2024届上海鲁迅中学高考考前提分数学仿真卷含解析

2024届上海鲁迅中学高考考前提分数学仿真卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何

体的体积为

2.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）

1

C.D.

65

3.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（)

正视图侧视图

俯视图

4.已知正方体ABC。-A与的棱长为1，平面。与此正方体相交.对于实数〃（0<〃<若），如果正方体

ABCD-44G。的八个顶点中恰好有机个点到平面a的距离等于d,那么下列结论中，一定正确的是

A.mw6B.〃iw5

C.D.m丰3

22

5.椭圆上+匕=1的焦点为耳，工，点P在椭圆上，若|「月|=2,则/耳2鸟的大小为（）

92

A.150°B.135°C.120°D.90°

6.执行如图所示的程序框图，若输入a=lnl0,人=lge,则输出的值为（）

A.0B.1C.21geD.21gl0

7.“一1«》+丁41且一1＜工一丁＜1”是“_?+/＜1，，的（)

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3兀

8.已知单位向量”,/7的夹角为彳，若向量根=2〃，n=4a—Xb，且加_L〃，则（）

A.2B.2C.4D.6

2

9.设双曲线C:土-乙=1的右顶点为A,右焦点为歹，过点厂作平行。的一条渐近线的直线与C交于点3,则

916

△A/中的面积为（）

A3264

A-15B.—C.5D.6

15

10.已知正三角形A5C的边长为2,。为边的中点，E、R分别为边A3、AC上的动点，并满足|AE|=2|C曰,

则/的取值范围是（）

111、C.[-1,0]

。［一了记］B.(-00,—]D.(-oo,0]

A16

li.已知正项数列{q,},{%}满足：7",设q，=力，当。3+。4最小时，。5的值为()

［勾+1=an+〃相

14

A.2B.yC.3D.4

12.设集合A={x|x<3},6={1|%(。或耳2},则4(^5=()

A.(-8,0)B.(2,3)C.(-00,0)U(2,3)D.(-oo,3)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列{。“}为正项等比数列，为。6a9=27,则/Go+a6a2+a6al0的最小值为.

14.设/(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且/(x)+g(x)=(x+l)2—2，+i,贝IJ/⑴—g6=

x<2

15.若x,y满足,贝!|x+2y的最小值为.

^+y>3

16.在平行四边形ABC。中，已知AB=1,AD=2,NS4D=60。，若CE=ED，DF=2FB，贝U

AEAF=•

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=sin。-3cos。一2

17.(12分)在直角坐标系九0y中，曲线G的参数方程为八。.八(。为参数)，坐标原点为极点，x轴

y=cos〃+3sin，

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为夕sin［6+彳［=-2.

(1)求曲线4的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)若曲线G、C?交于A、B两点,。是曲线G上的动点，求△ABD面积的最大值.

18.(12分)如图，在平面直角坐标系中，以x轴正半轴为始边的锐角a的终边与单位圆。交于点A,且点A的纵坐

(1)求cos(a一日]的值:

(2)若以x轴正半轴为始边的钝角£的终边与单位圆。交于点国且点3的横坐标为—叱，求a+月的值.

5

123nn

19.(12分)已知数列也｝满足不+成与+五”+H--------------=一

2c1n—53

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

(2)设数列」一的前〃项和为7；,证明：Tn<-.

〔44+/6

20.(12分)已知函数/(x)=/-有两个极值点占，%.

(1)求实数上的取值范围；

(2)证明：ZW+Zfe)<^.

xxx2

21.(12分)设函数/(x)=|x+3],g(x)=|2x—l].

(1)解不等式/(%)<g(x);

(2)若2/(x)+g(x)>ar+4对任意的实数x恒成立，求。的取值范围.

22.(10分)如图在直角AA5C中，3为直角，AB=2BC,E,尸分别为AB,AC的中点，将AAEF沿所折起,

使点A到达点。的位置，连接BD,CD,M为CD的中点.

(I)证明：许，面5C。；

(II)若DELBE,求二面角E—"F—C的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4,高为3的正四棱

锥，利用体积公式，即可求解。

【详解】

由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4,

高为3的正四棱锥，

所以几何体的体积为丫=%—%=4x4x5—；x4x4x3=64,故选B。

【点睛】

本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间

几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面

积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。

2、D

【解析】

试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的』，剩余部分体积是正方体体积的所以截

66

去部分体积与剩余部分体积的比值为二，故选D.

5

考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.

3、C

【解析】

该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积V=；x(gx2x2)2=g.故选C.

【解析】

此题画出正方体模型即可快速判断m的取值.

【详解】

如图（1）恰好有3个点到平面e的距离为d；如图（2）恰好有4个点到平面e的距离为d；如图（3）恰好有6个

点到平面c的距离为d.

