导数的概念及其意义专项练习-2024届高考数学一轮复习

导数的概念及其意义

一、基础巩固练

1.函数於)=x+：在x=2处的切线斜率为()

3

A.-3B.-

4

C.-D.5

4

2.设函数於)=x?+3x,贝晦m0⑴=()

A.5B.-5

C.2D.-2

3.已知函数危)=4一：,则曲线产危)在点(1次D)处的切线方程为()

A.3x+2y-3=0

B.3x-2y-3=0

C.2x-3y-2=0

D.2x-3y+2=0

4.已知直线x-y+3=0是曲线7=》3+m+1的一条切线，则实数加=()

A.2B.1

C.-lD.-2

5.已知函数产危)的图象在点尸(5<5))处的切线方程是产-x+8,则

人5)"(5)=()

A.2B.3

C.4D.-1

6.(多选题)已知函数/(xAlnQXl+x2,下列直线是曲线y=/(x)的切线的是()

2e2

A.(-+e)x-y--=0

B.12x-4y-5=0

C.8x-4y-3=0

D.3x-y-2+ln2=0

7.若曲线y=lnx+：在x=2处切线的倾斜角为a,则tana=.

8.曲线产e2ax在点(0,1)处的切线垂直于直线2x-y=0,则a=.

9.曲线y=(x-4)ex过坐标原点的切线方程为.

二、综合提升练

10.过点(2,0)作曲线/(x)=xex的两条切线，切点分别为(xij/CxDXSj/On)),则

Xl+X2=()

A.-2B.-V2

C.V2D.2

11.在曲线厂2叱的所有切线中，与直线产7x+6平行的共有()

A.4条B.3条

C.2条D.1条

12.(多选题)若函数y=/(x)的图象上存在不同的两点,使函数图象在这两点处的切

线斜率之积小于0且斜率之和等于常数e,则称该函数为“e函数”，下列四个函数中,

为“e函数”的是()

2

A.«x)=-B.J(x)=sinx

C.J(x)=x2+2xD；/(x)=—

13.若点P是曲线yUnx-x2上任意一点，则点P到直线l:x+y-4=0的距离的最小值

为.

14.已知函数/)=-/+2f-x,若过点P(1」)可作曲线尸危)的三条切线，则f的取值范

围是.

15.已知函数於)=f+alnx有两条与直线y=2x平行的切线，且切点坐标分别为

P(X1<X1)),O(X2次⑼),则空的取值范围是_________.

%1+%2

1.B解析因为式x)=x+±则八x)=l3,所以八2)=14=j，因此函数加：)=》+工在

XX24X

x=2处的切线斜率为，故选B.

4

2.A解析依题意义x)=2x+3,则八1)=5,因此lim”出幽="1)=5,故选A.

△%一oAx

3.B解析因为汽1)=0,所以切点为(1,0),又因为/&)=七+5，左="1)=|,所以切线

xx/

方程为y二|(x-l),即3/2y-3=0,故选B.

4.D角星析曲线可得直线尤-y+3=0是曲线丁二元3+如+1的

一条切线，设切点横坐标为。，则切点纵坐标为。+3,则Fa?+m=^

］解得

(a+3=a+ma+1,

a=-1,

故选D.

m=-2,

5.A解析由于函数y=/(x)的图象在点P(5<5))处的切线方程是y=-x+8,

故人5)=-5+8=37(5)=-1,故15)tf(5)=2,故选A.

6.ABD解析由于/(xAlnQxl+x2,》>。,所以/Xx)=1+2x，2V^,因此y=y(x)切线斜率

的最小值为2也对于选项A,在点(|啰))处的切线的斜率为5+e,切点为(|,1+?),切

线方程为g+e)x-y-?=0,故A满足;对于选项B,在点(^/<$)处的切线斜率为3,切点

为(1：),切线方程为12x-4y-5=0,故B满足;对于选项C,直线8x-4j-3=0的斜率为

24

2<2但，故C不可能为y=/(x)的切线;对于选项D,在点(1次1))处的切线斜率为3,切

点为(l,l+ln2),切线方程为3x-j-2+ln2=0,故D满足.故选ABD.

