2024年云南省高考数学第二次统测试卷及答案解析

2024年云南省红河州高考数学第二次统测试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有,

项是符合题目要求的

1.(5分)已知复数2=(2+i)(1-Z),贝Jz|=()

A.V2B.2C.V5D.VlO

2.(5分)设集合A={0,1,2},3={3,m},若AA5={2},则AU8=()

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{2,3}

->1T-

3.(5分)已知向量a=(l,-2),b=(—1,-2),设a与b的夹角为0,则sinB=()

3344

A.--p-B.-C.-,pD.一

5555

4.(5分)在(2-«)7的展开式中，含了的项的系数为()

A.-280B.280C.560D.-560

22

5.（5分）已知双曲线C；右沿―三=1（血>0）的实轴长等于虚轴长的2倍，则C的渐近

?111I411C

线方程为（）

X

A.y=±2B.y=±]-xC.y=±2xD.y=±V2x

11

6.（5分）已知a,6均为正实数，则“一〉一”是“/+262>3ab”的（）

ab

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.（5分）孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可

见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题

的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余

式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.现有这样一个整除问题：将1

至2024这2024个整数中能被2除余1且被3除余2的数,按从小到大的顺序排成一列，

把这列数记为数列｛斯｝.设g=（四产乙则等（）

A.8B.16C.32D.64

（分）已知函数（）昌对于任意的（不等式（罟）+/（（6））

8.5/X=y-%3,xel,2],f苹；

VI恒成立，则实数/的取值范围为（）

A.（1,+8）B.[-1,1]C.（-8,-1]D.（-8,-1）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的

A.圆锥的轴截面为直角三角形

B.圆锥的表面积大于球的表面积的一半

C.圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为TT

D.圆锥的体积与球的体积之比为1：4

（多选）10.（5分）若圆。厂%2+yz+2x—3=0与圆。2：x2+y2—2y—1=0交于A,

B两点，则下列选项中正确的是（）

A.点（1,-1）在圆02内

B.直线4B的方程为无+y-1=0

C.圆01上的点到直线A3距离的最大值为2+企

D.圆02上存在两点P,Q,使得|PQ>|A8|

（多选）11.（5分）已知函数/（x）-x-Inx,则下列选项中正确的是（）

1

A.

B./（%）既有极大值又有极小值

C.若方程加=/（|x|）有4个根，则加6（0,+8）

D.若/（XI）=f（X2）（XI力X2）,贝!]X1X2-（X1+X2）+1<0

（多选）12.（5分）某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共

有甲、乙、丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：

生产线次品率产量（件/天）

甲5%500

乙3%700

丙4%800

试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测

方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或

“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4,则该天检测方式和前一天相同，

否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（）

A.若计算机5次生成的数字之和为。贝!|尸纥V4）=岛

B.设">2,4表示事件第"天该企业产品检测选择的是智能检测，贝lJP（4n）=

53

C.若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为3.75%

25

D.若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为一

78

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）已知尤）是定义在R上的奇函数，当x>0时，/（尤）=l+log2x,贝4/（-2）

+f（0）=.

14.（5分）已知椭圆E：卷+*=1的右焦点为E直线/：nvc+3y=0。底R）交E于A,

B两点,且8尸，x轴，则|AF|=.

15.（5分）已知函数/'（%）=2s讥（3%-软3CN*）在[0,争上恰好有三个零点，请写出符

合条件的一个3的值：•

16.（5分）如图，在棱长均相等的斜三棱柱ABC-A181C1中，ZA^AB=N&AC=§,BM=

->—>___—>—>

4BBi，CN=nCC[,若存在入6（0,1）,|1G（0,1）,使AM•BN=0成立，则入+四的最

小值为_______________________.

五、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S,已

a2+b2-c2

知=6y[2,a=y[ib.

cosC

(1)求a,b；

(2)请从①S=*3+c?—炉)；②bcos4+孝a=c；③加讥力=acos(B—看).三个

条件中任选一个，试探究满足条件的△ABC的个数，并说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

18.（12分）某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数

y（单位：人）的数据如下表:

日期2月15日2月16日2月17日2月18日2月19日

日期代号X12345

购物人数y77849396100

（1）根据表中数据，建立y关于尤的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2

月21日在该店购物的人数（人数用四舍五入法取整数）;

（2）为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如

下所示不完整的2X2列联表:

年龄不低于40岁低于40岁合计

参与过网上购物30150

未参与过网上购物30

合计200

将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值a=0.005的独立性检验，能否认为“参

与网上购物”与“年龄”有关.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=二1a=歹—

心（Xi-x）2

2

n(ad—bc)

bx,x2

_(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)'

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

19.（12分）如图，已知。EJ_平面ABCD,四边形ABCD为等腰梯形，AB//DC,BF//DE,

DC=2AD=4fDE=3BF=3.

