2024高考数学一轮复习讲义+练习：函数的零点与方程的解（解析版）

专题19函数的零点与方程的解

题型一求函数的零点

1.关于X的不等式(x-2)(x-3)〈根的解集为何为＜彳＜%｝，则下列说法正确的是()

A.当机=0时，%=2,无2=3

B.若%＜三,则"7＞-工

4

C.当机＞0时，贝1]2＜者＜无2＜3

D./(尤)=(%-占)(%一々)+机的零点是2和3

【答案】ABD

【解析】A选项，当〃7=0时，原不等式可化为(x-2)(x-3)＜0,解得2〈尤＜3,所以西=2,x2=3;A

正确；

B选项,设g(x)=(x-2)(x-3)=x2-5^+6=(^—|J-J,所以=一)；

因为不等式(X-2)(X-3)＜:九的解集为｛*|公＜x＜xj,x,＜x2,即不等式有解，所以必有机＞一:，B正确;

C选项,令〃(X)=(X-2)(X-3)7〃，当〃7＞0时，y=(x-2)(x-3)可由函数/z(x)=(x-2)(x-3)-〃响上

平移m个单位得到；又y=(x—2)(x—3)的零点为2和3；函数力@)=(彳一2乂万3)—力的零点为网和々；

所以网＜2＜3＜超；C错；

D选项,由C选项可知,h(x)=(x-2)(x-3)-m=(x-xl)(x-x2),

所以/(x)=(x-x()(x—尤2)+“2=(X-2)(X—3),令〃X)=。可得X=2或X=3,即

%当)+"‘的零点是2和3.故D正确.

故选：ABD.

2.若f(x)是奇函数，且xo是y=f(x)+ex的一个零点，则一xo一定是下列哪个函数的零点()

A.y=f(—x)ex—1B.y=f(x)e-x+1

C.y=e、f(x)—1D.y=exf(x)+1

【答案】C

【解析】由已知可得f(xo)=—exo,则e-xof(xo)=-1,

-xOf(—xo)=l,故一xo一定是y=exf(x)—1的零点.

3.已知函数火x)=/—0x+3.

(1)若40)=/(4),求函数人x)的零点；

(2)若函数人用一个零点大于1,另一个零点小于1,求方的取值范围.

【答案】(1)1和3(2)6的取值范围为(4,+oo)

【解析】(1)由/(。)=/(4),得出6=4,再将6=4代入函数/⑺，解方程”x)=0即可；(2)根据二

次函数的图象，只需/⑴V。即可.

试题解析：（1）由式0）=/（4）,得3=16—4Z?+3,即。=4,所以外）=/—以+3,令«x）=0,

即N—4x+3=0,得的=3,%2=1,

所以八%）的零点是1和3.

（2）因为1X）的零点一个大于1,另一个小于1,如图.

/

I\1/

1

需式1）<0,即1—6+30,所以n>4.

故6的取值范围为（4,+oo）.

2（一

式2J

4.已知函数f（x）=

X2+2x+tz_11x,,—I.

（1）若a=l,求函数〃%）的零点；

（2）若函数/（%）在［-L+8）上为增函数，求〃的取值范围.

【答案】（1）-2,0,y/2;（2）a,—

4

1?

【解析】（1）当时，由x——=0,得尤=0；

2x

当工工大时，由%2+2工=0得x=0或x=—2.

2

・・.a=l时，函数〃%）的零点为-2,0,亚.

（2）函数g（x）=x-彳在；,+［上是增函数，且«；）=—■!，

函数/1（%）=X2+21+4-1在一1,；上为增函数，且

171S

若/（%）在［-1,+8）上为增函数，贝（JQ+了，一5，6Z,,.

题型二函数零点存在定理的应用

1.（多选题）已知函数/（x）=L与，则下列对于“X）的性质表述正确的是（）

A.〃尤）为偶函数

3

c.”X）在［2,3］上的最大值为-I

D.8（力=/（力+》在区间（-1,0）上至少有一个零点

【答案】ABCD

1_r2

【解析】解：因为=所以其定义域为R,

1_(—\2]—X2

A选项，/(-x)=X=--=/W,所以函数f(x)为偶函数，故A正确;

1+(―X)21+Xr

U=故8正确;

2选项，f

1_277

C选项，因为/卜)=;r=_1+—,当xe[2,3],y=l+x2单调递增，所以/(尤)=_1+=京单调递

1+X-1+JC”