7.；解析由于旷=工—则丁卜=2="故切线的斜率为"即tana=；.

4XX“444

8.-：解析歹=2流2巴所以yb=o=2a,因为在点(0,1)处的切线垂直于直线2x-y=0,故

切线的斜率为[，故2a=[,即

9.j=-e2x解析设切点为(xo,yo),则yo=(xo-4)eXoy=ex+(x-4)e*=(x-3)ex,切线的斜率

为(血-3)心。,所以切线方程为j-(xo-4)ex°=(xo-3)-ea(x-xo),又切线过原点，所以

O-(xo-4)ex°=(xo-3)eXo(O-xo),即就-4xo+4=O,解得xo=2,所以切线方程为v=-e2x

10.D解析由题意得八x)=(x+l)e;过点(2,0)作曲线五x)=xex的两条切线,设切点

坐标为(xo/oe*。),则5)+1)村。=殛吧，即(就-2协2)心。=0,由于e久。>0,故

XQ-2

就-2xo-2=O,/=12>O,由题意可知xi,%2为就-2xo-2=O的两个解，故XI+X2=2,故选D.

11.B解析由旷=6元2+/,令6/+2=7,得x=+l或%=土不当x=l时，切点(1,1)不

在直线y-7x+6上,切线不与直线y-7x+6重合，满足题意;当x=-l时，切点(-1,-1)在

直线y=7x+6上，切线与直线y=7x+6重合,不满足题意;当x当时，切点(粤，-笑不

在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合，满足题意;当》=-粤时，切点(-萼，笑

6618

不在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合，满足题意.故在曲线丁=2%3+的所

有切线中,与直线y=7x+6平行的共有3条，故选B.

12.CD解析不妨设两点分别为。忧川工⑴次⑼),根据导数的几何意义，两点处

的切线斜率之积小于0且斜率之和等于常数e,即应满足八刈八双)<0且

八xi)tf(x2)=e.对于选项A,由于於)=|,所以八x)=告<0恒成立，因此不存在xi幽满

足人%1)八了2)<0,故选项A错误;对于选项B,由于y(x)=sinx,所以八x)=cosx©[-1,1],

因此不存在xi,X2满足八xi)+/Xx2)=e,故选项B错误;对于选项C,由于/(x)=/+2x,

则八x)=2x+2,由于1(X)值域为R,所以存在xi,x2使/(xi)f(X2)<0且八xi)4/(x2)=e,

即汽x)=f+2x是“e函数”，故选项C正确;对于选项D,由于4力=竽，所以/(x)=5詈,

令g(x)2要，则8口)=等0,当X©(o,e5)时,g(x)<0,当xC(e5,+co)时,g(x)>0,所以当

x=e5时,g(x)有最小值-点，因此g(x)即八x)值域为(-圭,+co),因此存在xi,X2使

7(^1)7(^2)<0且八xi)+/U2)=e,即於)=笥是二函数”，故选项D正确，故选CD.

13.2夜解析过点P作曲线y=lnx-x2的切线，当切线与直线/：》+.4=0平行时，

点P到直线l:x+y-4=0距离最小.设切点为P(xo,yo)(xo>O),y=；-2x,所以切线斜率为

左=工-2科由题知工-2xo=-l,解得xo=l或％0=-工(舍去)，所以此时点P到直线

%。%02

14

l:x+y-4-0的距离d-^-I=2V2.

v2

14.(0,^)解析设过点P的直线为/:了=左(》-1)+//(》)=-3*2+4*-1,设切点为(*0,加),

-3%o+4x-l=k,

则0得/+1=2%o-5%Q+4x()有三个解，令

k(x0-l)+t=-%o+2XQ-X0,

g(x)=2X3-5X2+4x,gf(x)=6x2-10x+4=2(x-1)(3x-2),gf(x)>0时,x>l或x<|,当gQ)<0

时所以g(x)在(-oo,|),(l,+oo)内单调递增,(|,1)内单调递减,又因为

g(|)=H，g(l)=l,g(x)=/+l有三个解，得即0</<5