(1)证明：AF〃平面DCE-,

(2)若BO_LFC,求平面AE/与平面BOE尸的夹角的大小.

11

20.(12分)已知数列｛斯｝的前"项积为刀”且满足一+—=1.

an/

(1)求ai,ai的值；

(2)试猜想数列｛板｝的通项公式，并给予证明;

(3)若小=芫^记数列｛阮｝的前"项和为S,证明：Sn<2.

21.(12分)已知函数/(x)=lnx-x.

(1)求/(x)在(e,/(e))处的切线方程;

1

(2)设函数g(x)=xeM+a/7。)，aeR,求g(x)的极值.

22.(12分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1,。为坐标原点，A,

B是C上异于。的不同的两点，且满足点/为△AOB外接圆的圆心.

(1)求动点M的轨迹方程;

(2)当△AOB外接圆的面积最小时，求A,B两点的坐标.

2024年云南省红河州高考数学第二次统测试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有,

项是符合题目要求的

1.(5分)已知复数2=(2+0(1-z),则|z|=()

A.V2B.2C.V5D.V10

【答案】D

【分析】利用复数模的求解公式化简即可求解.

【解答】解：由z=(2+i)(1-z)=2+1-2i+i=3-i>

则|Z|=J32+(-1)2=V10.

故选：D.

【点评】本题考查了复数模的求解，属于基础题.

2.(5分)设集合A={0,1,2},B={3,m],若ACB={2},则()

A.{0,1,2,3}B.(0,1,2}C.{1,2,3}D.{2,3}

【答案】A

【分析】利用交集、并集定义直接求解.

【解答】解：集合A={0,1,2),B={3,m},

由ACB={2},得m=2,

所以B={2,3},

.*.AUB={0,1,2,3}.

故选A.

【点评】本题考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

->TTT

3.(5分)已知向量。=(L-2),b=(-1,一2),设。与b的夹角为6,则sin®=()

3344

A.一己B.—C.—pD.一

5555

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合向量的夹角公式，以及三角函数的同角公式，即可求解.

【解答】解：a=(L—2),匕=(一1,-2),

TT

Jocose=61匕―1+4_3

/5xV5=5'

\a\\b\

又因为9曰0,n],

所以sing=V1—cos29=5.

故选：D.

【点评】本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题.

4.（5分）在（2-«）7的展开式中，含了的项的系数为（）

A.-280B.280C.560D.-560

【答案】B

【分析】直接利用二项式系数的展开式求出结果.

k

【解答】解：由二项展开式的通项公式得晨+i=027f（—1）。2,左=o,1,2,-7,

k

令5=2得上=4,所以/的系数为仃23-1）4=280.

故选：B.

【点评】本题考查的知识点：二项式系数的展开式，主要考查学生的运算能力，属于基

础题.

22

5.（5分）已知双曲线C；/转—葛=1（巾>0）的实轴长等于虚轴长的2倍，则C的渐近

线方程为（）

1/2

A.y=±2XB.y=C.y=±2无D.y=±V2x

【答案】C

【分析】由题意设C的渐近线方程为丫=士称x,根据题目条件可知。=2方，进而可得双

曲线的渐近线方程.

【解答】解：因为机>0,所以双曲线C的焦点在y轴上，

V2X2

设双曲线C的标准方程为f==1（〃>0,Z?>0）,

azbz

所以双曲线C的渐近线方程为y=±gx,

又因为实轴长等于虚轴长的2倍，即a=2b,

所以C的渐近线方程为y=±2x.

故选：C.

【点评】本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题.

11

6.(5分)已知a,b均为正实数，则“一>一”是“/+2房>3"”的()

ab

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】运用不等式的性质，证明充分性，否定必要性即可.

11

【解答】解：因为a,b均为正实数，若一则Qa>0;

ab

若次+2户>3",则(a-2b)(a-b)>0,即a>28>0或6>a>0；

11

所以“一是“$+2户>3"”的充分不必要条件.

ab

故选：A.

