・,AE1AB,

・・•Z,EAB=90°,

・•・4EAF+^DAC=90°

DE1CD,

・•・乙EDC=90°,

・•・ZF+^DCA=90°,

:.Z.EAF=乙F,

・•・AE=EF；

【结论应用】解：如图①中，二

68°,

・・・乙CAB=22°,

EA1AB,

・•・匕EAB=90°,

EA—EF,

・•・4EAF=Z-EFA=90°-22°=68°,

vZ.AFE=Z-ADE+Z-BAC,

・•.匕ADE=68°-22°=46°.

如图②中，v^ACB=90°,Z,B=34°,

・•・乙CAB=56°,

•・,EA1AB,

・•・乙EAB=90°,

•••EA=EF,

・•・/LEAF=AF=90°-56°=34°,

•・•乙CAB=Z-ADE+乙F,

/.ADE=56°-34°=22°.

故答案为：46,22.

【分析解决】利用等角对等边证明即可；

【变式探究】仍然成立.证明=可得结论；

【结论应用】利用三角形内角和定理求出ABAC,再求出NAFE,利用三角形的外角的性质求解即可.

本题属于三角形综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关

键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

23.【答案】4/5

【解析】解：⑴•-AB=AC,AD1BC,

BD==|X4/5=2<5.

在RtAABD中，根据勾股定理得：AD=y]AB2-BD2=J102-(2^/5)2=4<5.

故答案为：4<5.

(2)如图1,作CE1AB于点E.

图1

分别以4B、BC为底表示△ABC的面积两式相等，可得：CE==^=8；

AD

***AC—————.

(3)正方形PQMN与△ABC重叠部分图形随着t的变化而变化.

①如图2,当Q点与。点重合时，正方形PQMN与AABC重叠部分图形，由四边形变为五边形.

A

图2

•♦・PQ//AB,

APBD4

，,丽=而j

・•・此时：t=次£=9=i.

55

QQSZ-BAC=J1-6)2—I；

VPQ//AB,PNtPQ,

・•・PN1AB.

□

•••此时，APcos^BAC+PQ=AB,即5＞擀+5t=10,

解得：”"

4

如图4：当P与C重合时，正方形PQMN与△4BC重叠部分图形，由四边形变为三角形.

A

综上：七的取值范围为：0＜七＜1,：WtV2.

(4)由(3)可知t=3时，MQ经过点3时5Mlz3；

另外当P在DC上时，也会出现BM_LA5,如图5.

vPQ//AB,MQ1PQ；

・•・MQ1AB,

ABD~4BQD~AQPD.

AB：BQ：PQ=AD：BD：QD=BD：QD：PD,即：10：BQ：PQ=QD=2^-5*QD：PD；

得:PD=字

•••CP=BC