减，因此+故C止确；

。选项，因为g(x)=〃x)+x,所以g(—l)=〃—1)—1=—1,g(O)=/(O)+O=l,

即g(-l)-g(0)<0,由零点存在性定理可得：g(x)=〃x)+x在区间(-1,0)上存在零点，故D正确；

故选：ABCD

2.已知函数/。)="+天-2途(无)=111%+*-2,且以4=8(切=0,则下列结论错误的是

A.a>bB.a<bC.g(a)<0<f(b)D.g(a)>0>f(Jj)E.a+b=2

【答案】AD

【解析】因为函数〉=",y=lnx,y=x-2都是增函数,所以/(x)=e*+x-2,g(x)=lnx+元-2都是增函数，

又/(0)=6°+。一2=-1<0,/(1)=3+1-2=0-1>0,所以0<。<1,

g(l)=ln-l+l-2=—l<0,g(2)=In2+2-2=ln2>0,所以1<人<2,

所以0<。<1<人<2,故A错误,B正确；

因为。<6,所以g(a)<g(6)=0,f(a)</S),即/S)>0,所以g(a)<。<f(b)，故C正确Q错误；

x

令/(%)=e、r+x—2=0,g。)=lnx+x_2=0,贝5|e=2—x,In尤=2—x,

由于函数〉=«£,〉=lnx都和y=2-x相交，且y=e*和y=lnx关于直线y=x对称，又y=2-x和y=x的交

点为(1,D,所以。+6=2,所以E正确.

故选：AD

3.判定方程3£-V=0在区间［L2］内是否有实数解.若有，求出精确到0.01的近似解；若没有，请说明

理由.

【答案】没有，理由见解析.

【解析】方程3*-d=0在区间［1,2］内没有实数解.理由如下.

设〃同=3;丁，贝°〃1)=3_1=2>0,/(2)=9-4=5>0,

又根据函数y=3",y=x?增长速度可知，当xe［l,2］时，3工-*>0恒成立，

故不存在xe［l,2］,使3，-/=0.

即方程3,-无2=o在区间［1,2］内没有实数解.

4.函数〃£)=2，和g(x)=/的图象如图所示，设两函数的图象交于点4%,%)，且再<三.

(1)请指出图中曲线G，C?分别对应的函数；

(2)结合函数图象,判断/■(合g(6)"(2019),g(2019)的大小.

【答案】(1)G对应的函数为g(x)=l,C?对应的函数为/(x)=2，；

(2)/(2019)>g(2019)>g(6)>/(6).

【解析】(1)当x较大时，总有2，>d,故C?为/*)=2,的图象，G为函数g(x)=Y的图象.

(2)由图象可得2*=无3有两个不同的解占,三,

当天<为或％<%2时，有，(x)>g(x);

当不<X<Xz时，有/(x)<g(x),

令/(%)=2工—因为b(l)=l>o,F(6)=152<0,F(10)=1024-1000=24>0,

由零点存在定理可以得到1<玉<6</<1。，

所以〃6)<g⑹，7(2019)>g(2019),

又g(无)为R上的增函数，故g(2019)>g⑹,所以/(2019)>g(2019)>g(6)>/(6).

题型三根据零点的分布求参数范围

Y—ax0

1.若函数〃尤)=,二有两个不同的零点，则实数。的取值范围是

Inx,x>0

【答案】(0,1］.

【解析】当龙>0时，由/'(x)=/nx=。，得x=l.

函数/(x)有两个不同的零点，

当天,0时，函数"r)=2=a还有一个零点，

令，3=。得4=2，,

0<2l„2°=1,:.0<a,,l,

实数。的取值范围是。<4,1.

故答案为：(。，1].

2.若函数y=根的图象与x轴有公共点，则机的取值范围是

【答案】[-1,0)

【解析】由'+加=0可得出

设函数g(x)=r

则直线>=一机与函数y=g(x)的图象有交点,

由图象可知0<g(x)41,则0W1,解得-LM/n<0.

因此，实数小的取值范围是

故答案为：[-1,0).

3.函数/(尤)=小_(2左-l)x-3在区间(1,内)上有且只有一个零点，求实数上的取值范围.

【答案】左e(-oo,-2)u[0,+co)

【解析】当％=0时，/(x)=x-3,函数有1个零点3,符合题意；

当左>0时，因为〃0)=-3<0

所以函数/(x)=丘2-(2左-l)x-3在区间(1,内)上有且只有一个零点，

只需/⑴<0即可

即上一2左+1—3<0,

解得k>-2,

所以%>0,

当左<0时，函数f{x}=止一(2左一l)x-3在区间(1,+co)上有且只有一个零点，

只需满足/(1)>。

即左一2左+1-3>0,

解得k<-2

综上可得无<一2或左20,

即实数上的取值范围为左e（-8,-2）30,小）

4.已知meR时，函数/'（而=加卜2-1）+尤-。恒有零点，求实数”的取值范围.