【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题.

7.(5分)孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可

见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题

的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余

式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.现有这样一个整除问题：将1

至2024这2024个整数中能被2除余1且被3除余2的数,按从小到大的顺序排成一列，

把这列数记为数列｛劭｝.设%=(/)%,则等()

%

A.8B.16C.32D.64

【答案】A

【分析】由题中条件可得数列｛板｝是一个首项为5,公差为6的等差数列，从而可求得数

列｛历｝的通项公式，再计算即可求得比值.

【解答】解：将1至2024这2024个整数中被2除余1且被3除余2的数按从小到大的

顺序排成一列，把这列数记为数列｛即｝.

则数列｛沏｝是首项为5,公差为6的等差数列，

所以即=5+(n-1)x6=6n-1(1<n<337,neN*),

所以“=(V2)a"=(应严*

所以紧=居黑=(内6=&

故选：A.

【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，属于基础题.

8.(5分)已知函数/'(X)=唠；[-7,对于任意的xe(l,2],不等式/(痣/)+/(-——~—)

VI恒成立，则实数t的取值范围为()

A.(1,+8)B.[-1,1]C.(-8,-1]D.(-8,-1)

【答案】C

【分析】由题意可得/(x)=1-/(-x),/(x)在R上单调递减，所以不等式/'(罟)+

/(——孚——)VI恒成立，等价于三2>--~~;在在(1,2]上恒成立，即(尤+1)

(Al)z(x—6)x-1(X-1)2(X-6)

(x-1)(x-6)<-(什1)恒成立，设p(x)=(x+1)(x-1)(冗-6),xE(1,2],

利用导数求出函数p(%)在XC(1,2]的最值即可得答案.

1

【解答】解：因为f(%)二评台――，xGR,易知f(x)在R上单调递减，

1cP%a

所以/(—X)=/E+/=国廷+/，

所以/(-x)+f(X)=1,

所以f(X)=1-/(-X)

又因为对于任意的比(1,2],不等式/(禺)+f()VI恒成立,

(%1)(%6)

-f-_i_d丫+11

即对于任意的在(1,2],不等式/(;———-)<1-/(一)=/(—胃)恒成立，

(X-1)2(X-6)x-1x-1

t+1%+1

所以(…)2(j)>一』在灰(1，2]上恒成立,

„„x+lt+1

即--->—在尤(1,2]上恒成立.

x-1(%-1)2(%-6)

由(1,2］,知x-l>0,x-6<0,

所以当(1,2］时，上式等价于(尢+1)(x-1)(%-6)<-(r+1)恒成立.

设p(x)=(x+1)(x-1)(x-6)=/-6X2-x+6,xE(1,2］,

p'(x)=3x2-12x-1,开口向上，对称轴为x=2,

当粒(1,2］时，p'(x)<p'(1)=-10V0,

所以p(x)在在(1,2］内单调递减，而p(1)=0,

所以p(x)<0,

所以0W-（什1）,即W-l.

故选：C.

【点评】本题考查了函数的单调性、转化思想，考查了导数的综合运用，属于中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的

A.圆锥的轴截面为直角三角形

B.圆锥的表面积大于球的表面积的一半

C.圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为TT

D.圆锥的体积与球的体积之比为1：4

【答案】ABD

【分析】设球的半径为R,则圆锥的底面圆半径和高都是R,由此判断选项中的命题是否

正确即可.

【解答】解：对于4设球的半径为R,如图所示：OB=OA=OC=R,

所以NA4c+J=M选项A正确；

44Z

对于8,圆锥的表面积为

S锥=TIR2+TT-R-y/2R=TTR2+42TIR2=（1+V2）TTT?2,

球的表面积为S锹=4-nR2,

1

所以S镂＞±S秫，选项8正确;

对于C,圆锥的母线长为&R,底面周长为2TTR,

2兀R

所以圆锥侧面展开图中圆心角的弧度数为yfln,选项C错误;

V2R

对于O,曝=W1•兀R21=@兀区34,嗫=W7R3,

V锥1

所以选项。正确.

V球4

故选：ABD.

【点评】本题考查了球和圆锥的结构特征应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础

题.