所以本题答案为B.

【点睛】

本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力

和知识方法的迁移能力，属于难题.

5、C

【解析】

根据椭圆的定义可得归耳|=4,|耳耳|=2近，再利用余弦定理即可得到结论.

【详解】

由题意，闺闾=24，|尸耳|+|尸闾=6,又|尸闾=2,则|尸周喜4,

由余弦定理可得COS4M=因踹*产16+4—28

2x2x42

故/片。笈=120°.

故选：C.

【点睛】

本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.

6,A

【解析】

根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.

【详解】

输入a=In10,b=1ge,

因为lnl0>l>lge,所以由程序框图知，

输出的值为a—?=lnl0—1=lnl0—lnl0=0.

bIge

故选：A

【点睛】

本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.

7、A

【解析】

画出“一lKx+y<l,—l<x—丁<1,》2+/<1，所表示的平面区域，即可进行判断.

【详解】

如图，“-lKx+y<l且一1<%—y<l"表示的区域是如图所示的正方形，

记为集合P,“必+/<1，，表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q,

显然P是。的真子集，所以答案是充分非必要条件，

故选:A.

【点睛】

本题考查了不等式表示的平面区域问题，考查命题的充分条件和必要条件的判断，难度较易.

8、C

【解析】

r

根据7〃」“列方程，由此求得X的值，进而求得“

【详解】

由于加_1_〃，所以加•〃=(),即

=Sa—2Aa•〃=8-24.cos=8+y/2A=0,

4

解得彳=_\=-4&.

所以〃=4a+4A/2Z?

所以

|H|=J(4a+4&q=\ll6a+3242a-b+32b=J48+3272cos弓=,48-32=4.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，考查向量模的求法，属于基础题.

9、A

【解析】

根据双曲线的标准方程求出右顶点4、右焦点口的坐标，再求出过点尸与C的一条渐近线的平行的直线方程，通过

解方程组求出点3的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.

【详解】

由双曲线的标准方程可知中：a=3,b=4:.c=yla2+b2=5«因此右顶点A的坐标为(3,0),右焦点厂的坐标为

44

(5,0),双曲线的渐近线方程为：y=±—x,根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F作平行C的一条渐近线y=—x

3,3

44

的直线与C交于点3,所以直线EB的斜率为因此直线FB方程为：y=§(x-5),因此点3的坐标是方程组：

y=1(-5)17

XX——

51732

22的解，解得方程组的解为：＜,,即3(三,一K)，所以ZkAKB的面积为:

工-乙=1y=—

〔916-15

1x(5-3)x3232

1515

故选：A

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.

10、A

【解析】

建立平面直角坐标系，求出直线A8:y=3(x+1),AC:y=-V3(x-l)

设出点项肛指⑴+右(〃—1)),通过|AE|=2|CT|,找出与"的关系.

通过数量积的坐标表示，将£>££>歹表示成与〃的关系式，消元，转化成机或〃的二次函数，利用二次函数的相关

知识，求出其值域，即为£>?£>尸的取值范围.

【详解】

以D为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建系，

设A(O,0),3(—1,O),C(1,O),则直线AB:y=6(x+l),AC:y=-73(%-1)

设点E(m,瓜m+1)),F(n,-向n-1)),-l<m<O,O<n<l

所以AE=(m,y/3m),CF=(n-l,-y/3(n-1))

由|AE|=21C/|得相?=4(〃—I)2,即/=2("-1),

7i

所以。E=mn-3(m+1)(〃-1)=-4n2+7〃一3=-4(〃一一)2+—,

816

由—1<〃Z=25-1)<O及O<〃W1,解得由二次函数y=—45—1)2+-!-的图像知，y£[--,-J,所以

2816216

£)»£)尸的取值范围是[-gJ].故选A.

216

【点睛】

本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用.

11,B

【解析】

(■riQ

4+1=4+10%^=1+——,9,9

由丁，得2+1411,即G+i=l+—7，所以得。3+。4=。3+1+—7,利用基本不等式求出最

r1G+iq+i

小值，得到。3=2,再由递推公式求出

【详解】

r—+10

由14M=4+1°”得—=4+1畋=i+_2_

〔"+1=4+勿hean+bnSL+1%+I

b

nb“

,9

即1+i=l+—7，

%+1

9

•••。3+。4=。3+1+26,当且仅当Q=2时取得最小值，

,9,914

此时Q4E5=1+不T

故选：B

【点睛】

本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.

12、C

【解析】

直接求交集得到答案.

【详解】

集合A={X|X<3},5={%|%（。蛆）2},则>^6=（7,0）32,3）.