【答案】[-M]

【解析】①当m=0时，由/（%）=%—。=0,得％=。，此时〃ER；

②当机w0时，令/（%）=。，即加/+工一加一[=0恒有解，

即A]=1—4m（—m—.0恒成立,

即4m2+4am+1..0恒成立，

贝1」A2=（4。）2—4X4XL,0,解得—啜女1.

综上，对根ER,函数/G）恒有零点时，实数。的取值范围是[TH.

5.关于工的方程m?+2（m+3）%+2帆+14=0有两实根，且一个大于4,一个小于4,求实数加

的取值范围.

【答案】（-加

【解析】令/（%）=如2+2（加+3）l+2徵+14,

m>0[m>0

依题意得j〃4）<0叫〃4）>0

即或『VQ

126m+38Vo126m+38>0

解得一《<根<0,

即实数机的取值范围是（一0）

6.若常数。使得关于x的方程lg（f+20x）-lg（8x-6a-3）=0有唯一解，求。的取值范围.

【答案】"卜1丁63，一，

【解析】由％2+20%>0,解得了<-20或%>0.

由已知可得f+20x=8x—6。一3,可得6Q=—f一12元—3，

所以，〃二一，九2一2九一J■在无£（HO,_20）U（0,+X））时有唯一解,

62

作出函数〃尤）=-4元2-2x—在（9,—20）5。,心）的图象如下图所示:

o2

163

6

由图可知，当时，直线y=a与函数y=/（x）在（—,-20）5。,y）上的图象有且只有一个

交点，

因此，实数0的取值范围是［唱,-；］.

题型四函数与方程的综合应用

1.若直线/：》=丘-2与函数/（%）=x-l的图象恰好有2个不同的公共点,则上的取值范围

为（）

A.(-co,0)B.(2,+oo)u(275-4)

C.(-oo,0)U(2,+oo)D.(-oo,0)u(2，+8)u{2正-4}

【答案】D

【解析】画出函数〃x）的图象,

3

2

由图可知，

当上＜0时，直线/与函数/（X）在区间（-00,1）内有两个交点，与区间口，+00）的部分没有交点，因而

满足条件，

当k=0时，直线/与函数/（X）只有一个交点，不满足条件,

当上>0时，直线/与函数“X)在区间(-8,1)内只有一个交点，

当直线/与/■(*)在区间口，+00)内的部分也有一个交点时满足条件，

这时由y=kx-2与y=x2-4x+3联立，

得J—(左+4)犬+5=0,由4=(k+4)2—20=0得左=2下—4,

当%>2时，直线/也与/G)在区间[1,+oo)内的部分也有一个交点，

所以满足条件的人的取值范围为(—,0)52,+3)口{26-4}.

故选：D.

2.对于函数“X),若在定义域内存在实数为满足〃-%)=一〃毛)，则称函数为“倒戈函数”.设

/(x)=3x+m-l(meR,rn^O)是定义在卜川上的“倒戈函数”，则实数机的取值范围是()

一2、「21[「21

A.--，0jB.--,-jC.--,0D.(-<»,0)

【答案】A

【解析】/(x)=3'+*l是定义在[T,l]上的“倒戈函数，

存在4满足/(-尤0)=-/(/),

「.3一”+加一1=—3拓—m+1»

2相=—3一%-3X°+2,

构造函数y=_3f_3项+2,平造-1,1],

令t=3'。，fe[1,3],

y=_L+2=2_“)在日,1]单调递增，

tt3

在(1,3]单调递减，所以f=l取得最大值0,

144

，=可或/=3取得最小值一工，.0€[-干0],

42

——„2m<0,——租<0,

故选：A.

3.已知函数F(x)=log2(x+2)与g(x)=(x-a>+l,若对任意的王e[2,6),都存在花^^⑵,使得

f(^)=g(x2),则实数a的取值范围是.

【答案】[-1,2-72][a,3]

【解析】因为玉[2,6),所以〃2回〃再)</⑹即24/&)<3,

函数g(x)=(x-a),+1的图象开口朝上，对称轴为x=a,

①当aV。，函数g(x)在。2]上单调递增，所以g(O)Wg