（多选）10.（5分）若圆01：无2+y2+2%-3=0与圆/+丫2-2丫-1=0交于A,

B两点，则下列选项中正确的是（）

A.点（1,-1）在圆02内

B.直线AB的方程为x+y-1=0

C.圆Oi上的点到直线AB距离的最大值为2+企

D.圆02上存在两点尸，Q,使得|PQ|>|AB|

【答案】BC

【分析】直接利用点到直线的距离公式以及圆与圆的位置关系求出结果.

【解答】解：对于A,因为/+（-1）2-2义（-1）-1=3>0,所以点（1,-1）在

圆02外，故A错误；

对于圆。1：产+丫2+2K—3=0与圆。2：产+丫2―2y-1=o交于B两点，因

为圆01和圆02相交，将两圆相减可得：x+y-1=0,即公共弦A3所在直线的方程为x+y

-1=0,故B正确；

对于C,圆。1的圆心坐标为（-1,0）,半径为2,圆心01到直线AB：x+y-l=o的距

离d=^^=所以圆°】上的点到直线距离的最大值为2+近，故C正确；

对于直线经过圆02的圆心（0,1）,所以线段AB是圆。2的直径，故圆。2中不

存在比长的弦，故。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查知识点：圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式，主要考查学生的

运算能力，属于基础题.

(多选)11.(5分)已知函数/(x)=?-x-Inx,则下列选项中正确的是()

1

A-

B.f(x)既有极大值又有极小值

C.若方程(国)有4个根，则,尤(0,+8)

D.若/(尤1)=f(X2)(X1#X2),贝!]X1X2-(X1+X2)+1<0

【答案】ACD

【分析】对于A：计算/匕)，/(2),并比较大小，即可判断A是否正确；

对于8：求导分析/(无)的符号，f3的单调性，即可判断B是否正确；

对于C：把/(X)图象关于y轴对称翻折到y轴左侧，即可得到了(因)的图象，方程加

=/(|x|)有4个根等价于函数丫=机与函数y=/(|x|)的图象有4个交点，即可判断选项

C正确；

对于£):X\X2-(X1+X2)+1=(XI-1)(X2-1由图可知：OVxiVI<%2或0<%2<1V

XI,即可判断。选项是否正确.

【解答】解：对于A：/-(1)=Zn2-1<l,f(2)=2-历2>1,

1

所以/(鼻)</(2),故A正确；

对于&f(x)的定义域为(0,+8),

、°12X2-X-1(2X+1)(X-1)

f(x)=2%-1——=--------=---------

'''xxx

当疣(0,1)时，f(x)<0,

当疣(1,+8)时，f(x)>0,

所以/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以/(%)只有极小值没有极大值，故2错误；

对于C：由2选项的解析知，f(x)的最小值为f(1)=0,

当X-0时，f(x)—+8；当x—+8时，f(x)—+°0,

把/(x)图象关于y轴对称翻折到y轴左侧，即可得到了(|x|)的图象，如图所示：

1y

y=m

方程％=/（|x|）有4个根等价于函数y=m与函数y=/（|尤|）的图象有4个交点，则冽6

（0,+8）,故C正确；

对于£）:X1X2-（X1+X2）+1=（XI-1）（X2-1）,

若/（尤1）=f（X2）（X1W%2）,由图可知：0<%1<1<%2或0<及<1<》1,

所以（XI-1）（X2-1）<0,故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题.

（多选）12.（5分）某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共

有甲、乙、丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：

生产线次品率产量（件/天）

甲5%500

乙3%700

丙4%800

试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测

方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或

“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4,则该天检测方式和前一天相同，

否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（）

A.若计算机5次生成的数字之和为则P仔<4）=/

B.设“，2,4表示事件第〃天该企业产品检测选择的是智能检测，贝^（40=

赳5⑸-】）+五3

C.若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为3.75%

D.若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为至

78

【答案】BD

【分析】根据二项分布，相互独立事件的概率乘法公式以及古典概型可解.

【解答】解：对于4因为P（f>4）=C对户+C5（l）5=卷所以p（fV4）=

1一岛=磊，故A错误；

对于C,设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B,这件产品来自甲，乙，丙

三条生产线分别为事件Ci,Ci,C3,则由尸(B)=P(B|Ci)P(Ci)+P(B|C2)P(C2)

+P(BQ)P(C3)=5%x^+3%x^+4%x^=^^=3.9%,故C错误；

对于B,由2(40=2(41141T+书PGV1)+亮(1—

CO

P(41T))奇PQV1)+得,故B正确；

工”

对于。，由C选项的解析可知P(G|B)=猾=竟，故。正确.