故选：C.

【点睛】

本题考查了交集运算，属于简单题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、27

【解析】

利用等比数列的性质求得&，结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得.

【详解】

由等比数列的性质可知1=3,则％《0=9,

a

...O/ZJO+a6a2+34（）=9+3a2+30^29+6Ja2io=9+6a6=27.

当且仅当。2—Go=3时取得最小值.

故答案为:27.

【点睛】

本题考查等比数列的下标和性质，涉及均值不等式求和的最小值，属综合基础题.

14、1

【解析】

令x=-1,结合函数的奇偶性，求得-/(D+g⑴=-1,即可求解/⑴-g⑴的值，得到答案.

【详解】

由题意，函数/(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，且/(x)+g(x)=(x+l)2-2M,

令x=—1,可得/(-I)+g(-l)=-/(I)+g(l)=(-1+1)2-2°=-1,

所以/⑴一g6=L

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查了函数奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理赋值求解是解答的关键，着重考查了推理与

运算能力，属于基础题.

15、5

【解析】

先作出可行域，再做直线/:y=-gx,平移/,找到使直线在y轴上截距最小的点，代入即得。

【详解】

作出不等式组表示的平面区域，如图，令z=x+2y,则丁=—Lx+^z,作出直线/：y=-平移直线/,由图可

222

x=2

得，当直线经过C点时，直线在y轴上的截距最小，由小可得。(2,1),因此尤+2y的最小值为2+2义1=4.

[x+y=3

故答案为：4

【点睛】

本题考查不含参数的线性规划问题，是基础题。

5

16、-

2

【解析】

ITIifi__1__21

设==贝1|忖=1,忖=2,得到AE=匕+]a,AF=-a+-b,利用向量的数量积的运算，即可求解.

【详解】

由题意，如图所示，设AB=a,A力=/?,贝！|"=1,"=2,

又由CE=ED，DF=2FB，所以石为CD的中点，F为BD的三等分点,

―•一1―-•一2-_2-1-

则AE=b+—a,AF-b+—{a-b）=—a+—b,

所以AE-AF=（—〃+人）•（一〃+—〃）=—a+-a-b+—b

233363

1515

=—xl92+—xlx2cos600n+—x292=—.

3632

IX1____c

b//\/

A『一二一AB.

【点睛】

本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定

理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)^:(%+2)2+/=10,G：x+回+4=0；(2)3(^0+1).

【解析】

(1)在曲线G的参数方程中消去参数。，可得出曲线G的普通方程，将曲线的极坐标方程变形为

QCOS。+G夕sin，+4=0,进而可得出曲线C2的直角坐标方程；

(2)求出点。到直线A5的最大距离，以及直线截圆G所得弦长|A却，利用三角形的面积公式可求得面

积的最大值.

【详解】

%+2=sin6—3cos。

(1)由曲线G的参数方程得八一•八‘

y=cos"+3sm"

「.(x+2)2+,2=(sin3cosOp+(cos®+3sine)2=io.

所以，曲线C]的普通方程为(x+2)2+y2=io,

将曲线。2的极坐标方程变形为x?cose+6〃sine+4=0，

所以，曲线的直角坐标方程为％++4=0；

(2)曲线。2是圆心为(一2,0),半径为厂=可为圆，

2

圆心(一2,0)到直线x+百y+4=0的距离为d=-^==1,

所以，点。到直线x+百y+4=0的最大距离为d+r=l+JI5，\AB\=2y]r2-d2=6,

因此，AABD的面积为最大值为•([+「)=；x6x(l+JIU)=3(A/10+1).

【点睛】

本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转换，同时也考查了直线截圆所形成的三角形面积最值

的计算，考查计算能力，属于中等题.

18、(1)—好(2)a+/3=—

54

【解析】

(1)依题意，任意角的三角函数的定义可知,s%a=巫，进而求出cosa=之叵.

1010

在利用余弦的和差公式即可求出cosL-y

(2)根据钝角B的终边与单位圆交于点3,且点B的横坐标是-手，得出cos,=，进而得出sin(3=子，利用

正弦的和差公式即可求出sin(a+，)=#,结合c为锐角，/为钝角，即可得出。，的值.

【详解】

解：因为锐角戊的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标是画,

10

所以由任意角的三角函数的定义可知,si〃a=®

10

从而COS6Z=Jl—sin2a=2^

10

3TC.3兀

(1)于是cos1a一曰=cos6/cos——+smasin—

44

3所、+眄_7|

1010一一彳

(2)因为钝角£的终边与单位圆交于点3,且点3的横坐标是-正,

5

所以cos0=~~~，从而sin/3=Jl-cos?"=~~

于是sin（a+分）=sinacosJ3+cosasinp

+外空

1052

n37c

因为。为锐角,£为钝角，所以。£

从而。+尸=+.