2000

故选3D

【点评】本题考查二项分布，相互独立事件的概率乘法公式以及古典概型相关知识，属

于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(无)=1+logM,则/(-2)

+f(0)=-2.

【答案】-2.

【分析】由已知结合奇函数定义及性质即可分别求解.

【解答】解：因为/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=l+log2x,

所以f(2)=l+log22=2,/(-2)=-f(2)=-2,

由奇函数性质可得，/(0)=0,

贝ij7(-2)4/(0)=-2+0=-2.

故答案为：-2.

【点评】本题主要考查了奇函数的定义及性质在函数值求解中的应用，属于基础题.

14.(5分)已知椭圆E；卷+1=1的右焦点为R直线/：蛆+3y=0(meR)交E于A,

10

8两点,且8皿:轴,则|AF|=w：.

10

【答案】y.

【分析】作出图形，根据椭圆的几何性质，即可求解.

【解答】解：•••椭圆E：卷+<=1的右焦点尸的坐标为(1,0),

由BFLx轴，可得|BF|=*设椭圆E的左焦点为R),

则由椭圆的对称性易知：四边形AFoB尸是平行四边形，如图:

：.\AFo\=\BF\,又结合椭圆的定义可得：

|Afl+|AFo|=|AF|+|BF|=2。=6,

：.\AF\=6-f8=^1y0.

故答案为：—.

3

【点评】本题考查椭圆的几何性质，属基础题.

15.(5分)已知函数f(x)=2s讥(3%—软3WN*)在［0,印上恰好有三个零点,请写出符

合条件的一个3的值：7或8或9(答案不唯一).

【答案】7或8或9(答案不唯一).

【分析】根据图象特点，分别确定其从x轴正半轴开始的三个零点坐标即可.

【解答】解：/(x)=2sin(a)x-J),Vf(0)==-V3,且3>0,

.,.令—得=0,=在，."(x)位于X轴正半轴的第一个零点为X=在，

又二T=-=—,故/(元)的第二个零点为％=£+之7=要，

23a)33233

/(%)的第三个零点为％=需+47=会，

/(X)的第四个零点为％=薨+27=瑞，

77TTC107r

由题知/(x)在［0,勺上有三个零点，丁，•••7W3V10,又：3eN*,

/.CD的值为7或8或9.

故答案为：7或8或9(答案不唯一).

【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题.

16.(5分)如图，在棱长均相等的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，ZArAB=乙MC=掾，BM=

->—>____>—>

ABB」CN=/zCQ,若存在入E(0,1),昨(0,1),使4M•BN=0成立，则入+口的最

小值为V2—

G

-Ai

B,

B

【答案】V2-1.

T->TTTT->T->TT1

【分析】设=a,AC=b,AAr=c,|a|=|b|=|c|=L根据ZM-BN-0,得一^+

乡+川=0,再利用基本不等式求得最值.

【解答】解：设n=a,AC=b,AA1=~c,|a|=\b\=|c|=1,

则由题意有日'b=b'C=a-c=lxlxcos7^=

———TT——T—TT

又AM=AB+BM=a+Ac,BN=BC+CN=b—a+,

一,TT一—7T—TT

因为AM•BN=3所以(a+2c)-(b-a+〃c)=0,

—>-O-»—>-'—>—>—>—>

即。•b—晨+〃。•c+油•c—2。•c+Xfic2'=0,

即一1+刍+4〃=0,由入e(0,1),|iG(0,1),

可得：=172A,入e（0，1），

iill

所以“+”='+1T^="+2+^^-2N21-1=V2-|)

当且仅当4+2=」^,即"君二时等号成立,

22（4+；）2

所以入+四的最小值为鱼一亍

故答案为：V2—5-

【点评】本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，考查基本不等式的应用，属中档

题.

五、解答题：本题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,记△ABC的面积为S,已

a2+b2-c2

知=6y[i,a-yl~2b.

cosC

(1)求a,b；

(2)请从①S=+c?—抉)；②bcos4+孝a=c；®bsinA=acos(B—^).三个

条件中任选一个，试探究满足条件的△ABC的个数，并说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)b=V3,a=V6；

(2)选择①：满足条件①的△ABC有2个，理由见解答过程;

选择②：满足条件②的△ABC有1个，理由见解答过程；

选择③：不存在满足条件③的△ABC,理由见解答过程.

【分析】(1)由题意利用余弦定理即可求解；

(2)选择①：由三角形的面积公式以及余弦定理，同角三角函数基本关系式可求tanB=

堂，结合在(0,n),可求B=1,利用正弦定理可求sinA,进而即可求解；

36

选择②：由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得cosB=?，进而可求B的值，

利用正弦定理可求sinA,即可求解；

选择③：由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可求tcmB=百，可求8=半利

用正弦定理即可求解sinA=^>l,即可求解.

a2+b2—c22abcosC

【解答】解：(1)由------6dL得ab=3^2,

cosCcosC

又a=V2b,

得b=V3,a=V6；

]V3

(2)选择①：由题意可得-acsinB=-x2accosB,

212

化简得tcrnB="，

因为在(0,n),

所以T，

又由一、bcisinB_42

sinAsinBb2

因为(0,n),

所以a=就4=竿,

故满足条件①的△ABC有2个;

选择②：由正弦定理化简已知等式可得siziBcos/+-^-sinA=sinC,

可得sinBcosA+-^-sinA=厂sin(A+B)V,2化简得=sinAcosB,

因为sinAWO,得cosB=芋，

又BE(0,IT),

所以B=}

4,

TV+Q匕相.AasinB.

又由丁二=^—^sinA=一r—=1,

sinAstnB0

因为AW(0,n),

所以

故满足条件②的△ABC有1个；

选择③：由bsinZ=acos(B—看)及正弦定理，^sinBsinA=sinAcos(B—看)，

1V3

因为sinAWO,得sinB=cosQB—凯化简得asinB=—cosB,

即tcmB=V3,

又加(0,it),

所以8=条

又由一三=得sinA=竺臀=坐>i,无解，

故不存在满足条件③的△ABC.

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变

换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

18.(12分)某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数

y(单位：人)的数据如下表：

日期2月15日2月16日2月17日2月18日2月19日

日期代号尤12345

购物人数y77849396100

(1)根据表中数据，建立y关于x的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2

月21日在该店购物的人数(人数用四舍五入法取整数)；

(2)为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如

下所示不完整的2X2列联表:

年龄不低于40岁低于40岁合计

参与过网上购物30150

未参与过网上购物30

合计200

将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值a=0.005的独立性检验，能否认为“参

与网上购物”与“年龄”有关.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=第18r）（%7）,。=9—

£之1（々一幻

r2=n(ad-bc)2

'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)・

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）y=5.8X+72.6,估计当年2月21日在该店购物的人数为113人;

（2）列联表如下:

年龄不低于40岁低于40岁合计

参与过网上购物30120150

未参与过网上购物203050

合计50150200

认为参加网上购物和年龄有关.

【分析】（1）根据表中数据计算a,b的值，进而得到y关于x的一元线性回归模型，再

进行预测即可；

（2）补全2X2列联表，计算x?的值，再与临界值比较即可.

【解答】解：（1）由题意可知，元=3,9=90,2乙（为一曲2=io,—君（%—

y)=58,

ZTL__

一(阳一元)(%一刃58A_A__

y)\=—―-------------n—=Tn=5.8,a=y—bx=90—5.8x3=72.6,

第1(―)10

所以y=5.8x+72.6,

当x=7时，可得y=5.8X7+72.6=113.2,

因此估计当年2月21日在该店购物的人数为113人;

(2)补全2X2列联表如下:

年龄不低于40岁低于40岁合计

参与过网上购物30120150

未参与过网上购物203050

合计50150200

零假设为")：参加网上购物和年龄无关,

22

200x(30x30—120x20)"_

根据数据，计算得到以2n(ad—bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)—150x50x50x150--a

所以根据小概率a=0.005的独立性检验，我们推断Ho不成立，即认为参加网上购物和

年龄有关.

【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了独立性检验的应用，属于中档题.

19.(12分)如图，已知。E_L平面ABC。，四边形ABC。为等腰梯形，AB//DC,BF//DE,

DC=2AD=4,DE=3BF=3.

(1)证明：AB〃平面。CE；

(2)若BD_LFC,求平面与平面BOEB的夹角的大小.

【答案】(1)证明过程见解答.

【分析】(1)推导出〃平面DCE,BF//nDCE,从而平面AB/〃平面。CE,由此

能证明AF〃平面DCE.

(2)推导出B尸_L平面ABC。，B