【点睛】

本题本题考查正弦函数余弦函数的定义，考查正弦余弦的两角和差公式，是基础题.

3n+5

19、（1）a=;(2)见解析.

n2

【解析】

nS^n=l

bn=

(1)令「,利用可求得数列出｝的通项公式，由此可得出数列｛4｝的通

Sn-Sn_x,n>2

项公式;

（2）求得」4.11

利用裂项相消法求得7“，进而可得出结论.

44+133”+53（"+1）+5

【详解】

当〃22时，bn=Sn-Sn_x=

,,..1z,_n_1„3n+5

当〃=1时，b=~,贝！12,=-----W=£,故a"=--—；

]32a”—532

1________4_________4_L__________]

aa（3H+5）[3（H+1）+5]33n+53（n+l）+5

nn+l、

1

3x1——+53x2—+5）V（3Px2——+53x3—+5）V4（—3x〃+53（n+l）+5

?

41_____1____<_4x_1—_1

383（n+l）+5j38-6

【点睛】

本题考查利用S“求通项，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

20、(1)(e,+co)(2)证明见解析

【解析】

⑴先求得导函数/"(%),根据两个极值点可知/'(%)="—丘=0有两个不等实根，构造函数g(x)=e'—依，求

得g'(x)；讨论左＜0和左＞0两种情况，即可确定g(x)零点的情况，即可由零点的情况确定上的取值范围；

(2)根据极值点定义可知/'(玉)=/—g=0,/'(%)=e迎—也=0,代入不等式化简变形后可知只需证明

■VjrI

构造函数并求得进而判断的单调区间，由题意可知为)=/

X,+X2＞2；/?(x)=—“(X),/z(x)==/2(2«)=7,

并设0<玉<1<々，构造函数0(x)=/z(x)—〃(2—X),并求得“(％),即可判断0(x)在0<x<l内的单调性和最值,

进而可得“(1)—〃(2—1)<0,即可由函数性质得M%)</z(2—%),进而由单调性证明

々>2-%，即证明X]+%>2,从而证明原不等式成立.

【详解】

(1)函数〃x)=e，—

则f\x)=ex-kx,

因为/(x)存在两个极值点再，了2，

所以/'(%)=e'-辰=0有两个不等实根.

设g(%)=f'(x)=ex-kx,所以g'(x)=ex~k.

①当左VO时,g'(x}=ex-k>Q,

所以g(x)在R上单调递增，至多有一个零点，不符合题意.

②当上>0时，令g'(x)=e*-左=0得x=ln左，

X(-co,Ink)Ink(ink,+oo)

g'(x)—0+

g(x)减极小值增

所以glxj疝n=g0n左)=左一左lnA:<0,即%>e.

又因为g(0)=l>0,g(k)=ek-k2>0,

所以g⑴在区间(O,lnk)和(In左㈤上各有一个零点，符合题意,

综上，实数人的取值范围为,,+<»).

(2)证明：由题意知/'(玉)=e西一循=0,/'(X2)=e*—左2=°，

XlX2

所以e=kX[,e=kx2.

要证明小】+/应<左，

X]

国2%22

只需证明二11+:1^=2左二5+x,）（左,

%Ix22

只需证明再+%2>2.

因为e为=3，*=kx2,所以一~=—^-=—.

e**k

设〃(x)=卞，贝！］〃(X)=1,

所以妆力在(-8,1)上是增函数，在(I,+8)上是减函数.

因为丸(%)=丸(%2)=!，

不妨设。〈尤1<1〈尤2，

设夕（x）=7z（x）-力（2-力,0cx<1,

贝！ld（x）=〃（x）+〃（2—x）=?—g=（l—x）［5_，］,

当xe（0,1）时，l-x>0,—>2_x>

所以以外>0,所以9（x）在（0,1）上是增函数，

所以0（%）<0⑴=0,

所以/z（x）—力（2—％）<0,即7z（x）（人（2-

因为％e（0,l）,所以玉）</z（2—玉），

所以/7（%2）<"（2—玉）.

因为苍e（,+oo）,2-石e（l,+oo）,且&（%）在（1,+℃）上是减函数,

所以々＞2-X1,

即X[+々＞2,

所以原命题成立，得证.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的极值点，由导数证明不等式，构造函数法的综合应用，极值点偏移证明不等式成立的

应用，是高考的常考点和热点，属于难题.

2

21、(1)(-00,--)0(4,+oo)；(2)(-1,4].

【解析】

试题分析：

(1)将绝对值不等式两边平方，化为二次不等式求解.